Deux billes, une bande et des rebonds : dynamique continue et dynamique discrète

Piste noire Le 23 juillet 2020  - Ecrit par  Aurélien Alvarez Voir les commentaires

Dans l’article Deux billes, une bande et des rebonds et à la suite de vidéos publiées sur la chaîne YouTube 3Blue1Brown [1], nous nous sommes intéressés au nombre de rebonds entre deux billes de billard et une bande de ce dernier. Quelques expérimentations numériques nous ont même permis de conjecturer le comportement asymptotique du nombre de rebonds $N$ avec une formule particulièrement simple ne dépendant que du rapport $\mu$ des masses des billes et faisant étonnamment apparaître le nombre $\pi$ :

\[N = N(\mu) \underset{\mu \to +\infty}{\sim} \pi \sqrt{\mu}.\]

Nous allons voir dans cet article comment calculer précisément le nombre total de rebonds dans le cadre de la dynamique newtonienne de trois manières différentes. Dans les deux premières approches, nous allons « géométriser » le problème et le réinterpréter comme un système dynamique continu ou comme un système dynamique discret. La troisième approche est une résolution purement algébrique.

Cet article s’adresse prioritairement à des étudiants de licence en mathématiques et des élèves de fin de lycée très motivés.

Rappelons que nous notons $m > 0$ la masse de la bille rouge, $M > 0$ celle de la bille blanche, $\mu$ le rapport des masses $\mu = \frac{M}{m}$, $N$ le nombre de rebonds total et que le problème est de calculer ce nombre $N$. L’animation suivante illustre la situation.

Deux espaces de configuration naturels

Nous notons $d$ et $D$ les distances entre la bande du billard et chacune des deux billes. Quitte à bien choisir notre système de coordonnées, on peut faire en sorte que

  • la distance $d$ soit nulle exactement lorsque la bille rouge est en contact avec la bande du billard ;
  • les distances $d$ et $D$ soient égales exactement lorsque les deux billes sont en contact.

Il suffit pour cela de choisir l’origine de notre système de coordonnées, non pas au niveau de la bande du billard, mais à une distance de celle-ci égale au diamètre de la bille rouge. La distance $d$ (resp. $D$) est alors mesurée depuis cette origine au bord droit (resp. gauche) de la bille rouge (resp. blanche), comme indiqué sur le figure suivante.

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Pour étudier notre système dynamique constitué des deux billes, deux espaces de configuration semblent assez naturels :

  • l’espace $\mathcal{D}$ des « distances » $(\sqrt{M}D,\sqrt{m}d)$ ;
  • l’espace $\mathcal{V}$ des « vitesses » $(\sqrt{M}V,\sqrt{m}v)$.

Remarque normative

Nous choisissons de renormaliser nos espaces de configuration en multipliant les distances et les vitesses par les racines carrées des masses.
Nous verrons au fil de nos raisonnements en quoi ces choix simplifient les calculs.

Étant donné un espace de configuration, l’état du système des deux billes à un instant donné est alors décrit par un point dans cet espace. On passe ainsi du système « concret » des deux billes à l’étude d’un système dynamique dans un espace plus abstrait. Ce changement de point de vue sur la nature d’un problème est le point de départ de l’étude des systèmes dynamiques en général [2].

L’exemple que nous étudions ici est d’autant plus intéressant que selon l’espace de configuration choisie, on tombe dans la classe des systèmes dynamiques continus ou discrets. En effet, puisque les distances varient continûment avec le temps, la dynamique dans l’espace $\mathcal{D}$ est continue, alors qu’elle est discrète dans l’espace $\mathcal{V}$ puisqu’entre deux collisions (que ce soient ceux de la bille rouge avec la bande du billard ou ceux des billes entre elles), les vitesses des billes sont constantes.

