Des ondes dans mon billard, partie I

Piste rouge Le 7 juin 2021  - Ecrit par  Nils Berglund Voir les commentaires (2)

Simuler l’équation des ondes dans un domaine du plan permet de révéler plusieurs phénomènes intéressants : l’effet des symétries, la propagation de fronts d’onde, le lien avec les ondes stationnaires et les figures de Chladni. Une question qui intéresse beaucoup les mathématiciens et les physiciens est le lien entre théorie ondulatoire et optique géométrique. Quelles relations y a-t-il entre les propriétés de propagation régulières ou chaotiques d’un rayon lumineux dans une cavité et la dynamique des ondes dans cette cavité ? Dans cette première partie qui se veut non technique, nous allons illustrer ces phénomènes par une série d’animations. Une seconde partie reviendra plus en détail sur certains aspects des mathématiques qui se cachent derrière ces observations.

L’équation des ondes décrit par exemple le mouvement de vagues de faible amplitude dans une étendue d’eau, ou encore les petites vibrations de la membrane d’un tambour. Les vagues et les vibrations sont des exemples de mouvements oscillatoires autour d’une position d’équilibre : une étendue d’eau parfaitement plane dans le premier cas, et une membrane immobile dans le second. Pourquoi seulement les petites vagues ou vibrations ? Parce que si l’on agite faiblement un système au repos, sa réaction est en général proportionnelle à la force avec laquelle on l’agite, mais cela n’est plus vrai pour de fortes perturbations. Si je laisse tomber deux cailloux dans un étang, le second deux fois plus gros que le premier, celui-ci engendrera des vagues deux fois plus grosses. Mais si je jette un rocher dans l’étang, je vais créer des vagues déferlantes. De même, en frappant trop fortement mon tambour, je peux briser la membrane.

La simulation suivante montre le mouvement d’une membrane de forme carrée, pour un état initial correspondant à une forte impulsion localisée en son centre [1]. Les couleurs ont été choisies pour des raisons purement esthétiques. On notera qu’il est possible d’augmenter la vitesse de l’animation en cliquant sur la petite roue dentée.

On peut tout de suite faire deux observations.

  • La première est qu’au début de la simulation, on aperçoit des vagues circulaires (des « ronds dans l’eau »), qui avancent à vitesse constante, sont réfléchies sur les bords du carré, et s’estompent petit à petit au cours du temps. Ces vagues obéissent au principe de Huygens-Fresnel : leur évolution peut être vue comme résultant de la superposition de petites ondes circulaires émanant de la vague dans le passé. Si on a l’impression que les vagues ralentissent au fur et à mesure qu’elles s’éloignent du centre du carré, cela est dû avant tout au fait que leur amplitude diminue à mesure que leur rayon augmente, ce qui les rend moins visibles.
  • Une seconde observation concerne les symétries. Le carré admet quatre axes de symétrie, orientés à 45° les uns par rapport aux autres. Comme l’impulsion initiale a les mêmes symétries, celles-ci sont conservées durant toute l’évolution. En fait, on peut remarquer que ce n’est pas strictement vrai ici : de petites imperfections viennent perturber la symétrie du motif et s’accentuent au cours du temps. Celles-ci sont dues à des erreurs d’arrondi faites lors de la résolution numérique de l’équation. On aurait pu, en fait, ne résoudre l’équation que dans un huitième du domaine, puis reproduire la solution dans tout le carré par symétrie, mais nous avons choisi de ne pas utiliser cet artifice.

Un autre exemple de forme admettant beaucoup de symétries est l’hexagone :

Certains des motifs que l’on aperçoit peuvent évoquer les fameuses figures de Chladni, dont il est question ici sur Images des Mathématiques. Ceci n’est pas une coïncidence : les solutions de l’équation des ondes peuvent en effet être représentées comme des sommes de vibrations appelées ondes stationnaires, ayant chacune la forme d’une figure de Chladni et sa propre fréquence d’oscillation. Ces ondes stationnaires sont similaires aux vibrations de la corde d’un piano ou d’un violon. Nous reviendrons sur ce point, lié à l’analyse de Fourier, dans la seconde partie de cet article.

La forme plane ayant le plus de symétries est le cercle. Dans la simulation suivante, toutefois, on n’a pas placé l’impulsion initiale au centre du cercle, et de ce fait, l’évolution n’admet qu’un seul axe de symétrie, orienté diagonalement.

