Quisiera compartir con ustedes algunas observaciones relacionadas con aquella célebre desigualdad según la cual, en todo espacio vectorial euclidiano, el valor absoluto del producto escalar entre dos vectores es siempre menor o igual que el producto de sus longitudes, cumpliéndose la igualdad solo en el caso en que uno de ellos es un múltiplo del otro. En fórmulas, denotando con un punto el producto escalar:

\[ |u\cdot v|\leq \|u\|\|v\| \]

En dimensión $1$, esta desigualdad es una igualdad: ella simplemente señala que el valor absoluto de un producto de números reales es igual al producto de sus valores absolutos.

En dimensión $2$, ella está relacionada con la generalización para números complejos de la misma propiedad, es decir, el módulo de un producto de números complejos es igual al producto de sus módulos. En efecto, denotemos
$(a,b)$ y $(c,d)$ las componentes de $u,v$ en una base ortonormal de $E$, y hagamos $z=a-ib$ y $z'=c+id$. La parte real del producto $zz'$ es entonces el producto escalar $u\cdot v$, mientras que su parte imaginaria es el determinante

\[ \omega(u,v)=\det\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix} \]

Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad $|zz'|=|z||z'|$ se deduce entonces

\[ \mathrm{(1)} \quad (u\cdot v)^2+\omega(u,v)^2=\|u\|^2\|v\|^2 \]

y la desigualdad se deduce inmediatamente. De hecho, el caso de igualdad también se sigue, pues $\omega(u,v)$ es nulo si y solamente si $u$ y $v$ son linealmente dependientes.

Naturalmente, todo esto se apoya en la existencia de bases ortonormales.
Sin embargo, en dimensión 2, es muy fácil construirlas, por ejemplo, inspirándose del hecho de que las diagonales de un romboide son perpendiculares. Así, una base cualquiera $(e,f)$ cuyos elementos son de la misma longitud nos da la base ortonormal

\[\left(\frac{e'}{\|e'\|},\frac{f'}{\|f'\|}\right) \]

donde $e'=e+f $ y $ f'=e-f$.

La desigualdad de Cauchy-Schwarz queda establecida así en dimensión arbitraria, finita o infinita, pues verificarla para $u,v\in E$ se traduce en aplicarla en un subespacio vectorial de dimensión $2$ de $E$ que contenga dichos elementos dotado de la restricción del producto escalar de $E$.

Al hacerla explícita en sus componentes, la relación (1) es una identidad notable, a veces llamada identidad de Lagrange. Ella es utilizada en aritmética, pues muestra que el producto de dos números que son sumas de cuadrados es también una suma de cuadrados.

Resulta divertido examinar si, en dimensión $n$, se puede desarrollar $\|u\|^2\|v\|^2-(u\cdot v)^2$ como una suma de $n-1$ cuadrados que dependan razonablemente de $u$ y de $v$.

Una observación para comenzar: sea una base $(e_1=u,e_2,...,e_n)$ de $E$ cuyos elementos tienen la misma longitud y son perpendiculares dos a dos.
Las componentes de $v$ respecto a esta base son los números

\[\frac{e_i . v}{\|e_i\|^2} = \frac{e_i.v}{\|u\|^2}\]

lo cual nos da la descomposición

\[\mathrm{(2)} \quad \|u\|^2\|v\|^2=(u\cdot v)^2+\sum_{i=2}^n(e_i\cdot v)^2 \]

En ella, los cuadrados son polinomios homogéneos de grado 1 en $v$. Es fácil ver que la recíproca es válida (suponemos aquí que $u\neq 0$): si (2) se verifica para todo $v$, entonces los $e_i$ son de longitud $\|u\|$, perpendiculares a $u$ y perpendiculares entre ellos.

Geométricamente, tales $e_i$ forman entonces una base del espacio tangente en $u$ a la esfera $\{x\in E| \|x\|=\|u\|\}$. Esto parece inocuo pero, de cierto punto de vista, impone una restricción fuerte. En efecto, por un teorema de J. F. Adams, los únicos casos en los que existen tales $e_i$ verificando (2) para todo $u, v$ que dependen continuamente de $u$ son $n=2$, $n=4$ y $n=8$.

Para dichos valores particulares de $n$ se puede escoger los $e_i$ lineales en $u$, lo cual es muchísimo más fuerte que ser simplemente continuos. Ya lo observamos más arriba para $n=2$ con la ayuda de los números complejos. Para $n=4$ y $n=8$, se puede proceder de la misma manera mediante el álgebra de los cuaternios y de los octoniones, respectivamente. En efecto, estas poseen una función módulo que, tal como el valor absoluto de los números reales o el módulo de los complejos, es multiplicativo: $|xy|=|x||y|$. Se obtiene una descomposición como aquella que se busca elevando los dos miembros de esta igualdad al cuadrado, todo tras identificar $E$ al álgebra correspondiente mediante una base ortonormal.

La identidad obtenida a través de los cuaternios permite expresar el producto de dos sumas de cuatro cuadrados en una suma de cuatro cuadrados. El mismo fenómeno ocurre con los octoniones, pero para las sumas de ocho cuadrados.

Escribir estas identidades aquí tomaría demasiado espacio. Al lector interesado le sugiero el hermoso libro On quaternions and octonions: their geometry, arithmetic and symmetry de John Conway y Derek Smith, A K Peters, Ltd. 2003 (ISBN 1 56881 134 9). Además de las identidades anunciadas, allí se encuentra una prueba de un teorema de Hurwitz según el cual las únicas álgebras reales con unidad que poseen un producto escalar y cuya norma es multiplicativa son las álgebras de los reales, los complejos, los cuaternios y los octoniones.

El resultado de Adams aludido más arriba aparece en su artículo Vector fields on spheres publicado en 1962 en el volumen 75 de la revista Annals of Mathematics. Allí se calcula el número máximo $c_n$ de campos de vectores continuos sobre la esfera estándar de $\mathbb{R}^n$ cuyos valores en cada punto son linealmente independientes: si $k$ es la máxima potencia de $2$ que divide a $n$ y $r, s$ son, respectivamente, el cuociente y el residuo de la división de $k$ por $4$, entonces $c_n=2^s+8r-1$.

Es fácil ver que $c_n=n-1$ si y solo si $n$ vale $1$, $2$, $4$ u $8$. Además, cuando $n$ es impar, $c_n=0$. En consecuencia, todo campo de vectores continuo sobre una esfera de dimensión par debe anularse en al menos un punto. Esta consecuencia del teorema de Adams es conocida como el teorema de la bola peluda.