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• Deux malentendus de la théorie des ensembles

  le 21 janvier à 16:52, par fabx

  Très bonne intervention qui dissipe effectivement le malentendu « on ne pourra jamais démontrer l’hypothèse du continu » :)
  Il est faux d’affirmer cela, d’accord. Cependant, pour aller un peu plus loin, ce qu’il ne dit pas (peut-être parce qu’il n’y a pas de réponse claire) c’est : peut-on considérer qu’il existe nécessairement un axiome (ou ensemble d’axiome ou schéma d’axiome, etc.) qui intégré à $ZFC$, encore à découvrir donc, prouve ou réfute l’hypothèse du continu ?

  J’ai le sentiment que toute l’ambiguïté de cette question réside dans le terme un peu polémique « découvrir ». Il me semble qu’un axiome est effectivement censé être naturel (encore que l’axiome du choix est sujet à polémique pour cette question, et pour cause il est tantôt intégré à $ZF$ ($ZFC$, donc) tantôt écarté pour de nombreuses démonstrations), à savoir :

  Peut-on imaginer qu’il existe deux axiomes « légitimes » (mais là encore avec ce terme on reste ambigu, surtout si la réponse pour une réponse positive) $A_1$ et $A_2$ tel que $ZFC + A_1$ prouverait $HC$ mais $ZFC + A_2$ réfuterait $HC$ ?
  Si la réponse est non (en ayant convenablement défini le sens de « légitime »), est-on pour autant assuré que $HC$ est soit vraie soit fausse (relativement au modèle du corps des nombres réels au sens standard) dans un système « naturel »/« légitime »/« acceptable » ?

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