Un desafío por semana

Diciembre 2019, cuarto desafío

El 27 diciembre 2019  - Escrito por  Ana Rechtman
El 27 diciembre 2019
Artículo original : Décembre 2019, 4e défi Ver los comentarios
Leer el artículo en  

Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México)!

Semana 52

¿Cuántos triángulos no degenerados en segmentos se pueden formar cuyos vértices figuren entre los puntos que se muestran a continuación?

Solución del tercer desafío de diciembre:

Enunciado

La solución es $45$.

Notemos $x$ el número buscado. Debe entonces haber enteros positivos diferentes entre sí $a,b,c,d,e$ y $f$ tales que
\[ x = a^2 - b^2 = c^2 - d^2 = e^2 - f^2 \]
o bien
\[ x = (a + b)(a - b) = (c + d)(c - d) = (e + f)(e - f). \]

Observa que estas tres factorizaciones de $x$ son distintas, porque si tuviéramos que, por ejemplo, $a + b = c + d$, entonces $a - b = c - d$, y sumando ambas igualdades deduciríamos que $a = c$, junto con $b = d$. Por consiguiente $x$ posee al menos seis divisores diferentes.

Observa también que $a + b$ y $a - b$ tienen la misma paridad puesto que su diferencia es $2b$. Como el producto de dos pares es par, y el de dos impares impar, $x$ tiene la misma paridad que $a + b$ y $a - b$. Así pues $x$ se descompone como producto de tres pares diferentes de números con la misma paridad.

Analicemos diversos casos según el número de factores primos de $x$:

Si $x$ tiene un solo factor primo, entonces $x$ es de la forma $x = p^r$ con $r$ entero.
  • Si $p = 2$, entonces $x$ es par, y los divisores pares de $x$ son $p, p^2, p^3,\dots, p^r$. Como hacen falta seis de ellos, a parte de $x$ (hay un problema si descomponemos $x$ bajo la forma $1\times x$, puesto que $1$ es impar), tenemos pues que $r\geq 7$, y por tanto $x\geq 2^7 = 128$. Observa que $x = 128$ funciona, porque $128 = 2\times 64 = 4\times 32 = 8\times 16$.
  • Si $p$ es impar, entonces los divisores impares de $x$ sont $1, p, p^2,\dots, p^r$. Como se necesitan seis de ellos, tenemos pues que $r\geq 5$, y así $x\geq 3^5 = 243$, que no es tan bueno como $128$.
Si $x$ posee dos factores primos, entonces $x$ es de la forma $x = p^r q^s$ con $p, q$ primos y $r, s\geq 1$ enteros y $r < 7$, para obtenir un número más pequeño que $2^7$.
  • Si $x$ es par, entonces se tiene que $p = 2$, y los divisores pares de $x$ son $p, pq, pq^2,\dots, pq^s, p^2, p^2q,\dots, p^2q^s, p^3,\dots, p^r q^s$.

Como cada divisor debe aparearse con divisores de la misma paridad, no consideramos más que los divisores de la forma $p, pq, pq^2,\dots, pq^s$, $p^2, p^2q,\dots, p^2q^s$, $p^3,\dots, p^{r-1} q^s$, de los cuales hay $(r - 1)\times (s + 1)$.

Si $r = 2$ , entonces $s\geq 5$, y $x\geq 2^23^5 = 972$, que es demasiado grande.

Si $r = 3$ , entonces $s\geq 2$, y $x\geq 2^33^2 = 72$. Observa que $x = 72$ funciona, puesto que $72 = 2\times 36 = 4\times 18 = 6\times 12$.

Si $r = 4$ , entonces $s\geq 1$, y $x\geq 2^43 = 48$. Observa que $x = 48$ funciona, puesto que $48 = 2\times 24 = 4\times 12 = 8\times 6$.

Si $r\geq 5$ , entonces $s\geq 1$ y este caso es forzosamente menos bueno que el precedente.

  • Si $x$ es impar, entonces los divisores impares de $x$ son $1, q, q^2,\dots, q^s$, $p, pq, pq^2,\dots pq^s$, $p^2,\dots, p^r q^s$, de los cuales hay $(r + 1)(s + 1)$, con $r, s\geq 1$.

Si $r = 1$ , entonces $s\geq 2$, y $x\geq 3\times 5^2 = 75$, que es menos bueno que $48$.

Si $r\geq 2$ , entonces $s\geq 1$, y $x\geq 3^2 \times 5 = 45$. Observa que $x = 45$ funciona, puesto que $45 = 1\times 45 = 3\times 15 = 5\times 9$.

Si $x$ tiene al menos tres factores primos, entonces $x$ es de la forma $p^u q^v r^w s$ con $p,q,r$ primos y $u,v,w\geq 1$ enteros.
  • Si $x$ es par, entonces $p = 2$ y debemos tener que $u\geq 2$ para poder aparear los divisores pares. Tenemos pues que $x\geq 2^2\times 3\times 5 = 60$.
  • Si $x$ es impar, entonces $x\geq 3\times 5\times 7 = 105$.

De entre los casos estudiados, el mejor resultado es pues $x = 45$ (no lejos delante de $x=48$).

Se tiene entonces $a + b = 45$, $a - b = 1$, $c + d = 15$, $c - d = 3$, $e + f = 9$ y $e - f = 5$, de donde $a = 23$, $b = 22$, $c = 9$, $d = 6$, $e = 7$ y $f = 2$.

Tenemos finalmente que
\[ 45 = 23^2 - 22^2 = 9^2 - 6^2 = 7^2 - 2^2. \]

Post-scriptum :

Calendario matemático 2019 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2018, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2019 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos: Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

Comparte este artículo

Para citar este artículo:

— «Diciembre 2019, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Comentario sobre el artículo

Dejar un comentario

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexióninscribirse¿contraseña olvidada?

La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.