Dinámica de poblaciones

Historia de R_0, de Fibonacci a la gripe H1N1

Piste rouge Le 30 mars 2020  - Ecrit par  Nicolas Bacaër
Le 7 avril 2020  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Dynamique des populations Voir les commentaires
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Un artículo de 2009 que cobra especial relevancia hoy.

En estos tiempos de gripe, los modelizadores son particularmente solicitados para tratar de prevenir la evolución de la epidemia o el efecto que podrían tener algunas intervenciones como el cierre de escuelas, la restricción de los viajes, una campaña de vacunación, etc. En el discurso de esos aprendices de futurólogos aparece siempre un parámetro conocido bajo el nombre de $R_0$ (pronunciar « erre-cero ») y que representa grosso modo el número de casos secundarios que un enfermo puede infectar al inicio de la epidemia. Este artículo pretende trazar la historia de este parámetro, que no es, sin embargo, específico de la epidemiología, sino que está relacionado con todos los problemas de dinámica de poblaciones.

Antes de hablar de $R_0$, es necesario primero hacer un largo desvío para mencionar a su primo cercano, la tasa de crecimiento. Comencemos con la serie de Fibonacci. En su Liber Abaci (1202), Fibonacci considera un problema de conejos, cuya población $p(n)$ al mes siguiente $n$ crece siguiendo la ecuación $p(n+1)=p(n)+p(n-1)$, con $p(0)=0$ y $p(1)=1$. Kepler hará notar que $p(n+1)/p(n)$ tiende hacia el número de oro $(1+\sqrt{5})/2$. Es la tasa de crecimiento mensual de la población.

La serie de Fibonacci es evidentemente un mal modelo para una población real de conejos. Le falta la mortalidad. En el siglo XVII, la mortalidad comienza a ser mejor conocida, al menos para los humanos. Los primeros cuadros de mortalidad son publicados (Graunt, Halley...), indicando la probabilidad de que un nuevo nacido siga aún con vida al cabo de cierto número de años.

Cuando Euler llega a Berlín en 1741, uno de sus colegas en la academia, Johann Peter Süssmilch, acaba de publicar el primer tratado dedicado completamente a la demografía. La población de Berlín es recensada en 1747. En 1748, Euler publica su ’’Introducción al análisis de los infinitamente pequeños’’. El capítulo acerca del exponencial y el logaritmo discute varios asuntos demográficos, basándose en la hipótesis de una población $p(n)$ que crece de año en año según la fórmula $p(n+1)=r\ p(n)$ con $r>1$. En 1760, Euler descubre una relación entre la tasa de crecimiento $r$, el número $N$ de nacimientos por habitante y por año y la probabilidad $q(k)$ de seguir con vida $k$ años después de su nacimiento : $1=N (1 + q(1)/r + q(2)/r^2 + ... + q(k)/r^k + ... )$. En efecto, el número de nacimientos crece también con la tasa $r$. La población $P$ está por lo tanto compuesta por $\nu=N\, P$ recién nacidos, niños de un año (hay $q(1)\, \nu/r$), niños de dos años (hay $q(2)\, \nu/r^2$), etc.

Este parámetro $r$ va a vivir su momento de gloria con Malthus y su ’’Ensayo acerca del principio de población’’ (1798). Las consecuencias sociales que, según Malthus, resultan del desequilibrio entre el crecimiento exponencial de la población y el crecimiento más lento de la producción de alimentos, serán el objetivo de las críticas de Marx. El libro de Malthus inspirará también a Darwin su teoría de la evolución por la selección natural (’’El origen de las especies’’, 1859). En los años 1920, mientras se desarrolla un enfoque matemático de la evolución, Ronald Fisher dará a $r$ el nombre de ’’parámetro malthusiano’’.