Dynamique continue dans l’espace des distances $\mathcal{D}$

Dans l’espace $\mathcal{D}$ des distances, une configuration du système des deux billes est décrite par un point $P$ de coordonnées $(x=\sqrt{M}D,y=\sqrt{m}d)$.
Nous allons voir que dans cet espace de configuration $\mathcal{D} \subset \mathbf{R}_+ \times \mathbf{R}_+$, les lois de la mécanique se traduisent en celles de l’optique : tout se passe comme si la courbe paramétrée $t \mapsto P(t)$ décrivait la trajectoire d’un rayon lumineux.

Notations

Nous convenons de noter $\frac{\text{d}z}{\text{d}t}$ ou $\dot{z}$ la dérivée par rapport à $t$, conformément à l’usage en physique. Comme dans l’article Deux billes, une bande et des rebonds, si les billes ont des vitesses $V$ et $v$, nous désignons par $V'$ et $v'$ les nouvelles vitesses des billes juste après une collision.

  • La conservation de l’énergie cinétique $E_c$ se traduit par la constance de la vitesse du rayon lumineux virtuel :
    \[\left|\left|\overrightarrow{\frac{\text{d}P}{\text{d}t}}\right|\right|^2 = \dot{x}^2+\dot{y}^2 = MV^2 + mv^2 = 2 E_c = \text{cte}.\]
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  • La conservation de la quantité de mouvement $Q$ se traduit par la loi de réflexion de Snell-Descartes. En effet, la droite d’équation $D=d$ ($x=\sqrt{\mu}y$) correspond au lieu des collisions entre les deux billes et est dirigée par le vecteur directeur $(\sqrt{\mu},1) \propto \overrightarrow{u} = (\sqrt{M},\sqrt{m})$. Lors d’une telle collision, on a
    \[\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{\frac{\text{d}P}{\text{d}t}} = MV + mv = Q = \text{cte}.\]

Rappel sur le produit scalaire

On rappelle que, pour tous vecteurs $\overrightarrow{z_1}$ et $\overrightarrow{z_2}$,
\[\overrightarrow{z_1} \cdot \overrightarrow{z_2} = \left|\left|\overrightarrow{z_1}\right|\right| \left|\left|\overrightarrow{z_2}\right|\right| \cos \phi_{z_1,z_2},\]
où $\phi_{z_1,z_2}$ est l’angle non orienté entre $\overrightarrow{z_1}$ et $\overrightarrow{z_2}$.

Puisque $\overrightarrow{u}$ est un vecteur constant et que la norme du vecteur $\overrightarrow{\frac{\text{d}P}{\text{d}t}}$ est constante d’après ce qui précède, on en déduit que les angles non orientés $\phi$ et $\phi'$ indiqués sur le dessin ci-dessus et correspondant aux angles de la trajectoire du rayon lumineux virtuel avec la droite d’équation $D=d$ avant et après réflexion sont égaux.

  • La droite des abscisses ($d=0$) correspond au lieu des collisions entre la bille rouge et la bande du billard. Lors d’un tel rebond, on a $(V',v')=(V,-v)$, et donc, là encore, c’est que les angles non orientés $\psi$ et $\psi'$ indiqués sur le dessin ci-dessus sont égaux.

L’animation précédente illustre la situation en deux temps :

  1. Le rayon lumineux virtuel suit sa trajectoire dans l’espace $\mathcal{D}$ des distances conformément aux mouvements des billes sur le billard. En particulier, à chaque collision des billes entre elles ou de la bille rouge avec la bande, le rayon lumineux virtuel subit une réflexion par rapport à la droite d’équation $D=d$ ou par rapport à la droite des abscisses ($d=0$).
  2. Le mouvement de billard est ensuite rejoué comme si la droite d’équation $D=d$ était une lame semi-réfléchissante. Dans ce cas, quand le rayon lumineux virtuel arrive sur la lame, une partie de celui-ci traverse la lame « tout droit » et l’autre partie est réfléchie comme précédemment (le rayon réfléchi n’est pas montré sur cette seconde partie de l’animation). Pourquoi « tout droit » ? L’image ci-dessous rend ce fait évident : c’est en allant « tout droit » que l’angle entre le rayon lumineux virtuel et la droite d’équation $D=d$ est préservé.
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La droite des abscisses ($d=0$) a elle aussi une image par symétrie à travers la lame semi-réfléchissante orange : cette image est la « première » demi-droite non horizontale noire dessinée sur la figure ci-dessous. Et ainsi de suite, par un jeu de symétries miroirs, le problème de compter le nombre total de rebonds $N$ se réduit à compter le nombre maximal de secteurs angulaires d’un même angle $\theta$ que l’on peut mettre dans un demi-plan.

