Enunciado

La respuesta es $513\,624$.

Notemos que $5$ es un número primo que no divide a ningún otro dígito y que solo es múltiplo de $1$. Por lo tanto, el dígito $5$ debe esta a un extremo del código junto al dígito $1$. Como el código es par, $5$ debe estar al principio, por lo que el código comienza con $51$.

Entre los cuatro dígitos restantes ($2$, $3$, $4$ y $6$), el dígito $3$ no puede estar junto a $2$ ni a $4$. Del mismo modo, $4$ no puede estar junto a $3$ ni a $6$. Por lo tanto, el final del código es $3\,624$ o $4\,263$. Como el código es un número par, la segunda opción es imposible. Entonces el código es $513\,624$.