Un pasaje en la segunda edición (1803) del libro de Malthus incita igualmente a algunos a interesarse en el asunto de la extinción de los apellidos. En 1845, Bienaymé muestra que si todo hombre tiene una probabilidad $a(k)$ de tener k hijos, entonces un hombre verá seguro extenderse su descendencia masculina si el número promedio de hijos $a(1)+2 a(2)+...+k a(k)+...$ es menor o igual a $1$. Es este número el que se llamará $R_0$. Si al contrario, $R_0$ es estrictamente superior a $1$, entonces la extinción se produce con una cierta probabilidad comprendida entre $0$ y $1$, y puede calcularse. El mismo problema será estudiado en 1873 por Galton y Watson (ver este artículo). En 1927, Haldane utiliza un modelo análogo para analizar la aparición de genes mutantes. Después de los trabajos de Steffensen y luego de Kolmogorov, se hablará de teoría de los procesos de ramificación.

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Realización de un proceso de ramificación con $R_0=2$.

El primer caso infecta a dos personas. Uno de estos casos infecta a tres otras.

En 1911, el estudio de la tasa de crecimiento es igualmente retomado por un químico estadounidense, Lotka, en el marco de un modelo en tiempo continuo. Si $N(t)$ es el número de hijas nacidas por unidad de tiempo en el momento $t$, si $q(x)$ es la probabilidad de una mujer de estar aún con vida a la edad $x$, si $\alpha$ es la edad mínima y $\omega$ la edad máxima a las cuales una mujer puede dar nacimiento a un hijo, y si $f(x)$ es la fertilidad (más exactamente, la probabilidad por unidad de tiempo de dar nacimiento a una hija) a la edad $x$, entonces $N(t)$ verifica la ecuación integral
\[N(t) = \int_\alpha^\omega f(x)\, q(x)\, N(t-x)\, dx.\]
En efecto, hay $N(t-x) dx$ nacimientos femeninos entre los momentos $t-x$ y $t-x+dx$. Una fracción $q(x)$ de esas recién nacidas sobrevive hasta la edad $x$, dando a luz $f(x)\, q(x)\, N(t-x)\, dx$ hijas por unidad de tiempo en el momento $t$. Lotka adivina que $N(t)$ crece asintóticamente como $exp(rt)$, con una tasa instantánea de crecimiento $r$ que es la solución de la ecuación

\[\begin{equation}1=\int_\alpha^\omega f(x)\, q(x)\, \exp(-rx)\, dx. \label{equation_1}\end{equation}\]

Esto es el análogo en tiempo continuo de la ecuación encontrada por Euler. En este contexto, cada hija puede -a su nacimiento- esperar tener una cantidad de hijas igual a
\[R_0=\int_\alpha^\omega f(x) q(x) dx,\]
y $r>0$ equivale a $R_0>1$. Es Lotka quien introduce la notación $R_0$, que es utilizada hasta el día de hoy.

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Alfred James Lotka (1880-1949)

En 1927, un médico y un químico británicos, McKendrick y Kermack, trabajan en un modelo de epidemia. Se dan cuenta que si $I(t)$ es la incidencia (el número de nuevos casos por unidad de tiempo) en el momento $t$, si $q(x)$ es la probabilidad de ser infectado $x$ unidades de tiempo después de la infección, si $\omega$ es la duración máxima de la infección y si $f(x) dx$ es la probabilidad de infectar a otra persona entre $x$ y $x+dx$ unidades de tiempo después de la infección, entonces
\[I(t) = \int_0^\omega f(x)\, q(x)\, I(t-x)\, dx.\]
Formalmente, se trata de la misma ecuación que aquella obtenida por Lotka (pero con $\alpha=0$). En este caso, $r$ es la tasa de crecimiento de la epidemia y $R_0$ es el número de casos secundarios infectados por cada nuevo caso. La diferencia principal con la demografía es que la ecuación integral lineal para $I(t)$ solo es válida al inicio de la epidemia, cuando el número de personas infectadas es una pequeña fracción de la población. Más allá, uno no escapa de las ecuaciones no lineales.

En 1941, Feller demuestra rigurosamente lo que Lotka había afirmado respecto a su ecuación integral. En los años 60, Crump, Mode y Jagers desarrollan con el mismo rigor el enfoque probabilista de los modelos de población en tiempo continuo. A estos puede además ser asociado un proceso en tiempo discreto, separando las generaciones, como en los trabajos de Bienaymé, Galton y Watson.

