El 120

El topo y los politopos

Piste bleue Le 23 mars 2020  - Ecrit par  Arnaud Chéritat
Le 9 septembre 2020  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Le 120 Voir les commentaires
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Una de las notas de Patrick Popescu-Pampu, que habla de la felicidad sentida por algunas personas ante la clasificación de los poliedros, ha encontrado cierta resonancia en mí. Yo no sé si hablaría de felicidad, sino más bien de fascinación.

Hay 5 poliedros regulares, y no más.

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Los cinco poliedro regulares : ¿puedes hallar el intruso ?

Curiosidad

Al final de mis estudios secundarios (¿era en el último año ?) aprendí en una obra de divulgación el siguiente hecho, crudo : a los análogos en dimensión superior de los poliedros regulares se les llama politopos regulares ; son 6 en el espacio en cuatro dimensiones, y solamente 3 en todo espacio con cinco dimensiones o más. En cuanto al análogo en dimensión inferior, son los polígonos regulares, y hay una infinidad de ellos.

$\infty$, 5, 6, 3, 3, 3, 3, ...
Esta es una curiosa secuencia.

Es un hecho, matemático, y por lo tanto sólido como una roca... y, sin embargo, tan desconcertante.

Pero ¿qué le sucedió a la realidad como para comportarse de este modo ?

Es decepcionante : si bien partió por enriquecerse paulatinamente, la colección de politopos regulares terminó por reducirse solamente a 3 objetos por dimensión.

Por otro lado, se puede reagrupar estos objetos en cuatro familias infinitas y cinco excepciones. El débil número de estas últimas les da un estatus particular : tienen algo de universal, de icónico.

Pero, un politopo, ¿qué es ? En dos dimensiones -en un plano-, uno fabrica polígonos regulares uniendo segmentos de igual longitud y haciendo entre ellos los mismos ángulos. En tres dimensiones, en el espacio, se fabrica un poliedro regular uniendo polígonos regulares, de manera que sea idéntico en todos sus vértices, en todas sus caras y en todas sus aristas. En dimensión cuatro, se une poliedros regulares de la manera más uniforme posible. Y así sucesivamente...

Si usted quiere saber más, los 5 poliedros regulares son :

  • el tetraedro : 4 caras triangulares,
  • el cubo : 6 caras cuadradas,
  • el octaedro : 8 triángulos,
  • el dodecaedro : 12 pentágonos,
  • el icosaedro : 20 triángulos.

Yo he omitido el adjetivo regular, pero habría que añadirlo cada vez, salvo para el cubo, en cuyo caso está siempre implícito.

En mis charlas, he enseñado que los 6 politopos regulares (de la dimensión 4) son :

  • el 4-símplex : 5 tetraedros regulares,
  • el hipercubo : 8 cubos,
  • un objeto constituido por 16 tetraedros,
  • uno de 24 octaedros,
  • uno de 120 dodecaedros,
  • uno de ¡600 tetraedros !

Ahí no he respetado realmente la terminología oficial, pero no encuentro que hecatonicosacoron sea muy poético. En griego antiguo, hecatonicosa significa cien veces y choros significa cámara. Los pragmáticos y concisos anglosajones utilizan nombres como 24-cell, 120-cell, 600-cell... ¿Qué diría usted sobre llamarles El 24, El 120 y El 600 ?

En dimensión $n \geq 5$ uno encuentra :

  • Un análogo del tetraedro, con $n+1$ celdas,
  • Un análogo del cubo, con $2n$ celdas,
  • Un análogo del octaedro, con $2^n$ celdas.

Estos objetos forman tres familias que están también presentes en dimensión inferior. Los polígonos regulares forman una familia infinita para la dimensión 2. No hay por lo tanto más que 5 politopos excepcionales : el dodecaedro y el icosaedro en dimensión 3, y el 24, el 120 y el 600 en dimensión 4.

Estos hechos cosquilleaban suficientemente mi curiosidad como para que, durante mi tiempo libre, yo me interesara en el problema.

Me abstengo de los detalles, y se los daré tal vez en una siguiente nota...

