Un desafío por semana
Diciembre 2019, segundo desafío
Le 13 décembre 2019Le 13 décembre 2019
Article original : Décembre 2019, 2e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México) !
Escribe el número $2019$ como la suma de cinco números enteros al cubo.
La solución es $17 + \dfrac{1}{17}$.
Observa que las franjas coloreadas son paralelogramos de base $2$ y de altura $5$. En consecuencia, el área de la parte coloreada vale
\[
10 + 10 - \text{(área del cuadrado central)}.
\]
Pongamos nombres a los siete puntos particulares como se indica :
Gracias al teorema de Pitágoras obtenemos que
\[
AG^2 = AD^2 + DG^2 = 25 + 9 = 34.
\]
Puesto que el segmento $(EF)$ es paralelo a $(AG)$, los triángulos $ADG$ y $EFD$ son semejantes, de donde
\[
\frac{EF}{ED} = \frac{AD}{AG} = \frac{5}{\sqrt{34}},
\]
y así pues $EF = \frac{10}{\sqrt{34}}$.
Por consiguiente el área del cuadrado central es
\[
\biggl(\frac{10}{\sqrt{34}}\biggr)^{\!2} = \frac{50}{17},
\]
y la de la región coloreada es
\[
20 - \frac{50}{17} = \frac{290}{17}=17 + \frac{1}{17}.
\]
Calendario matemático 2019 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2018, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.
Calendario matemático 2019 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.
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Pour citer cet article :
— «Diciembre 2019, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019
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