Hacia el final de los años 70, los epidemiólogos comienzan a interesarse más de cerca en el parámetro $R_0$. El problema ahora es estimarlo numéricamente para diferentes enfermedades infecciosas. Si uno supone, para simplificar, que la función $f(x)$ que representa los contactos no depende del tiempo $x$ transcurrido desde la infección, y que además la mejoría tiene lugar a velocidad constante de manera que $q(x)=exp(-a x)$ y $\omega=+\infty$, entonces la ecuación $(1)$ da $r=f-a$, mientras que $R_0=f/a$.
Se estima primero la tasa de crecimiento r ajustando una exponencial al inicio de la curva epidémica. Sabiendo aproximadamente la duración promedio de la infección $1/a$, uno deduce $f$. Luego se calcula $R_0$. El interés de $R_0$ en relación a $r$ viene del hecho de que $R_0$ tiene una interpretación directa en términos de intervención : si uno divide los contactos por un número mayor que $R_0$, entonces la infección no puede propagarse más (el $R_0$ después de la intervención se vuelve inferior a $1$). Eso puede obtenerse vacunando a una fracción de la población mayor a $1-1/R_0$.

Es así como a veces uno lee en la prensa frases del tipo : ’’Hay que saber que un niño enfermo es susceptible de contaminar a otros 2,7 niños’’. (Le Monde, 15/09/2009 : ’’Dos enfoques de expertos frente a la gripe A’’). O incluso : ’’Esa tasa de 50% ha sido calculada en función de la tasa de reproducción del agente infeccioso inoculado en una población sana’’ (Le Monde, 26/06/2009 : ’’Gripe A : la mitad de la población francesa está amenazada’’). En la primera cita, ’’el experto’’ quiere decir que $R_0=2.7$. En la segunda cita, otro ’’experto’’ se basa probablemente en un $R_0=2$ (que él llama ’’tasa de reproductividad’’) para encontrar $1-1/R_0=¡ 50\% !$

Evidentemente, todos esos pequeños cálculos pueden parecer muy simplistas en relación a la multitud de factores que pueden influir sobre la epidemia. Didier Raoult, especialista en enfermedades infecciosas en el hospital de la Timone en Marsella, Francia, estima : ’’Pero desde la aparición del virus, nada ha ocurrido realmente como estaba previsto ; los modelos matemáticos que fueron producidos se parecen más a predicciones de Nostradamus que a otra cosa’’ (Le Monde, 15/09/2009, ibid.).

El trabajo de los modelizadores se orienta ya sea hacia la simulación de modelos ’’hiperrealistas’’ (pero que comprenden muchos parámetros desconocidos) como hacia el análisis matemático de modelos más simples, que integran paso a paso nuevos detalles. Por ahora no está claro lo que habría que pensar de todos esos esfuerzos. ¿En qué etapa del desarrollo se sitúa la previsión epidémica, comparada por ejemplo con la previsión en mecánica celeste o en la previsión meterológica ?

Para saber más

R.M. Anderson, R.M. May Infectious Diseases of Humans : Dynamics and Control. Oxford University Press (1991)

N. Bacaër Histoires de mathématiques et de populations. Editions Cassini, Paris (2009)

N. Bacaër On the final size of epidemics with seasonality. Bull Math Biol 71 (2009) 1954-66.

O. Diekmann, J.A.P. Heesterbeek Mathematical Epidemiology of Infectious Diseases. Wiley, Chichester (2000)

J.A.P. Heesterbeek A brief history of R0 and a recipe for its calculation. Acta Biotheoretica 50 (2002) 189-204.

Organisation Mondiale de la Santé Modélisation mathématique de la grippe pandémique H1N1 2009. Revue Epidemiologique Hebdomadaire, 21 Aout 2009 ; vol 84(34):341-8. en francés / en inglés

Article original édité par Jacques Istas

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Dinámica de poblaciones» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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