Cet article est le premier volet d’une série de trois épisodes qui vise à présenter un problème mathématique célèbre et à ce jour irrésolu, celui des nombres premiers jumeaux.

Mais avant de parler de jumeaux, connaissez-vous les nombres premiers ? Il s’agit des nombres strictement plus grands que 1 qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes :
\[2,3,5,7,11,13...\]
L’étude de ces nombres premiers peut s’avérer particulièrement délicate comme nous allons le constater.

Commençons par nous familiariser davantage avec eux. Pour cela, je vous conseille de rechercher par vous-même tous les nombres premiers plus petits que 60. La réponse est donnée dans le menu déroulant qui suit.

Pour les trouver, peut-être avez-vous testé pour chaque nombre s’il était divisible par un autre nombre que lui-même et 1, en faisant appel aux tables de multiplication ou même en utilisant une calculatrice ? Cela fonctionne, mais vous avez pu constater que cela prend du temps. Il existe une technique plus rapide qui consiste à éliminer, parmi tous les nombres plus petits que 100, ceux qui ne sont pas premiers —ce sont les multiples de 2,3,5,...— puis d’en déduire ceux qui le sont [1].

D’une manière ou d’une autre, on peut trouver tous les nombres premiers plus petits que, disons 200 pour commencer. Dans ce tableau, les nombres premiers sont ceux en couleur orange.
\[ \begin{array}{cccccccccc} 1 & \color{orange}{2}&\color{orange}{3} & 4 & \color{orange}{5} & 6 & \color{orange}{7} & 8 & 9 & 10\\ \color{orange}{11} & 12 & \color{orange}{13} & 14 & 15 & 16 & \color{orange}{17} & 18 & \color{orange}{19} & 20\\ 21 & 22 & \color{orange}{23} & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 & \color{orange}{ 29} & 30\\ \color{orange}{ 31} & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 &\color{orange}{ 37} & 38 & 39 & 40\\ \color{orange}{ 41} & 42 &\color{orange}{ 43} & 44 & 45 & 46 &\color{orange}{ 47} & 48 & 49 & 50\\ 51 & 52 &\color{orange}{ 53} & 54 & 55 & 56 & 57 & 58 &\color{orange}{ 59} & 60\\ \color{orange}{ 61} & 62 & 63 & 64 & 65 & 66 &\color{orange}{ 67} & 68 & 69 & 70\\ \color{orange}{ 71} & 72 & \color{orange}{ 73} & 74 & 75 & 76 & 77 & 78 & \color{orange}{ 79} & 80\\ 81 & 82 & \color{orange}{83} & 84 & 85 & 86 & 87 & 88 &\color{orange}{ 89} & 90\\ 91 & 92 & 93 & 94 & 95 & 96 &\color{orange}{ 97} & 98 & 99 & 100\\ \color{orange}{ 101} & 102 & \color{orange}{103} & 104 & 105 & 106 & \color{orange}{107} & 108 &\color{orange}{ 109} & 110\\ 111 & 112 & \color{orange}{113} & 114 & 115 & 116 & 117 & 118 & 119 & 120\\ 121 & 122 & 123 & 124 & 125 & 126 &\color{orange}{ 127} & 128 & 129 & 130\\ \color{orange}{131} & 132 & 133 & 134 & 135 & 136 & \color{orange}{137} & 138 & \color{orange}{139} & 140\\ 141 & 142 & 143 & 144 & 145 & 146 & 147 & 148 & \color{orange}{149} & 150\\ \ \color{orange}{ 151} & 152 & 153 & 154 & 155 & 156 & \color{orange}{157} & 158 & 159 & 160\\ 161 & 162 & \color{orange}{163} & 164 & 165 & 166 & \color{orange}{167} & 168 & 169 & 170\\ 171 & 172 &\color{orange}{ 173 }& 174 & 175 & 176 & 177 & 178 &\color{orange}{ 179} & 180\\ \color{orange}{ 181} & 182 & 183 & 184 & 185 & 186 & 187 & 188 & 189 & 190\\ \color{orange}{191} & 192 & \color{orange}{193} & 194 & 195 & 196 & \color{orange}{ 197} & 198 & \color{orange}{199} & 200\\ \end{array} \]

On peut aussi en écrire directement la liste :
\[ 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73, 79, 83,89,97\\ 101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,... \]
Prenons le temps de regarder ce tableau ou cette liste et posons-nous la question suivante : existe-t-il une règle qui permette de savoir comment passer d’un nombre premier au suivant ?

Par exemple, je voudrais prévoir de manière simple quel est le nombre premier qui vient juste après 199, sans avoir à tester les nombres qui suivent 199 jusqu’à en trouver un qui soit premier.

Mais au fait, qui nous dit qu’après 200, on rencontrera bien un nombre premier ? Rien a priori. Bien sûr, vous pouvez tester 201, 202, 203, 204,... jusqu’à réaliser que 211 est un nombre premier et qu’il succède à 199 dans notre liste. Mais votre répit sera de courte durée, car je vous demanderai immédiatement : êtes-vous certain qu’après 211, il y aura bien un autre nombre premier ? Et ainsi de suite... La première question que l’on peut se poser est donc la suivante :

La liste des nombres premiers s’arrête-t-elle à un moment donné ?

