El Teorema de Recurrencia de Poincaré

Piste rouge Le 20 avril 2012  - Ecrit par  François Béguin
Le 15 mai 2022  - Traduit par  Edgard Araya, Andrés Navas, Pilar Garcés
Article original : Le théorème de récurrence de Poincaré Voir les commentaires
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Los matemáticos más grandes de los siglos XVIII y XIX intentaron demostrar la estabilidad del Sistema Solar. En 1888, Henri Poincaré escribió una tesis que revolucionó por completo el enfoque del tema. El Teorema de Recurrencia de Poincaré es uno de los resultados de esa tesis. Este Teorema proviene de un enfoque radicalmente nuevo : por primera vez, nos interesamos en las propiedades estadísticas de las trayectorias de un sistema.

La danza de los planetas

Imagina que, cada día, pudieras ver los cinco planetas visibles a simple vista en el cielo : Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno [1]. Imagina que, todos los días durante varios años, anotaste las posiciones de esos planetas con respecto a las estrellas. Si trazaras la evolución de esas posiciones, descubrirías una danza completa y fascinante :

La danza de los planetas
Cambios de las posiciones del Sol y de los planetas visibles a simple vista en el cielo terrestre. El Sol está en naranjo, Mercurio en amarillo, Venus en azul, Marte en rojo, Júpiter en rosado y Saturno en verde. Animación realizada por David Colarusso [2].

Las elipses de Kepler

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Johannes Kepler

Durante más de dos milenios, desde la antigua Mesopotamia hasta la Europa del siglo XVII, esta danza de los planetas fue considerada como uno de los grandes misterios de la naturaleza. ¿Qué mecanismos habían imaginado los dioses para animar tal coreografía ?

No fue hasta el genio de Johannes Kepler, a principios del siglo XVII, que se propuso un modelo simple que explica perfectamente la ’’danza de los planetas’’ en nuestro cielo [3]. Siguiendo a Nicolás Copérnico, Kepler adopta un sistema heliocéntrico : la Tierra no es fija, sino que, tal como los otros planetas, gira en torno al Sol [4]. La novedad del sistema propuesto por Kepler es que no se basa en movimientos circulares uniformes : según Kepler, cada planeta describe una elipse con el Sol en uno de sus focos. Además, el planeta no recorre su órbita elíptica a rapidez constante ; acelera cuando se acerca al Sol y desacelera cuando se aleja de él [5].

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Las órbitas elípticas de los planetas según Kepler

¡Hágase Newton !

Las trayectorias elípticas imaginadas por Kepler permiten explicar todas las observaciones astronómicas realizadas hasta ese momento. Sin embargo, ¿por qué los planetas se moverían según una elipse ?

El grandioso epitafio de Alexander Pope habla de la importancia de Newton en la historia de la Ciencia : ’’La naturaleza y sus leyes yacían ocultas en la noche. Dios dijo : « ¡Hágase Newton !’’, y todo se hizo luz ». En 1687, Isaac Newton había enunciado dos leyes muy simples que, por sí mismas, resumen una buena parte de la Física :

  1. Dos cuerpos cualesquiera se atraen entre sí de forma directamente proporcional a (el producto de) sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.
  2. El producto entre la aceleración de un cuerpo y su masa es en todo momento igual a la suma de todas las fuerzas ejercidas sobre ese cuerpo.
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Isaac Newton
Un timbre alemán conmemorando a Isaac Newton. La fórmula en rojo expresa la igualdad entre el producto de la aceleración de un cuerpo por su masa y la suma de las fuerzas que se ejercen sobre este cuerpo.

Newton no solamente establece estas leyes. A partir de ellas (y sin hacer otra hipótesis adicional), demostró que un planeta sometido a la atracción del Sol describe una elipse con el Sol ubicado en uno de sus focos. Gracias a Newton, las trayectorias elípticas imaginadas por Kepler resultan ser consecuencia de leyes mucho más generales sobre la atracción entre cuerpos masivos y su aceleración.

La semilla de la inestabilidad

A pesar de su simplicidad, las dos leyes de Newton traen consigo la semilla del caos.

Ya vimos que, a partir de sus leyes, Newton demuestra que un planeta sometido a la atracción del Sol describe una órbita elíptica a su alrededor. Pero esto considera solamente la atracción del Sol. En realidad, las leyes de Newton establecen que todos los cuerpos masivos ejercen una fuerza de atracción, por lo que un planeta del Sistema Solar no solo experimenta la atracción del Sol, sino que también la de los otros planetas. Por supuesto, los planetas son mucho más ligeros que el Sol, por lo que ejercen una fuerza de atracción mucho más débil. Por esta razón, las elipse de Kepler son, en un corto período [6], muy buenas aproximaciones de las trayectorias de los planetas. Pero en cualquier momento, cada planeta se desvía ligeramente de su órbita kepleriana por la atracción que ejercen los demás planetas. Con el tiempo, esas pequeñas desviaciones se acumulan, ¡y perfectamente podrían cambiar por completo la forma del Sistema Solar !