Des formes moins symétriques

Que se passe-t-il pour des formes moins symétriques que le cercle, le carré ou l’hexagone ? Un cas intéressant est celui de l’ellipse, qui admet deux axes de symétrie à angle droit. La simulation suivante montre ce qu’il se passe si l’impulsion de départ se fait au bord, en l’un des sommets de l’ellipse :

On remarquera le rôle joué par les foyers de l’ellipse, marqués par de petits cercles (ces cercles n’interagissent pas avec la dynamique de l’onde). Les ondes ont en effet tendance à ce concentrer dans ces deux foyers. Cela est dû à une particularité des ellipses, à savoir qu’un rayon lumineux émis depuis l’un des foyers, et réfléchi sur le bord de l’ellipse, atteindra toujours l’autre foyer. Mieux, tous les rayons émis depuis l’un des foyers mettent exactement le même temps à rejoindre l’autre foyer, car ils parcourent la même distance. C’est le principe à la base de la « construction du jardinier » d’une ellipse : on plante deux bâtons dans le sol, puis, à l’aide d’une ficelle tendue attachée aux deux bâtons, on trace tous les points dont la somme des distances aux deux bâtons est constante, égale à la longueur de la ficelle. Ces points forment l’ellipse dont les foyers sont marqués par les deux bâtons.

Un autre exemple de billard, cette fois sans symétrie particulière, est le triangle rectangle, d’angles au sommet 90°, 60° et 30°. Il s’agit en fait de la moitié d’un triangle équilatéral. Dans l’animation ci-dessous, on fait partir une onde d’un point sans propriété particulière du triangle.

Au début de la simulation, on distingue à nouveau bien des vagues circulaires réfléchies sur les bords du triangle. On pourra les comparer à l’animation ci-dessous, montrant ce qui arrive à un cercle dont le rayon augmente proportionnellement au temps, et qui est réfléchi par rapport aux côtés du triangle chaque fois qu’il les touche. (Les vitesses des ondes ne sont pas égales dans les deux vidéos, mais en réglant la vitesse de la seconde à 75% de la vitesse normale, les évolutions deviennent presque synchronisées).

En fait, il n’est pas du tout évident que les vagues ainsi créées ne sont pas coupées en plusieurs morceaux au passage des coins du triangle ! Une condition nécessaire pour que ce soit le cas est qu’on puisse paver le plan avec le triangle en question, ce qui est bien le cas ici (en d’autres termes, on peut décorer le mur de sa salle de bains avec des carreaux ayant la forme de ce triangle). La même propriété est vraie pour le carré et l’hexagone, mais pas pour d’autres polygones réguliers tels que le pentagone.

Billards intégrables et chaotiques

Dans la suite, nous appellerons « billard » la région du plan dans laquelle les ondes se propagent, pour des raisons que nous allons expliquer plus en détail. Un point commun de tous les billards que nous avons considérés jusqu’ici est qu’ils sont « classiquement intégrables ». Qu’entend-on par là ? Imaginons un rayon lumineux se déplaçant dans le billard, dont les parois seraient des miroirs parfaits. Si la longueur d’onde de la lumière est négligeable, la trajectoire du rayon est la même que celle d’une particule se déplaçant sans frottement, et effectuant des collisions élastiques avec les parois — c’est précisément ce qui est appelé un « billard mathématique », car il s’agit d’un modèle simplifié du jeu du billard. On trouvera dans ce dossier d’autres articles d’Images des Mathématiques décrivant de tels billards.

Pour tous les billards que nous avons vus jusqu’ici, le mouvement de la particule est parfaitement prévisible. Pour le carré, l’hexagone et le demi-triangle équilatéral, ceci est dû au fait que la particule ne peut se déplacer que dans un nombre fini de directions (par exemple quatre pour le carré, six pour l’hexagone). On peut aussi constater que toutes ces figures géométriques pavent le plan. Il est alors possible de déterminer la trajectoire de la particule en superposant une droite au pavage, droite que l’on replie ensuite à l’intérieur d’un des pavés élémentaires. Par exemple, le triangle que nous venons de voir ne peut avoir que 12 orientations possibles dans le pavage (celles qu’on voit dans la figure ci-dessous, et celles obtenues par symétrie par rapport à un axe horizontal). Une trajectoire donnée est donc composée de segments de droite ayant au plus 12 directions différentes.

