Dynamique de l’égalité

Le 20 novembre 2009  - Ecrit par  Joël Merker Voir les commentaires (10)
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Identité à soi de l’être égal à lui-même

Le mauvais et plat concept d’égalité, c’est celui auquel tout le monde
pense :
\[A=A,\]
et qui nous vient toujours immédiatement à l’esprit : la tautologie
logique de l’assertion d’identité à soi-même, répétition immensément
vide de l’être qui se déclare « être ce qu’il est et rien de plus,
sinon »—raisonnons mécaniquement par
l’absurde—« il ne serait plus rigoureusement égal à
lui-même ».

Répétition et différence

Mais déjà la répétition est une première différence. L’« $A$ » du
premier « $A$ », comme une initiale de ce qui subsume un genre
possible du divers, ou encore, comme désignation de variable
mathématique susceptible d’endosser un champ spécifique du numérique
ou un domaine intangible de l’univers ensembliste zermélo-fraenkélien,
ce « premier $A$ » tout simple que nous écrivons dans un premier
temps avec toute la lenteur physique d’un scribe, d’un étudiant, ou
d’un élève :
\[A=\]
suspendus que nous sommes dans l’« $=$ » qui le suit, ce premier
« $A$ » quête un alter ego et recherche aussi un
« deuxième $A$ » qui ne sera pas « premier $A$ », et donc sera
déjà un peu et d’une certaine manière un « $A$ » autre que
« $A$ ».

Culte du signe « $=$ »

Tel est le jeu fascinant de la dynamique de l’égalité : comme
tous les gestes virtuoses du géomètre qui se produit en conférence et
au tableau, ce signe-fétiche et merveilleux dont sont remplies nos
milliers de pages de calculs est toujours germe virtuel d’une
différence et d’une nouveauté
 ; il nous sert indéfiniment à propulser
vers l’avant l’« irréversible-synthétique »—ce
sang
des mathématiques que Kant n’avait pas vu—et à faire
rebondir inlassablement nos intuitions. Entre ces deux barres
horizontales :
\[=\]
c’est en effet une boule centripète de questions possibles qui sont
prises en sandwich. Et si le signe retenu par l’histoire importe peu,
seule compte la dynamique intrinsèque de l’égalité, demandeuse
insatiable d’altérité.

Renverser l’ordre des symboles

C’est pour toutes ces raisons et d’autres encore plus complexes et
plus profondes que les deux règles suivantes doivent gouverner l’alchimie
interne des manuscrits étoffés de calculs délicats.

Règle 1 : Donner la préséance au zéro.
Ne jamais écrire : « ${\bf X} = 0$ », mais toujours à
l’inverse :
\[0=\text{une expression longue et complexe},\]
comme par exemple :
\[0=M_{l_1,l_2, y^{l_3}}- M_{l_1,l_3, y^{l_2}}-\sum_{k=1}^m\, L_{l_1,l_2}^k\, M_{l_3, k}+\sum_{k=1}^m \, L_{l_1,l_3}^k \, M_{l_2,k},\]

Règle 2 : Au positif, préférer le négatif. Commencer toute
addition suspendue par un signe « $-$ » et placer volontairement
les signes « $-$ » au début des équations et des parenthèses,
comme par exemple :
\[y_{xx}=-\square_{xx}^1+y_x\cdot\left(-2\, \square_{xy}^1+\square_{xx}^0\right)+(y_x)^2\cdot\left(-\square_{yy}^1+2\, \square_{xy}^0\right)+(y_x)^3\cdot \square_{yy}^0.\]

L’algèbre immanente nous est inaccessible

Nonobstant tout ce que le jeu dominant du conceptuel a posteriori aime à faire accroire, les mathématiques sont dans
leur essence même
du calcul pur. La dynamique d’égalisation n’est
qu’une simple arme humaine de mobilité dans
l’immobilité symbolique. Mais l’algèbre quant à elle, non
locale, non temporelle et non sérielle synthétise toutes les relations
possibles immanentes dans son internalité totalisée et
inaccessible. Prenons donc l’altérisation dynamique du concept
d’égalité comme le signe de notre incapacité à voir vraiment le :
\[A=A\]
absolu de l’Algèbre.