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Puisque la droite orange correspondant aux collisions entre les deux billes est d’équation $D=d$ ($x=\sqrt{\mu}y$), on en déduit que l’angle $\theta$ vérifie $\tan \theta = 1/\sqrt{\mu}$, et ainsi
\[N = N(\mu) = \max \left\{n \in \mathbf{N} \ ; \ n < \frac{\pi}{\arctan(1/\sqrt{\mu})}\right\}.\]

  • Si les masses des deux billes sont égales ($\mu = 1$) et puisque $\tan \frac{\pi}{4} = 1$, on calcule que $N = 3$ : c’est la situation de « carreau » que nous avions évoquée dans les premières lignes de notre article précédent Deux billes, une bande et des rebonds.
  • Le cas d’une bille rouge infiniment massive correspond au cas limite $\mu = 0$ : la bille rouge reste indéfiniment immobile et la bille blanche rebondit une seule fois sur la bille rouge ($N = 1$).
  • Si $0 < \mu \leq 1/3$, il y a deux rebonds au total ($N = 2$) : d’abord la bille blanche rebondit sur la bille rouge beaucoup plus massive qu’elle et repart d’où elle vient pendant que la bille rouge va aller rebondir une fois sur la bande gauche du billard.
Proposition. Tous les nombres de rebonds sont possibles et \[N = N(\mu) \underset{\mu \to +\infty}{\sim} \pi \sqrt{\mu}.\]
Démonstration

Quand $\mu$ varie de 0 à $+\infty$, $\theta$ varie continûment de $\pi/2$ à 0.
L’équivalent pour $N$ se déduit immédiatement de l’équivalent $\tan\theta \sim \theta$ au voisinage de 0.

Système dynamique discret dans l’espace des vitesses $\mathcal{V}$

Dans l’espace $\mathcal{V} \subset \mathbf{R} \times \mathbf{R}$ des vitesses, une configuration du système des deux billes est décrite par un point $\dot{P}$ de coordonnées $(\dot{x}=\sqrt{M}V,\dot{y}=\sqrt{m}v)$. L’évolution du système se fait à intervalles de temps discrets puisqu’entre deux collisions, il ne se passe rien.

Nous allons voir à présent comment, étant donné une position $\dot{P}$ dans cet espace de configuration, les lois de la conservation de l’énergie cinétique et de la quantité de mouvement spécifient précisément la position suivante $\dot{P'}$.