Repliement d’une trajectoire rectiligne dans un demi-triangle équilatéral. La trajectoire repliée effectue des réflexions sur les bords du triangle identiques à celles d’un rayon lumineux sur un miroir.

Dans le cas du cercle, la simplicité de la dynamique est due au fait que le moment cinétique de la particule par rapport au centre du cercle est conservé. Cela oblige la particule à suivre des cordes du cercle qui ont toutes la même longueur.

Dans le cas de l’ellipse, la raison de l’intégrabilité du mouvement est similaire, bien qu’un peu plus compliquée : c’est le produit des moments cinétiques par rapport aux deux foyers de l’ellipse qui reste constant au cours du temps.

Existe-t-il des domaines donnant lieu à des évolutions imprévisibles ? Oui ! Un premier exemple en est un billard imaginé par Yakov Sinaï dans les années 1960. On considère une particule rebondissant sur l’extérieur d’un disque. Pour que la particule ne parte pas à l’infini, on impose au système des conditions aux bords périodiques : si la particule s’échappe par la droite d’un domaine rectangulaire contenant le disque, elle revient aussitôt par la gauche. Des mécanismes similaires s’appliquent aux trois autres côtés du rectangle. C’est le même principe que dans certains jeux vidéos, dont l’ancêtre est PacMan.

Voici une simulation de l’équation des ondes dans un tel billard de Sinaï :

On peut se rendre compte du mécanisme rendant l’évolution imprévisible. À chaque fois qu’une vague est réfléchie par le disque, elle est dispersée, et ces effets de dispersion s’accumulent, rendant l’évolution très sensible aux conditions initiales. En d’autres termes, on a un effet papillon, qui rend l’évolution chaotique.

Le billard de Sinaï est en fait très proche du gaz de Lorentz, qui décrit le mouvement de particules réfléchies sur un réseau régulier d’obstacles circulaires. En découpant le plan en cellules carrées ou rectangulaires, contenant chacune un obstacle, on obtient le billard de Sinaï après avoir superposé toutes les cellules.

Si l’on augmente la taille des obstacles jusqu’à ce qu’ils se superposent, on obtient un domaine en forme de « diamant ». La simulation suivante montre une solution de l’équation des ondes dans un tel domaine.

Une autre manière d’introduire de la dispersion dans un billard pour le rendre chaotique est d’y intégrer une « singularité conique » [2]. Considérons un domaine du plan en forme de L [3], mais dans lequel l’on identifie les segments du bord de même couleur rouge, bleue, jaune ou cyan dans la figure ci-dessous.

Domaine en forme de L. En identifiant les côtés de même couleur, on obtient une surface de genre 2 avec une singularité conique d’angle $6\pi$, c’est-à-dire trois tours complets.

Où se trouve la singularité conique ? Partons du segment jaune supérieur, près de l’intérieur du L, et tournons dans le sens horaire. Après trois quarts de tour (notés 1 sur la figure), on touche le segment cyan de droite. On se trouve alors téléporté vers le segment cyan de gauche. Continuons de tourner : après un demi-tour (2), on rejoint le segment bleu de gauche. Puis suivent un quart de tour du bleu au jaune (3), un quart de tour du jaune au bleu (4), pareil du bleu au rouge (5), du rouge au cyan (6), et du cyan au rouge (7). Pour terminer, un demi-tour nous ramène au point de départ sur le segment jaune (8). En tout, on a fait 12 quarts de tour, soit trois tours complets ! En fait, tous les points du bord joignant deux segments de couleurs différentes ne forment qu’un seul point, ladite singularité conique. Des trajectoires passant de part et d’autre de ce point sont donc dispersées, rendant l’évolution chaotique.

La simulation suivante montre une onde se propageant dans ce billard. Chaque fois qu’elle touche l’un des segments colorés du bord, l’onde est instantanément téléportée vers l’autre segment de la même couleur.

Dans le billard de Sinaï que nous avons vu ci-dessus, un procédé de recollement similaire est utilisé pour un rectangle dont on identifie les côtés opposés. Topologiquement parlant, on obtient ainsi un tore, ou la surface d’une bouée. Dans le cas du billard en forme de L, il se trouve qu’en recollant les segments de même couleur, on obtient... une bouée à deux trous, aussi appelée une surface de genre 2 !

Surface de genre 2.

