[1] Moritz Abraham Stern naît en 1807 dans une famille juive très religieuse, à Francfort. Il poursuit des études supérieures à Heidelberg puis à Göttingen, où il suit les cours de Gauss. En 1829, il soutient une thèse de doctorat sur les fractions continues, et l’arithmétique sera un des ses thèmes favoris. Restant à Göttingen, il sera nommé comme professeur extraordinaire en 1848, et c’est seulement en 1859 qu’il deviendra professeur ordinaire, devenant le premier juif obtenant ce titre en Allemagne. Il était considéré comme un excellent enseignant, eut comme élève Riemann et fut remplacé en 1884 par Félix Klein, avant de terminer sa vie en Suisse en 1894. Il est auteur de très nombreux articles et mémoires ; son nom reste attaché à la suite de Stern-Brocot, introduite en 1858 (M. A. Stern, « Über einse zahlentheoretische Function », Journal für die reine und angewandte Mathematik, 55, (1858), 193-220).

[2] Ce que Terquem note $(s,n)$ (on écrit aussi $(n,s)$) est le nombre des partitions de l’entier $n$ en $s$ entiers distincts, c’est-à-dire le nombre de façons d’écrire $n$ comme somme de $s$ entiers naturels non nuls, l’ordre n’important pas ; et $[s,n]$ est le nombre de partitions de $n$ en $s$ entiers naturels non forcément distincts. Le problème est ancien, et a été étudié en premier par Euler. Dans le Journal de Crelle (Journal für die reine und angewandte Mathematik), Stern a écrit deux articles sur le sujet (tome 21, 1840, p.91-97, p.177-179). Dans le premier de ces articles, il démontre des formules de récurrence sur ces nombres. Il remarque en particulier que $[2,n]$ est égal à $\frac{n}{2}$ si $n$ est pair et $\frac{n-1}{2}$ si $n$ est impair, ce qui se résume à la partie entière de $\frac{n}{2}$ dans les deux cas. Il note cette partie entière de $\frac{n}{2}$ par $\overline{\frac{n}{2}}$. C’est à cette notation que fait allusion Terquem. Son article établit diverses formules de récurrence, et lui permet, par exemple, de justifier

$(n,3)={\overline{\frac{n-1}{2}}}+{\overline{\frac{n-4}{2}}}+{\overline{\frac{n-4}{2}}}+$...

Catalan a publié un article sur ce sujet dans ses Mélanges (p. 62-65) ; il y démontre élégamment des « théorèmes » qui se trouvent chez Euler et dans le premier article de Stern. Il indique également en note : « Les démonstrations suivantes, que je retrouve dans une lettre adressée autrefois à M. Terquem, m’avaient été demandées par ce regrettable savant. Elles n’ont jamais été imprimées ». Terquem reviendra sur cette question dans une lettre ultérieure.

[3] C’est l’article Sur le problème de la sphère tangente à quatre plans donnés, Nouvelles annales de mathématiques, I, tome 9 (1850), p.352-361. Le problème consiste à chercher toutes les sphères inscrites ou exinscrites à un tétraèdre : il y a en a au maximum huit, mais moins sous certaines conditions. Le rédacteur indique que cet article est extrait de la Géométrie descriptive de Lafrémoire (titre complet : Traité élémentaire de géométrie descriptive, par H. Ch. de Lafrémoire et E. Catalan, Carilian-Goeury). On trouve l’article de Catalan p. 99 de ce traité.

[4] Dans le tome 9 (1850) des Nouvelles annales de mathématiques, p. 148-150, Terquem fait une critique élogieuse du livre de Steiner Développement systématique de la dépendance des figures géométriques les unes des autres, ayant égard aux travaux des anciens et des nouveaux géomètres sur les porismes, les méthodes projectives,la géométrie de position, les transversales, la dualité et la réciprocité, etc. Première partie de 322 pages et 4 planches lithographiées paru en 1832 et en Allemand sous le titre Systematische Entwicklung der Abhangigkeit geometrischer Gestalten voneinander : mit Berücksichtigung der Arbeiten alter und neuer Geometer uber Porismen, Projections-Methoden, Geometrie der Lage, Transversalen, Dualität und Reciprocität, etc, Reiner, Berlin 1832.

[5] Dans le tome 6 (1847) des Nouvelles annales de mathématiques, p. 226-230), E. Brassine, professeur à l’école d’artillerie de Toulouse, (il est notamment l’éditeur d’une nouvelle édition des Œuvres de Fermat) a écrit un article intitulé : Sur quelques propriétés des Polygones et des Polyèdres inscriptibles. — Expression du rayon de la sphère circonscrite au tétraèdre. — Rayons de courbure des courbes à double courbure.

Cette formule s’écrit

$ R=\frac{1}{6V}\sqrt{p(p-aa')(p-bb')(p-cc')}$

où $V$ est le volume du tétraèdre, $(a,a')$, $(b,b')$ et $(c,c')$ les longueurs des couples d’arêtes opposées et $2p$ désigne la somme $aa'+bb'+cc'$. Cette jolie formule, qui fait penser à celles donnant l’aire d’un triangle ou d’un quadrilatère inscriptible en fonction des côtés, est donnée sans démonstration. En 1873, la revue publie la démonstration de Georges Dostor (Nouvelles annales de mathématiques, II, tome 12 (1873), p.370-374).