Eh bien on est certain que la réponse est non. On sait prouver, et ce depuis l’Antiquité, que l’on peut toujours augmenter la liste des nombres premiers : elle ne s’arrête jamais. On dit qu’il y a une infinité de nombres premiers . Si vous ne me croyez pas sur parole, patientez jusqu’au troisième article de cette série. D’ici là, faites-moi confiance...

Nous sommes maintenant « rassurés », le réservoir de nombres premiers est intarissable ! Revenons à la recherche d’une règle qui permettrait de savoir comment passer d’un nombre premier au suivant. Nous dirons que deux nombres premiers qui se suivent dans la liste ordonnée des nombres premiers sont consécutifs. Par exemple 3 et 5 sont des nombres premiers consécutifs, tout comme 7 et 11, ou encore 53 et 59. Mais 23 et 31 ne sont pas consécutifs puisque le nombre premier qui succède à 23 est 29, et non 31. Nous allons nous intéresser à l’écart entre deux nombres premiers consécutifs. Par exemple, l’écart entre 3 et 5 est de 2, celui entre 7 et 11 vaut 4, et l’écart entre 53 et 59 vaut 6.

L’écart entre deux nombres premiers consécutifs obéit-il à des règles particulières ?

On voit qu’à part le cas de 2 et 3, cet écart ne vaut jamais 1. C’est normal, car 2 mis à part, tous les nombres premiers sont impairs, puisque les nombres pairs ne sont pas premiers — ils sont divisibles par 2. D’ailleurs l’écart entre deux nombres impairs est toujours un nombre pair, si bien que l’écart entre deux nombres premiers consécutifs est toujours un nombre pair (sauf encore pour 2 et 3).

Et à part ça que peut-on dire ? Amusons-nous à écrire la liste des écarts successifs entre les nombres premiers consécutifs plus petits que 200, en nous référant à la liste donnée plus haut : on obtient
\[1,2,2,4,2,4,2,4,6,2,\\ 6,4,2,4,6,6,2,6,4,2,\\6,4,6,8,4,2,2,2,4,14,\\ 4,6, 8,2,10, 2,6,6, 4,6,\\6,2,10,2,4,2,...\]
Y décèle-t-on une certaine logique ? Non, à vrai dire. Bien malin qui pourrait déterminer rapidement quel nombre succèdera à 2 dans cette liste, sans avoir une liste des nombres premiers sous la main.

On peut aussi se poser la question de savoir quel est l’écart qui revient le plus souvent. Pour l’instant il s’agit de 2 (il apparaît 16 fois), mais nous ne sommes pas sûrs que cette prédominance se maintiendra lorsque l’on augmentera cette liste.

D’ailleurs, est-on certain si l’on poursuit cette liste des écarts de voir apparaître le nombre 2 une 17^e fois ? une 18^e, et ainsi de suite ? Autrement dit est-on certain de continuer inexorablement à rencontrer des nombres premiers consécutifs avec un écart de deux comme
\[3 \text{ et } 5,\]
\[5 \text{ et } 7,\]
\[11 \text{ et } 13,\]
\[17 \text{ et } 19,\]
\[29 \text{ et } 31,\]
\[41 \text{ et } 43 \, ?\]
De tels nombres sont appelés des nombres premiers jumeaux.

Nous voici confrontés à une nouvelle question.

La liste des nombres premiers jumeaux s’arrête-t-elle ?

La réponse à cette dernière question n’est tout simplement pas connue. Les chercheurs en mathématiques ont bien une idée de la réponse : ils penchent pour la négative, et misent sur une liste ininterrompue de nombres premiers jumeaux, c’est-à-dire sur une infinité de nombres premiers jumeaux. Mais personne actuellement n’est en mesure d’en donner une preuve irréfutable !

Pourtant ce n’est pas faute d’avoir essayé. Si l’origine exacte de ce problème n’est pas certaine [2], on peut dire qu’il est l’objet de recherches intensives depuis plus de cent ans. C’est dire la difficulté de cette énigme !

Comment aborder ce problème ?

Une première idée est de se dire que nous ne sommes pas allés suffisamment loin dans l’expérimentation : nous n’avons observé que les nombres premiers plus petits que 200. En programmant un ordinateur, on peut aller bien au-delà et se faire une idée peut-être plus précise de l’évolution de la quantité de nombres premiers et des écarts entre nombres premiers consécutifs à mesure que l’on progresse dans les nombres. Ce sera l’objet de l’article n°2 de cette série. Nous y parlerons aussi d’un résultat très récent obtenu par plusieurs chercheurs en mathématiques.

Une autre idée est d’examiner très attentivement les preuves connues de l’infinitude des nombres premiers. Puis de voir ensuite si l’on ne pourrait pas adapter l’une de ces preuves pour en extraire encore davantage d’information, à savoir que la liste des nombres premiers jumeaux est elle aussi infinie. Nous développerons cette voie dans l’article n°3.

D’ici là, je vous souhaite de bonnes rêveries en compagnie des nombres premiers, jumeaux ou non !