Une telle surface peut être obtenue en recousant l’un sur l’autre les bouts des jambes de deux pantalons, puis en cousant le haut d’un pantalon sur l’autre. On obtient ainsi une surface en forme de 8, avec deux singularités là où les jambes se rencontrent. Ces deux singularités peuvent ensuite être fusionnées en ouvrant les fermetures éclair des deux pantalons, puis en refermant le trou ainsi obtenu [4]. La dispersion se manifeste par le fait qu’on peut trouver deux trajectoires initialement proches, dont l’une s’enroule autour de la partie supérieure du huit, et l’autre autour de la partie inférieure.

Optique géométrique et théorie ondulatoire de la lumière

Les simulations que nous avons vues ci-dessus montrent des points communs entre deux modèles physiques différents de la propagation des ondes.

  1. D’une part, il y a l’approximation de l’optique géométrique : celle-ci décrit des rayons lumineux se propageant en ligne droite, et réfléchis sur les bords du billard comme sur des miroirs (l’angle d’incidence est égal à l’angle de réflexion). L’ensemble des rayons lumineux partant d’un point dans toutes les directions parcourt un cercle de rayon augmentant proportionnellement au temps, et réfléchi sur les bords du billard.
  2. D’autre part, nous avons vu des simulations de l’équation des ondes. Celles-ci ont une longueur d’onde non nulle, sont sujettes à de la dispersion et peuvent former des interférences.

Quel est le lien entre ces deux modèles de propagation de la lumière (ou d’un son dans un milieu tel que l’air ou l’eau) ? L’idée est que l’optique géométrique correspond à une limite idéalisée, où la longueur d’onde serait nulle. Dans cette limite, tous les phénomènes d’interférence, de dispersion, et d’autres comme la diffraction, disparaissent.

Par exemple, la simulation suivante montre ce qui arrive lorsqu’une onde rencontre un mur dans lequel on a percé deux petits trous (ce dispositif est appelé fentes de Young). Ces trous agissent un peu comme les sources de deux nouvelles ondes, qui vont former des interférences : dans la moitié de droite de l’image, les ondes se superposent pour former un motif qui oscille dans l’espace et dans le temps [5]. La période de ces oscillations dépend en particulier de la longueur d’onde des vagues, de la distance entre les trous, et de leur taille. On peut montrer (voir par exemple ici) que la période des oscillations spatiales est proportionnelle à la longueur d’onde.

La même expérience peut être réalisée avec de la lumière. L’optique géométrique ne prédit pas d’interférences : les rayons lumineux se propageant en ligne droite, ils vont simplement former deux taches sur un écran qu’on disposerait à quelque distance à droite du mur. Or il s’avère que si l’on réalise l’expérience avec des trous assez petits, on observe effectivement des rayures sur l’écran, appelées franges d’interférence. Cette expérience révèle donc la nature ondulatoire de la lumière. La largeur des franges dépend du rapport entre la longueur d’onde et la taille des trous. Lorsque ce rapport devient de plus en plus petit, les franges deviennent de moins en moins visibles, et disparaissent à la limite. On retrouve donc l’approximation de l’optique géométrique lorsque la longueur d’onde est négligeable par rapport à la taille des trous.

Mécanique quantique

En mécanique quantique (voir ici pour une introduction au sujet), la dynamique d’une particule confinée dans un domaine est décrite par l’équation de Schrödinger [6]. Bien qu’elle soit différente de l’équation des ondes, l’équation de Schrödinger en partage un certain nombre de propriétés. En particulier, elle dépend d’un paramètre, la constante de Planck, qui joue un rôle similaire à celui de la longueur d’onde pour l’équation des ondes [7]. On s’attend à retrouver la dynamique classique de la particule, analogue de l’optique géométrique, lorsque la constante de Planck devient très petite (à l’échelle du système considéré).

La simulation suivante montre l’expérience des fentes d’Young pour une particule quantique. La condition initiale correspond à une particule localisée dans une petite région circulaire, et dirigée vers le mur percé de deux trous. Les couleurs correspondent ici à la probabilité de trouver la particule quantique en différents endroits : il est plus probable de la trouver dans une région rouge que dans une région bleue [8]. On peut à nouveau observer l’apparition de franges d’interférence, à environ 35 secondes du début de l’animation. Pour des raisons pratiques, la simulation utilise des conditions aux bords périodiques, ce qui crée de nouvelles interférences par la suite (le paquet d’ondes partant vers la gauche revient depuis la droite) [9].