  • La conservation de l’énergie cinétique $E_c$ se traduit géométriquement par une dynamique sur un cercle puisque la norme euclidienne du point $P$ est constante :
    \[\left|\left|\dot{P}\right|\right|^2 = \dot{x}^2+\dot{y}^2 = MV^2 + mv^2 = 2 E_c = \text{cte}.\]
    Plus précisément, cela signifie qu’à chaque fois que le système évolue (c’est-à-dire qu’il se produit un rebond), la position suivante du sytème est dans le même niveau d’énergie qui est un cercle.
  • La conservation de la quantité de mouvement lors d’une collision entre les deux billes se traduit géométriquement par le fait que la droite passant par $\dot{P}$ et $\dot{P'}$ est orthogonale à la droite d’équation passant par l’origine et dirigée par le vecteur directeur $\overrightarrow{u} = (\sqrt{M},\sqrt{m})$. En effet, on a
    \[ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{\dot{P}\dot{P'}} & = & (\sqrt{M},\sqrt{m}) \cdot \left(\sqrt{M}(V'-V),\sqrt{m}(v'-v)\right) \\ & = & (MV'+mv') - (MV+mv) = 0.\\ \end{array} \]
    Puisque $\left|\left|\dot{P}\right|\right|^2 = \left|\left|\dot{P'}\right|\right|^2$, c’est donc que $\dot{P'}$ est l’image de $\dot{P}$ par la réflexion orthogonale $R$ par rapport à la droite passant par l’origine et de pente $1/\sqrt{\mu}$.
  • Le rebond de la bille rouge sur la bande gauche du billard se traduit géométriquement par la réflexion orthogonale $S$ par rapport à l’axe des abscisses puisque, lors d’un tel rebond, on a $(V',v')=(V,-v)$, autrement dit $(\dot{x},\dot{y}) \mapsto (\dot{x},-\dot{y})$.

Nous sommes désormais en mesure d’expliciter complètement la dynamique dans l’espace des vitesses $\mathcal{V}$. On considère le cercle centré à l’origine du plan euclidien $\mathbf{R}^2$ et passant par le point $\dot{P_0}$ de coordonnées $(V_0,0)$ où $V_0 < 0$ est la vitesse initiale de la bille blanche.

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Le point $\dot{P_1}$ est l’image du point $\dot{P_0}$ par la réflexion orthogonale $R$ (réflexion orthogonale par rapport à la droite orange sur le dessin ci-dessus). Le point $\dot{P_2}$ est l’image du point $\dot{P_1}$ par la réflexion orthogonale $S$ (réflexion orthogonale par rapport à la droite blanche sur le dessin ci-dessus). Le point $\dot{P_3}$ est l’image du point $\dot{P_2}$ par la réflexion orthogonale $R$...
\[\dot{P_0} \xrightarrow{R} \dot{P_1} \xrightarrow{S} \dot{P_2} \xrightarrow{R} \dot{P_3}...\]

On alterne ainsi successivement les symétries $R$ et $S$ aussi longtemps que possible. Ce processus s’arrête lorsque l’on est dans l’une des deux situations suivantes :

  • 1er cas d’arrêt : L’image par la symétrie $R$ est un point d’ordonnée positive ou nulle : cela correspond au cas où la bille rouge s’échappe à l’infini ou s’arrête après la collision des deux billes.
  • 2e cas d’arrêt : L’image par la symétrie $S$ est un point dont les coordonnées $(\dot{x},\dot{y})$ sont positives et vérifient $\dot{x} \geq \sqrt{\mu}\dot{y}$ : cela correspond au cas où les deux billes s’échappent à l’infini sans que la bille rouge ne puisse rattraper la bille blanche.

Remarque sur les conditions d’arrêt

L’une de ces deux conditions d’arrêt arrive nécessairement tôt ou tard car, si le point $\dot{P}_{2(k+1)}$ est l’image du point $\dot{P}_{2k}$ par la composée $S \circ R$, alors l’abscisse de $\dot{P}_{2(k+1)}$ est strictement plus grande que celle de $\dot{P}_{2k}$. Rappelons que la composée de deux réflexions orthogonales dont l’angle entre les deux axes de réflexion est $\theta$ est une rotation d’angle $\theta'=2\theta$. La figure suivante illustre ce théorème classique de géométrie du plan.

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L’animation suivante illustre la situation.

Le nombre total de collisions $N$ est donc le plus grand entier $n$ tel que $n \theta < \pi$.

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Puisque la droite orange correspondant aux collisions entre les deux billes est d’équation $D=d$ ($x=\sqrt{\mu}y$), l’angle $\theta$ vérifie $\tan \theta = 1/\sqrt{\mu}$ comme nous l’avions déjà noté.