Un lindo viaje intelectual

Conseguí, tan bien como mal, convencerme de la existencia de la mayoría de ellos, salvo el 120 y el 600. En los demás, comprendí cómo se unían a partir de sus moldes, y cuál es su ’’sombra’’ en el espacio en tres dimensiones. En ese problema, uno puede avanzar muy lejos sin cálculo, razonando por medio de analogías adecuadas. Además, es interesante saber que no es necesaria una elevada formación matemática : vea la historia de Alicia Boole-Stott, quien desarrolló una capacidad para visualizar la cuarta dimensión que asombró a los matemáticos de la época.

Yo pretendí hace algunos momentos que no daría detalles, pero al menos voy a escribir algunas palabras acerca de los moldes.

La envoltura de un cubo, por ejemplo, puede realizarse físicamente recortando un motivo formado por 6 cuadrados unidos, que uno repliega así :

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Patrón de un cubo (sorprendido tratando de replegarse)

Después, hay que pegar de una manera u otra (si el papel es suficientemente delgado y el objeto suficientemente grande, una solución estándar es añadir pequeñas lengüetas en el molde antes de recortarlo). Se tiene moldes similares para muchos poliedros.

De manera análoga, en dimensión cuatro, se tiene moldes tridimensionales de politopos, formados por poliedros idénticos unidos cara contra cara, como en la siguiente imagen (es una imagen de resumen) :

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Algunos patrones de politopos : dos patrones del 24, uno del hipercubo, del 5 y del 16

Es cierto que yo he experimentado el placer de explorar y el orgullo de haberlo conseguido. Ya que estoy compartiendo recuerdos, aquí hay algunas anécdotas.

  1. En el liceo, trato de explicar los casos más simples a mis compañeros. Me toman por loco.
  2. En clases de matemáticas en el último nivel, como ya había hecho el programa por adelantado (la profesora estaba al tanto), en vez de anotar la corrección de los ejercicios, trato de convencerme mediante dibujos que los dodecaedros que forman el 120 pueden efectivamente estructurarse combinatoriamente (por oposición a geométricamente, porque ahí es a pesar de todo un tanto difícil). Mal hecho. Yo hago dibujo tras dibujo. La profesora lo tolera.

Ya no tengo esos borradores densos escritos en letras minúsculas, pero guardé algunas notas de la época, hace casi 20 años. Es cierto que no me gusta botar las cosas.

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Extracto de notas (al parecer escritas en clase terminal) que resumen Lelias crecimiento del politopo de 120 células a partir de un germen central.
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Proyección particular del 24 : yo podía ser meticuloso, cuando quería...

E impresiones (con impresora a matriz de puntos. La tinta sobre el papel que acabo de sacar del archivo tiene aún su olor característico). Estaba programada en GFA BASIC sobre un Atari ST (aquellos de mi generación la reconocerán tal vez).

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El 120 y el 600 están ligados por lo que se llama una dualidad, que entrega un método para comprender uno si se comprende al otro. Es sobre el 120 que yo pasé la mayor cantidad de tiempo, pese a que en esa época no haya tenido el coraje de efectuar los cálculos (no tan odiosos más tarde) acerca del repliegue de su molde en la cuarta dimensión... Me dejó una impresión de incompletitud en mi aventura personal en ese mundo abstracto.

Después del último año de secundaria, comencé las clases preparatorias de educación superior. El curso de matemáticas superiores se conoce como ’’hipotopo’’, y el de matemáticas especiales se llama ’’topo’’, lo que justifica el subtítulo de esta nota. Mi tiempo libre se redujo seriamente, pero mi idea fija no me abandonaba y, a pesar de todo, conseguí programar en PASCAL (que uno aprendía en clases de informática) una especie de verificación ’’experimental’’ de que efectivamente se podía unir dodecaedros en un espacio con cuatro dimensiones para hacer un politopo con 120 celdas. No voy a explicar eso aquí, pese a que tenga muchas ganas.

Siguió un largo período donde no ví más esos asuntos, pero durante el cual guardé el deseo de volver a ellos algún día.