Voici une autre simulation, cette fois dans un domaine en forme d’ellipse. La condition initiale correspond à une particule située entre les deux foyers, avec une vitesse pointant vers la droite et vers le haut. On remarquera à nouveau le rôle particulier joué par les deux foyers de l’ellipse. Par exemple, il est beaucoup moins probable de trouver la particule entre les foyers et les extrémités horizontales de l’ellipse qu’entre les deux foyers. Ceci reflète une propriété du billard dans l’ellipse : si la particule démarre entre les deux foyers, elle repassera toujours entre eux, sans jamais en faire le tour.

Enfin la simulation ci-dessous montre une solution de l’équation de Schrödinger dans un domaine en forme de stade. Ce domaine est un exemple de billard chaotique bien que convexe, introduit par Leonid Bunimovich dans les années 1970. La condition initiale correspond à une particule localisée près du centre du stade, avec une vitesse verticale pointant vers le haut.

Dans le cas classique, les trajectoires verticales entre les deux bouts droits du stade sont périodiques : elles font des allers-retours en restant tout le temps verticales. Ces trajectoires sont instables, mais seulement faiblement : une trajectoire partant avec un petit angle par rapport à la verticale s’écarte linéairement de la verticale, au lieu d’exponentiellement vite comme dans le cas d’un billard concave. La simulation montre qu’il est plus probable de trouver la particule près de certaines lignes verticales, traces de son comportement classique. On appelle ces traces des « cicatrices » (« scars » en anglais).

Qu’est-ce que la problématique du « chaos quantique » ?

Le chaos quantique étudie les relations entre dynamique classique et quantique de systèmes tels que les billards. Le comportement classique d’un billard peut être classifié de la manière suivante :

  1. Intégrable : toutes les trajectoires sont parfaitement prévisibles. C’est le cas du cercle, de l’ellipse, du carré et d’autres polygones avec lesquels on peut paver le plan.
  2. Complètement chaotique : à l’exception de certaines trajectoires périodiques, que l’on peut dénombrer, les trajectoires ont un comportement imprévisible, car très sensible aux conditions initiales. C’est le cas du billard de Sinaï par exemple [10].
  3. Mixte : il existe à la fois des trajectoires chaotiques, et des trajectoires non chaotiques. Ces dernières ne sont pas isolées, mais entourées d’un « îlot de stabilité » : tout un ensemble de trajectoires voisines restent proches de la trajectoire considérée. Des exemples de tels billards sont ceux en forme de « citron », d’anneau formé de deux cercles non concentriques, ou encore certains types de champignons de Penrose, similaires à ceux décrits ici.

Quelle différence y a-t-il entre les dynamiques quantiques de tels systèmes ? Autrement dit, si on observe une solution d’un billard quantique, peut-on en déduire la nature classique, intégrable, chaotique ou mixte, du billard classique correspondant ?

Cela devrait être possible, du moins si la constante de Planck est très petite à l’échelle du billard considéré. Mais établir des liens mathématiquement est un problème très difficile ! L’une des pistes explorées depuis de nombreuses années par les chercheurs concerne les solutions en ondes stationnaires évoquées plus haut. Comme l’équation des ondes, l’équation de Schrödinger admet des solutions sous la forme d’une figure de Chladni oscillant périodiquement au cours du temps.

Pour chaque billard, il existe une suite infinie de fréquences d’oscillation possibles, mais ses propriétés sont différentes d’un billard à l’autre. Pour le billard carré, par exemple, toutes les fréquences sont multiples d’une fréquence de base commune, comme pour les vibrations d’une corde de piano. De plus, il existe souvent plusieurs figures de Chladni avec la même fréquence d’oscillation. Il semble que d’une manière générale, pour un billard classiquement intégrable, les fréquences se regroupent par paquets, alors que pour un billard classiquement chaotique, les fréquences sont bien séparées les unes des autres. Par ailleurs, la plupart des figures de Chladni sont réparties de manière plus régulière dans le billard dans les cas chaotiques que dans les cas intégrables.

Voici une dernière simulation, qui illustre ce point dans le cas du billard de Sinaï. Contrairement aux trois simulations précédentes, ici c’est la luminosité qui indique la probabilité de présence de la particule, alors que la couleur correspond à la phase (c’est-à-dire à l’argument du nombre complexe représentant la fonction d’onde).

