Un épisode de la série les 5 minutes Lebesgue

Deux malentendus de la théorie des ensembles

Piste rouge Le 21 janvier 2023  - Ecrit par  Collectif Les 5 minutes Lebesgue Voir les commentaires (1)
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Les 5 minutes Lebesgue sont une série vidéo proposée par le Centre Henri Lebesgue. Elle consiste en des exposés mathématiques, indépendants les uns des autres, qui durent chacun cinq minutes chrono ! Les sujets sont variés et s’adressent à différents publics allant du grand public au mathématicien spécialisé.

Abonnez-vous à la série sur YouTube (un nouvel exposé sera mis en ligne chaque semaine) en cliquant sur le bouton rouge YouTube un peu plus haut à droite et retrouvez ci-dessous un exposé de 2018 de Patrick Dehornoy (1952-2019) niveau étudiant en L1 ou L2.

Rediffusion d’une vidéo publiée le 4 avril 2020.

Non, il n’y a aucune raison de croire que l’entier 2 est l’ensemble { ∅, {∅} }

...
Non, il n’y a aucune raison de croire que la non-prouvabilité de l’hypothèse du continu à partir de ZFC indique que le problème du continu ne sera jamais résolu...

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Pour citer cet article :

Collectif Les 5 minutes Lebesgue — «Deux malentendus de la théorie des ensembles» — Images des Mathématiques, CNRS, 2023

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  • Deux malentendus de la théorie des ensembles

    le 21 janvier à 16:52, par fabx

    Très bonne intervention qui dissipe effectivement le malentendu « on ne pourra jamais démontrer l’hypothèse du continu » :)
    Il est faux d’affirmer cela, d’accord. Cependant, pour aller un peu plus loin, ce qu’il ne dit pas (peut-être parce qu’il n’y a pas de réponse claire) c’est : peut-on considérer qu’il existe nécessairement un axiome (ou ensemble d’axiome ou schéma d’axiome, etc.) qui intégré à $ZFC$, encore à découvrir donc, prouve ou réfute l’hypothèse du continu ?

    J’ai le sentiment que toute l’ambiguïté de cette question réside dans le terme un peu polémique « découvrir ». Il me semble qu’un axiome est effectivement censé être naturel (encore que l’axiome du choix est sujet à polémique pour cette question, et pour cause il est tantôt intégré à $ZF$ ($ZFC$, donc) tantôt écarté pour de nombreuses démonstrations), à savoir :

    Peut-on imaginer qu’il existe deux axiomes « légitimes » (mais là encore avec ce terme on reste ambigu, surtout si la réponse pour une réponse positive) $A_1$ et $A_2$ tel que $ZFC + A_1$ prouverait $HC$ mais $ZFC + A_2$ réfuterait $HC$ ?
    Si la réponse est non (en ayant convenablement défini le sens de « légitime »), est-on pour autant assuré que $HC$ est soit vraie soit fausse (relativement au modèle du corps des nombres réels au sens standard) dans un système « naturel »/« légitime »/« acceptable » ?

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