Más recientemente

Durante una visita al Fields Institute en Toronto en 2006, pude admirar una escultura de una proyección del 120 en el espacio en tres dimensiones : de alguna manera es su ’’sombra’’ en nuestro mundo. Esta realización de Marc Pelletier tiene unos 2 metros de diámetro y es como un trono colgado como un candil del salón principal. Esta es la foto que tomé en ese momento :

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Ahí el objeto está orientado de cualquier manera, pero si se le coloca en el lugar correcto, muchos segmentos se superponen y se llega entonces a ver mejor los dodecaedros más o menos aplanados que lo componen. Un video me había dado una clave útil para comprender semejante escultura.

Un poco después vi la excelente película matemática Dimensions, en una de cuyas secuencias se ve la evolución de una copa tridimensional del 120 y otras, cuando la coordenada de la copa varía. Uno no comprende nada ahí, pero eso obliga a tener respeto. También un magnífico video de Gian Marco Todesco llamado Hyperdodecahedron que tal vez todavía se puede ver aquí (ver también aquí->https://www.youtube.com/watch?v=0uT6q_hrK50).

Todo esto me motivó a regresar, durante el verano de 2010, a los 120 y elaborar por mi cuenta imágenes en 3D. El objetivo no era rivalizar con lo que se encuentra hoy en Internet, sino proseguir ese viaje interior que yo había comenzado a los 17 años. Aproveché una convalescencia para efectuar los cálculos que no había tenido el valor o el tiempo de hacer, puse el resultado en la máquina, y me dio estas imágenes.

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Crecimiento de una parte del 120 a partir de un germen central (hecho con POV-Ray)

O en sección :

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Sección desmenuzada...

Y no aguanto las ganas de mostrar una versión en imagen de síntesis foto-realista que acabo de elaborar :

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Sección desmenuzada del 120 (hecha con Python + Blender + LuxRender.)

Últimamente

El mes pasado llegué al sitio web de una pequeña empresa que elabora impresiones en 3D. Las impresoras 3D existen desde hace algunos años y funcionan creando objetos tajada por tajada (horizontal). En Internet, los sitios de impresión ’’en línea’’ se multiplican y permiten al público masivo acceder a esta tecnología. Llamé a una de esas sociedades. Las máquinas que compraron funcionan con un polvo (blanco y de composición secreta) depositado capa por capa en un depósito y solidificado en puntos precisos con un ligamento aplicado por barrido de un cabezal de impresión. ¡Y tiene color ! Usted envía electrónicamente sus creaciones y a cambio recibe por correo una versión materializada, por una suma de dinero por supuesto. Hay también una biblioteca comunitaria de objetos 3D donde usted puede depositar y tomar modelos. Los precios están al alcance para los objetos pequeños, pero aumentan rápidamente con el tamaño, ya que dependen especialmente del volumen.

Por lo tanto, tuve la idea de mandar mi modelo 3D, y esto es lo que recibí :

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El objeto (real...)

... Dados 45 poliedros más o menos aplastados [1]. No queda más que fabricar una pequeña cáscara [2] :

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Soporte (hecho con papel bristol, goma adhesiva y una impresora... 2D)

Y a armar el puzzle :

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Esto les gustó mucho a mis hijos... Y a mis colegas.

Post-scriptum :

La redacción de Images de Maths y el autor agradecen por su atenta relectura a los relectores cuyos seudónimos son : Aurélien Djament, Alexandre Moatti, Cidrolin, JMJ_france, Laurent Bétermin, D. Simon y blanvill.

Article original édité par Serge Cantat

Notes

[1No hay 120 ya que cada poliedro de sombra es el proyectado de dos celdas, y los 30 restantes son planos (ya que son perpendiculares al espacio 3D hacia el cual se ha proyectado). Es el análogo de lo que ocurre cuando usted proyecta (ortogonalmente) un cubo sobre un plano paralelo a una de sus caras.

[2cuyas caras son justamente algunas de esas sombras planas.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «El 120» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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