Post-scriptum :

À propos d’égalité, on pourra également consulter à la rubrique Café des maths, l’article Égalité.

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Pour citer cet article :

Joël Merker — «Dynamique de l’égalité» — Images des Mathématiques, CNRS, 2009

Commentaire sur l'article

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  • Réponse no.1 : Qui pense abstrait ?

    le 25 novembre 2009 à 17:00, par Joël Merker

    Flagrant délit de métaphysique

    Subsumer ? Trop abstrait ? Sauve qui peut ! J’entends déjà qu’on
    s’écrie : excès de pédantisme, vocabulaire scolastique, langue
    philosophique obscure. Car métaphysique, lance Hegel,
    "ainsi qu’ abstrait, et à peu de chose près aussi,
    penser, est le mot devant lequel chacun plus ou moins fuit,
    comme on détale devant un pestiféré".

    Subsumer $=$ englober une catégorie d’étants [mathématiques] multiples

    Le « A » qui «  subsume un genre possible du divers »
    [rapporte, réfère à un espèce, à un genre ; établit un rapport de
    l’objet à l’essence à laquelle il appartient], c’est donc bien le
    « A » archétypal de la pensée mathématique susceptible d’héberger,
    sous un seul symbole choisi arbitrairement, tout une catégorie
    multiple d’êtres mathématiques rassemblés par une propriété
    définitionnelle commune. Acte de pensée
    universel : se représenter un objets
    quelconque spécifique : Soit $A$ une algèbre associative et
    commutative, etc.
     ;
    Soit $G$ un groupe de Lie compact
    connexe semi-simple, etc.
     ; Soit $X$ un espace analytique
    normal $(n-1)$-complet, etc.
    , en un mot et en un seul :

    Soit $A$ un objet mathématique défini mais
    général et quelconque,

    incipit mathématique absolu plus chargé de métaphysique tue
    que ne l’est l’existence des objets sensibles.

    Hegel à la rescousse

    Concrétude imparable de l’abstraction : voilà ci-dessous un exemple
    ironique et grinçant qui rappelle à merveille la capacité
    effrayante
    que la conscience a de projeter brutalement tout
    objet de jugement dans l’espace bipolarisé le plus étroit qui soit :
    celui du « oui » ou du « non », du « bon » ou du
    « mauvais », du « bien » ou du « mal ».

    Mais pourrions-nous faire des mathématiques sans jongler
    perpétuellement avec le « plus » et le « moins » de l’instinct
    rationnel ? Pourrions-nous nous passer de hiérarchiser, d’attribuer
    des médailles (olympiques) au compte-goutte, de classer, de reclasser
    et de déclasser les universités et les laboratoires, de désigner
    officiellement quelques « meilleurs », et d’exprimer le tout dans
    la novlangue immédiatement intuitive des chiffres et des indicateurs,
    des indices d’impact, et autres critères de Shangaï ? Non ! Plus
    forte que tout, l’ abstraction qui projette, c’est un acte primal
    de subsomption et d’englobement qui est essentiel à notre survie
    dans un monde qui ne cesse de se complexifier.

