Un épisode de la série les 5 minutes Lebesgue

Deux malentendus de la théorie des ensembles

Pista roja El 21 enero 2023 - Escrito por Collectif Les 5 minutes Lebesgue Ver los comentarios (1)

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Les 5 minutes Lebesgue sont une série vidéo proposée par le Centre Henri Lebesgue. Elle consiste en des exposés mathématiques, indépendants les uns des autres, qui durent chacun cinq minutes chrono! Les sujets sont variés et s’adressent à différents publics allant du grand public au mathématicien spécialisé.

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Rediffusion d’une vidéo publiée le 4 avril 2020.

Non, il n’y a aucune raison de croire que l’entier 2 est l’ensemble { ∅, {∅} }

...
Non, il n’y a aucune raison de croire que la non-prouvabilité de l’hypothèse du continu à partir de ZFC indique que le problème du continu ne sera jamais résolu...

Comentario sobre el artículo

Deux malentendus de la théorie des ensembles

le 21 de enero à 16:52, par fabx

Très bonne intervention qui dissipe effectivement le malentendu « on ne pourra jamais démontrer l’hypothèse du continu » :)
Il est faux d’affirmer cela, d’accord. Cependant, pour aller un peu plus loin, ce qu’il ne dit pas (peut-être parce qu’il n’y a pas de réponse claire) c’est : peut-on considérer qu’il existe nécessairement un axiome (ou ensemble d’axiome ou schéma d’axiome, etc.) qui intégré à $ZFC$, encore à découvrir donc, prouve ou réfute l’hypothèse du continu ?

J’ai le sentiment que toute l’ambiguïté de cette question réside dans le terme un peu polémique «découvrir». Il me semble qu’un axiome est effectivement censé être naturel (encore que l’axiome du choix est sujet à polémique pour cette question, et pour cause il est tantôt intégré à $ZF$ ($ZFC$, donc) tantôt écarté pour de nombreuses démonstrations), à savoir :

Peut-on imaginer qu’il existe deux axiomes « légitimes » (mais là encore avec ce terme on reste ambigu, surtout si la réponse pour une réponse positive) $A_1$ et $A_2$ tel que $ZFC + A_1$ prouverait $HC$ mais $ZFC + A_2$ réfuterait $HC$ ?
Si la réponse est non (en ayant convenablement défini le sens de « légitime »), est-on pour autant assuré que $HC$ est soit vraie soit fausse (relativement au modèle du corps des nombres réels au sens standard) dans un système « naturel »/« légitime »/« acceptable » ?
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