Résolution algébrique

Nous venons de voir deux façons de résoudre le problème géométriquement. Il est bien sûr tout à fait possible de le résoudre complètement de manière algébrique. C’est possible oui. Mais est-ce souhaitable ? 😊 C’est parce que nous n’en sommes pas tout à fait sûrs que nous vous proposons cette résolution dans le bloc dépliant ci-dessous. Avis aux amateurs.

C’est vous qui voyez...

Rappelons les formules que nous avons dérivées dans l’article Deux billes, une bande et des rebonds exprimant les vitesses $V'$ et $v'$ après une collision des deux billes de vitesses incidentes $V$ et $v$ :

\[ V' = \frac{\mu-1}{\mu+1} V + \frac{2}{\mu+1} v \quad \text{et} \quad v' = \frac{2\mu}{\mu+1} V - \frac{\mu-1}{\mu+1} v. \]

Dans l’espace $(\dot{x},\dot{y})$ des vitesses $\mathcal{V}$, ces équations se récrivent sous la forme

\[ \begin{pmatrix} \dot{x}' \\ \dot{y}' \\ \end{pmatrix} = \frac{1}{\mu+1} \begin{pmatrix} \mu-1 & 2\sqrt{\mu} \\ 2\sqrt{\mu} & -(\mu-1) \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \end{pmatrix}. \]

Les formules exprimant les nouvelles vitesses lors d’une collision entre les deux billes (transformation $R$), ainsi que celles lors d’un rebond de la bille rouge sur la bande du billard (transformation $S$) sont donc données par les matrices

\[ R = \frac{1}{\mu+1} \begin{pmatrix} \mu-1 & 2\sqrt{\mu} \\ 2\sqrt{\mu} & -(\mu-1) \\ \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{pmatrix}, \]
et, comme nous l’avions déjà compris, il s’agit de réflexions orthogonales ($R$ et $S$ sont des matrices orthogonales de déterminant $-1$ et dont les carrés sont la matrice identité).
Notons $T$ la composition de $R$ suivie de $S$ : comme composée de deux réflexions orthogonales, il s’agit d’une rotation d’angle $\theta'=2\theta$, où $\theta$ est l’angle entre les deux axes de réflexion et vérifie $\tan \theta = 1/\sqrt{\mu}$.

On calcule
\[ T = S \cdot R = \frac{1}{\mu+1} \begin{pmatrix} \mu-1 & 2\sqrt{\mu} \\ -2\sqrt{\mu} & \mu-1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta' & -\sin \theta' \\ \sin \theta' & \cos \theta' \\ \end{pmatrix}, \]
avec
\[\cos \theta' = \frac{\mu-1}{\mu+1} \quad \text{et} \quad \sin \theta' = -\frac{2\sqrt{\mu}}{\mu+1}.\]
Puisque $T$ est une matrice de rotation, on en déduit immédiatement, pour tout entier naturel $n$,
\[ T^n = \begin{pmatrix} \cos(n\theta') & -\sin(n\theta') \\ \sin(n\theta') & \cos(n\theta') \\ \end{pmatrix} \]
En notant $\dot{P_0}$ le point de coordonnées $(V_0,0)$ où $V_0 < 0$ est la vitesse initiale de la bille blanche, on a
\[T^n(P_0) = V_0 (\cos(n\theta'), \sin(n\theta')).\]

On vérifie sans trop de difficultés que $-\theta'=2\theta$. En effet,
\[\tan(-\theta')=\frac{2\sqrt{\mu}}{\mu-1}=\frac{2\tan \theta}{1-\tan^2\theta}=\frac{2\sin\theta\cos\theta}{\cos^2\theta-\sin^2\theta}=\frac{\sin(2\theta)}{\cos(2\theta)}=\tan(2\theta).\]