    Subsumer, c’est abstraire, et tout le monde le fait

    « Éh la vieille, vos oeufs sont pourris ! », dit l’acheteuse à
    la marchande. Quoi, répliqua celle-ci, mes oeufs pourris ? Pour
    moi, c’est elle qui est pourrie ! Me dire ça de mes oeufs ! Elle !
    Les poux n’ont-ils pas dévoré votre père sur un chemin de campagne,
    votre mère ne s’est-elle pas enfuie avec les Français et votre
    grand-mère n’est-elle pas morte à l’hospice ? Qu’elle s’achète pour son
    foulard de pacotille une chemise convenable ! Son foulard et ses
    bonnets, on sait bien d’où elle les tient ! Sans les officiers,
    certaines ne seraient pas aussi bien nippées et, si les
    « Madames » faisaient plus attention à leur ménage, plus d’une
    croupirait derrière les barreaux ! Qu’elle commence déjà par repriser
    les trous de ses bas ! Bref, elle ne tisse aucun bon fil sur elle.
    Elle pense abstraitement en la subsumant [und
    subsumiert sie] tout uniment — avec son foulard, ses bonnets,
    sa chemise, etc., ses doigts et d’autres parties, son père et sa
    famille entière — sous le crime d’avoir trouvé ses
    oeufs pourris
     ; tout en elle se trouve de part en part coloré par
    ces oeufs pourris, tandis que ces officiers dont la marchande
    parlait — si tant est, ce dont on peut douter, qu’il y ait eu
    quoi que ce soit à propos — ont pu parvenir à voir en elle de
    tout autres choses."

    Georg Wilhelm Friedrich Hegel, Qui pense abstrait ? [Wer denkt
    abstract ?], 1807. Édition bilingue accompagnée d’une notice et d’un
    essai sur l’exotérisme hégélien, par Ari Simhon, Hermann Éditions
    (depuis 1876), Paris, 2007, 176 pp.

    Mathématiciens, refusons d’être « subsumés » de la sorte !

    Que vise le site Images des Mathématiques ? puisqu’il s’inscrit dans le
    contexte d’une volonté étatique appuyée de « réformer » le système
    universaliste du savoir scientifique, tant dans sa pérennisation que
    dans sa créativité ? Sortie des tours d’ivoire, adresses au Grand
    Public, « justifications » vis-à-vis de la société, vulgarisation,
    échange, partage, et attraction des jeunes esprits : le but est de
    créer et d’entretenir un antidote médiatique à la
    « subsomption-de-la-marchande-aux-oeufs-pourris », et de
    répondre si possible au même moment à trois objections trop
    populaires :

    Objection no. 1 : Voyons, toutes ces mathématiques
    abstraites et déconnectées de la réalité, sont-elles utiles ?
    À quoi peuvent-elles donc bien servir ?

    Objection no. 2 : Je vois, c’est un peu comme l’art en
    quelque sorte, les mathématiciens sont des artistes.

    Objection no. 3 [prétendûment fatale] : Mais quand même,
    l’art est accessible à bien des gens. Je ne suis pas sûr qu’il en
    soit de même de vos groupes et espace $p$-adiques ...

    Philosopher ?

    Mais ce n’est pas là que le bât blesse le plus cruellement. À
    quelque niveau que ce soit, plus personne dans nos sociétés
    « internetisées » n’est, ne se sent, ou ne peut être en charge
    de répondre sérieusement à la question : D’où venons-nous ? Que
    faisons-nous ? Où allons-nous ? Quelles sont les racines métaphysiques
    de la pensée mathématique ? Triste sort d’impuissance qui nous est
    réservé présentement, quand l’on pense à l’alliance ancestrale entre la
    mathématique et la philosophie !

    [Colloque Mathématiques à venir : http://www.maths-a-venir.org/2009/]

    « Explosion » des mathématique, abondance, profusion, confusion,
    et saturation de l’information : ce ne sont que des excuses ! Au
    contraire, penser — philosopher ? — reste éternellement
    nécessaire. Et seule la fréquentation des grands textes littéraires et
    philosophiques dans lesquels toutes ces questions sont ardemment
    remuées
    permet de surnager au jour le jour. Il nous faut alors mettre
    aussi au point une artillerie (lourde ?) de stratagèmes
    argumentatifs imparables
    afin de convaincre les jeunes esprits que la
    pensée est une mer navigable dans laquelle on slalome entre les
    errances passées afin de se construire une sagesse possible.

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