Un desafío por semana

Diciembre 2014, tercer desafío

El 19 diciembre 2014  - Escrito por  Ana Rechtman
El 26 diciembre 2014
Artículo original : Décembre 2014, 3ème défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío.

Semana 51:

Juan y Luis tienen cada uno una bandeja de juego tipo tablero de ajedrez, con $L$ líneas, $C$ columnas y $P$ piezas. Juan coloca todas sus piezas, no más de una por casilla, de manera que $8$ líneas estén vacías y que cada una de las otras tenga $9$ casillas vacías. Luis dispone todas sus piezas de modo que $12$ líneas estén vacías y cada una de las otras tenga $6$ casillas vacías. ¿Cuánto vale la razón $\frac{C}{L}$ ?

Solución al segundo desafío de diciembre

Enunciado

La respuesta es $~20\left (\sqrt{2}-1\right ) \, cm$.

Denominemos $~x~$ la longitud de los lados adyacentes al ángulo recto de los triángulos rectángulos isósceles e $~y~$ la longitud de los lados del octógono (ambas medidas en $cm$). Se tiene entonces $~2x+y=20$.

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Cada triángulo isósceles tiene como lados $~x, ~x, ~y$. Aplicando el teorema de Pitágoras se tiene $~2x^2=y^2$, es decir $~y=x\sqrt{2}$. Se obtiene entonces

$ 2x+x\sqrt{2} = 20$

$x = \frac{20}{2+\sqrt{2}}=\frac{20(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}= (20-10\sqrt{2})$.

En consecuencia, $~y=\left (20\sqrt{2}-20\right)=20\left (\sqrt{2}-1\right)$, que es la longitud de cada lado del octógono.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Étienne Ghys - Ilustraciones: Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Diciembre 2014, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - ’’Los flujos de Anosov’’, por Jos Leys.

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