[6] L’article est intitulé Six propositions arithmologiques déduites du crible d’Erathosthène, (Nouvelles annales de mathématiques, I, tome 8 (1849), p.423). Le « théorème empirique » est sans doute celui qui énonce que tout nombre impair est somme d’une puissance de 2 et d’un nombre premier. Cet énoncé est faux, le premier contre-exemple est 127. Alphonse de Polignac est entré à l’École polytechnique en 1849. C’est le petit-fils de la duchesse de Polignac, favorite de Marie-Antoinette, et le fils de Jules de Polignac, dernier premier ministre de Charles X. Alphonse de Polignac fera carrière dans l’artillerie tout en poursuivant son activité mathématique mais décède en 1863, à l’âge de 37 ans. Pour plus de détails sur sa vie et ses travaux, on pourra consulter l’article de Norbert Verdier et Olivier Bordellès, « Variations autour du postulat de Bertrand », Bulletin de l’association mathématique du Québec (2009). Voir également les Comptes Rendus de l’Académie des Sciences,1849 (p.738-739) et (p.397-401). Par « théorème empirique », il faut entendre « conjecture ».

[7] Le cas $r=1$ est connu sous le nom de conjecture de Catalan, énoncée en 1844 (Journal de Crelle, tome 27, p. 192) de la façon suivante :

Je vous prie, Monsieur, de bien vouloir énoncer, dans votre recueil, le théorème suivant, que je crois vrai, bien que je n’aie pas encore réussi à le démontrer complètement, d’autres seront peut-être plus heureux : Deux nombres entiers consécutifs, autres que 8 et 9, ne peuvent être des puissances exactes ; autrement dit : l’équation $x^m-y^n = 1$, dans laquelle les inconnues sont entières et positives, n’admet qu’une seule solution.

Le même énoncé avait fait l’objet d’une question posée dans les Nouvelles annales en 1842 (question 48, p. 520). Cette conjecture s’est révélée exacte et a été démontrée en 2002, par Preda Mihailescu. On trouvera un entretien avec Preda Mihilescu dans le numéro 57 (Octobre 2015) du Bulletin de la Société des Amis de la Bibliothèque et de l’Histoire de l’École polytechnique (Sabix), numéro entièrement consacré à Catalan.

Le généralisation que propose Terquem s’appelle parfois conjecture de Pillai (Subbayya Sivasankaranarayana Pillai (1901–1950)) qui conjecture seulement que pour tout $r$, il y a un nombre fini de solutions.

[8] Dans un article publié dans les Nouvelles annales de mathématiques (I, tome 8, 1849, p.362-365), la rédaction annonce que le grand prix de mathématiques de l’Académie des sciences pour l’année 1850 est consacré au grand théorème de Fermat :

Trouver pour un exposant entier $n$ quelconque les solutions en nombres entiers et inégaux de l’équation $x^n+y^n=z^n$, ou prouver qu’elle n’en a pas..

L’académie a reçu cinq mémoires. « Aucun d’eux n’a été jugé digne du prix », qui a été remis en jeu pour l’année 1853, et sera alors laissé au concours... Ce sujet avait déjà été proposé en 1816.

La suite de l’article consiste en une intéressante bibliographie, qui donne en particulier les références des tout derniers travaux de Kummer.

[9] Dans un article de Paul Serret (1827-1898), on trouve une démonstration (indirecte) du premier résultat de Steiner. (Nouvelles annales de mathématiques, I, tome 8 (1849), p.456). Paul Serret est alors élève à l’École normale et c’est un pilier de la revue. Exclu de l’école pour insuffisance de résultats en physique, il sera toute sa vie enseignant dans des institutions privées.

Dans le tome suivant (Nouvelles annales de mathématiques, I, tome 9 (1850), p.5-9), le jeune Jules-Alexandre Mention (né en 1829, il est admis à l’École polytechnique en 1848, puis poursuivra une carrière dans l’enseignement privé) démontre également ce théorème ainsi que quelques autres. La rédaction précise que cette réponse a été reçue avant la précédente.

[10] Catalan, républicain convaincu et actif, avait participé aux événements de février 1848. Il était présent à l’Hôtel de ville quand fut formé le premier gouvernement républicain, et se présenta devant les électeurs de la Seine aux élections de l’Assemblée Constituante : « Aujourd’hui, citoyens, pour récompense de mes services passés, je demande à rendre de nouveaux services à la patrie ; je demande à prendre part aux travaux de cette Assemblée qui, plus heureuse que la Convention Nationale, pourra mettre en pratique les principes de Liberté, d’Égalité, de Fraternité proclamés par celle-ci, et pour lesquels nos pères ont versé tant de sang et de larmes ! ». (République Française. [...] Aux Électeurs du Département de la Seine, consultable sur Gallica). Contrairement à son ami Liouville, Catalan ne fut pas élu. Il n’est pas sûr qu’il se soit présenté l’année suivante aux élections de l’Assemblée Nationale Législative.