1er cas d’arrêt

L’image par la symétrie $R$ est un point d’ordonnée positive ou nulle : cela correspond au cas où la bille rouge s’échappe à l’infini ou s’arrête après la collision des deux billes. On a dans ce cas $N = 2n-1$, où $n$ désigne le plus entier naturel tel que $V_0 \sin(n\theta') \leq 0$, ou encore
\[\sin(\pi + n\theta') = -\sin(n\theta') \leq 0 \quad \textit{i.e.} \quad n(-\theta') \geq \pi.\]
Puisque $-\theta'=2\theta$, on a
\[N = 2 \min \left\{n \ ; \ 2n\theta \geq \pi \right\} - 1 = 2 \max \left\{n \ ; \ 2n\theta < \pi \right\} + 1\]

2e cas d’arrêt

L’image par la symétrie $S$ est un point dont les coordonnées $(\dot{x},\dot{y})$ sont positives et vérifient $\dot{x} \geq \sqrt{\mu}\dot{y}$ : cela correspond au cas où les deux billes s’échappent à l’infini sans que la bille rouge ne puisse rattraper la bille blanche.
On a dans ce cas $N = 2n$, où $n$ désigne le plus entier naturel tel que
\[ \left\{ \begin{array}{rcl} V_0 \cos(n\theta') & > & 0 \\ V_0 \sin(n\theta') & > & 0 \\ \sqrt{\mu}(V_0 \sin(n\theta')) & \leq & V_0 \cos(n\theta'), \\ \end{array} \right. \]
soit
\[\tan (\pi + n\theta') \leq \frac{1}{\sqrt{\mu}} = \tan \theta \quad \text{ou encore} \quad \pi \leq (2n+1)\theta.\]
Finalement
\[N = 2 \min \left\{n \ ; \ \pi \leq (2n+1)\theta \right\} = 2 \max \left\{n \ ; \ (2n-1)\theta < \pi \right\}.\]

On retrouve à travers les formules ci-dessus la formule générale que nous avions déduite par un raisonnement géométrique du nombre total $N$ de rebonds, à savoir
\[N = N(\mu) = \max \left\{n \ ; \ n\theta < \pi\right\}.\]

En effet...
  • Si $N = 2n+1$ est impair, c’est donc que
    \[(2n+1)\theta < \pi \quad \text{et} \quad (2n+2)\theta \geq \pi.\]
    Par suite $2n\theta < \pi$ et $n$ est le plus grand entier tel que $2n\theta < \pi$.
  • Si $N = 2n$ est pair, c’est donc que
    \[2n\theta < \pi \quad \text{et} \quad (2n+1)\theta \geq \pi.\]
    Par suite $(2n-1)\theta < \pi$ et $n$ est le plus grand entier tel que $(2n-1)\theta < \pi$.

En guise de conclusion...

J’espère que ce petit problème vous aura passionné que moi : un mélange de physique, de géométrie, de dynamique... avec une petite dose d’informatique pour se forger une bonne intuition du problème pour commencer. Un petit bijou en somme. Cette approche multidisciplinaire des mathématiques n’est pas sans rappeler cette célèbre citation de Vladimir Arnold (1937-2010) :

« Les mathématiques font partie de la physique. La physique est une science expérimentale, une des sciences naturelles. Les mathématiques, ce sont la partie de la physique où les expériences ne coûtent pas cher. » [3]

Post-scriptum :

Je remercie très chaleureusement Jos Leys pour les animations de cet article et celles de son article compagnon ainsi que le relecteur amic pour ses commentaires et remarques.

Article édité par Pierre-Antoine Guihéneuf

Notes

[2À propos de systèmes dynamiques et de billards, on pourra lire cet article.

[3Arnold. Sur l’éducation mathématique. Gazette des Mathématiciens. Vol. 78, p. 19-29 (1998).

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Pour citer cet article :

Aurélien Alvarez — «Deux billes, une bande et des rebonds : dynamique continue et dynamique discrète» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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