Dans la seconde partie de cet article, nous donnerons plus de détails mathématiques sur la théorie des ondes. Nous commencerons par le cas de vibrations de dimension 1, avec une dérivation de l’équation des ondes, et une explication du phénomène des ondes stationnaires et de ses liens avec l’analyse de Fourier. Puis nous verrons ce qui change en dimension 2, pour l’équation des ondes et pour celle de Schrödinger. En attendant, si les vidéos de cet article vous ont plu, n’hésitez pas à aller faire un tour sur ma chaîne YouTube.

Post-scriptum :

L’auteur remercie Marco Mancini pour son aide précieuse dans l’amélioration du code C qui a permis de réaliser les simulations, ainsi que les relecteurs Mathieu Mourichoux, amic et Mathurin Passard, pour avoir décelé une erreur dans la version initiale, et leurs propositions d’amélioration.

Article édité par Aurélien Alvarez

Notes

[1Les simulations dans cet article sont faites pour l’équation des ondes avec une force de rappel, et parfois un terme d’amortissement, donnée par $\partial_{tt}u(t,x) = \Delta u(t,x) - k u(t,x) - \gamma \partial_x u(t,x)$. Ici, $\Delta$ représente le Laplacien de la fonction $u$ (par rapport à la variable spatiale $x$). Sauf dans le cas particulier du billard en forme de L, la fonction $u(t,x)$ s’annule sur les bords du billard (conditions au bord de Dirichlet).

[2On peut fabriquer un cône en découpant un secteur angulaire dans une feuille de papier, et en recollant les deux côtés. Si au lieu d’enlever un secteur, on insère un tel secteur dans une feuille de papier, on obtient un cône de courbure négative. On trouvera de jolies illustrations dans Le Trou Noir, de Jean-Pierre Petit.

[3Merci à mon collègue Luc Hillairet de m’avoir appris cet exemple.

[4Merci encore à Luc Hillairet pour ces explications.

[5La simulation utilise des conditions aux bords « absorbantes ». Si l’on avait simplement considéré les ondes comme nulles en dehors du domaine visible, on aurait obtenu des réflexions sur le bord, comme pour les simulations précédentes. Les conditions absorbantes ont été simulées par une méthode décrite dans cet article. La simulation n’est toutefois pas parfaite, et on voit que de légères réflexions persistent, probablement en raison de la discrétisation de l’équation.

[6En variables sans dimension, cette équation s’écrit $i \hbar \partial_t \psi(t,x) = - \Delta \psi(t,x)$, où $\hbar$ est la constante de Planck, et $i = \sqrt{-1}$. Pour une particule dans un billard, on impose des conditions aux bords nulles, c’est-à-dire que $\psi(t,x)$ doit s’annuler aux bords du billard.

[7L’équation de Schrödinger admet des solutions particulières appelées paquets d’ondes. Ce sont les solutions représentant le mieux une particule localisée, compte tenu du principe d’incertitude de Heisenberg. Ces paquets d’ondes ont une taille d’ordre $\sqrt{\hbar}$, qui tend vers zéro dans la limite de $\hbar$ tendant vers zéro.

[8La probabilité de présence de la particule (ou plutôt la densité de cette probabilité) est donné par le module au carré de la solution $\psi(t,x)$ de l’équation de Schrödinger.

[9Les conditions aux bords « absorbantes » mentionnées pour la vidéo précédente peuvent également être simulées, par une méthode décrite dans le même article, mais elles sont nettement plus difficiles à implémenter, car elles font intervenir les valeurs de la fonction d’onde dans le passé.

[10Le billard de Sinaï est même « ergodique », ce qui signifie en particulier que la plupart de ses trajectoires passent en moyenne le même temps dans des régions de même aire du billard.

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Pour citer cet article :

Nils Berglund — «Des ondes dans mon billard, partie I» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Crédits image :

Image à la une - Surface de genre 2 : Wikimedia commons, domaine public
Les musiques accompagnant les vidéos sont issues de la librairie audio de YouTube. On trouvera le nom des artistes en lisant le descriptif de chaque vidéo sur YouTube.

Commentaire sur l'article

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  • Des ondes dans mon billard, partie I

    le 7 juin à 17:21, par Didier Roche

    Un régal !
    J’attends la suite avec impatience....
    Cordialement
    Didier Roche

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