El mismo Newton estaba profundamente preocupado por esta posibilidad. Al final de su vida, pensó que el Sistema Solar gobernado por las dos leyes que había enunciado, era probablemente inestable, y que su estabilidad se debía solamente a la intervención, en algún momento, del Creador, que de alguna forma puso ’’los planetas en la forma correcta’’ [7].

El Siglo de las Luces

Sospechamos que esta explicación no fue del agrado de los estudiosos en la época de la Ilustración. Los matemáticos más grandes del siglo XVIII y principios del siglo XIX -en particular Laplace, Lagrange, Poisson, Le Verrier...-, analizaron el problema de la estabilidad del Sistema Solar. Uno tras otro, lograron calcular aproximaciones cada vez más precisas de las trayectorias de los planetas del Sistema Solar, tal como las que daban las dos leyes de Newton. Su objetivo era mostrar que las órbitas reales de los planetas no eran del todo elipses keplerianas, pero que tampoco se alejaban mucho de tales elipses.

Aunque fueron importantes, los resultados de Laplace, Lagrange, Poisson y Le Verrier se basaron en cálculos aproximados. Por su naturaleza, la información sobre las trayectorias de los planetas que se derivan de estos resultados será válida solamente para un tiempo limitado. De forma muy simplificada, los resultados de Laplace, Lagrange, Poisson y Le Verrier muestran que las trayectorias de los planetas se asemejarán a las órbitas keplerianas durante al menos cien mil años. Pero no dicen nada sobre lo que ocurrirá a largo plazo.

A fines del siglo XIX, todavía no había evidencia de la evidencia de la estabilidad a largo plazo del Sistema Solar. Hasta que Poincaré se ocupó del problema...

¡Hágase Poincaré !

En 1889, Poincaré dedicó una tesis absolutamente revolucionaria al tema de la estabilidad del Sistema Solar (P). Este trabajo contiene muchos resultados de diversa índole, cada uno más innovador que el anterior. Solamente hablaré aquí de uno de ellos, al que llama Teorema de Estabilidad de Poisson (y al que hoy llamamos, en un contexto más amplio, Teorema de Recurrencia de Poincaré).

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Henri Poincaré hacia 1889
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La memoria de Poincaré

Poincaré trabajó (para el resultado que nos interesa) con un modelo simplficado del Sistema Solar, que llamaremos Sistema Solar restringido. Este sistema se compone de una estrella fija A (el Sol), un gran planeta B (como Jupiter) y un planeta mucho más pequeño C (como la Tierra). Para simplificar el problema, despreciamos la masa del planeta C respecto a las del planeta B y la estrella A [8]. Así, el planeta B (Júpiter) solamente es atraído por el Sol ; su órbita será, entonces, una elipse kepleriana. Para simplificar aún más, supongamos que la órbita es una circunferencia. El estudio del sistema se reduce entonces al estudio de la trayectoria del planeta C (la Tierra), que es atraído por la estrella A y el planeta B. El estudio de este Sistema Solar restringido plantea esencialmente los mismos problemas que el Sistema Solar ’’real’’.

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El ’’Sistema Solar restringindo’’.

Por tanto, consideramos el Sistema Solar restringido descrito previamente. Fijemos una fecha arbitraria y llamemos configuración inicial del Sistema Solar restringido a los datos de posición y velocidad de los planetas del Sistema en esta fecha. Las leyes de Newton son tales que los datos de una configuración inicial determinan por completo la evolución posterior de las posiciones y velocidades de los planetas del Sistema [9]. Aquí está el teorema que demuestra Poincaré :

Teorema de Estabilidad de Poisson

Para casi cualquier configuración del Sistema Solar restringido [10], el planeta C pasará una infinidad de veces arbitrariamente cerca de su posición inicial.

La expresión ’’casi cualquier configuración inicial’’ tiene un significado matemático preciso. « Para casi cualquier configuración inicial, se tiene la propiedad (P) » significa que « El conjunto de configuraciones iniciales para las que la propiedad (P) no se cumple es de volumen cero en el espacio de configuraciones ». Así, decir que ’’Para casi cualquier configuración inicial, se tiene la propiedad (P)’’, implica que ’’Si se escoge al azar una configuración inicial, la propiedad (P) se verificará con probabilidad igual a 1’’.

Por lo tanto, debemos leer el Teorema de Estabilidad de Poisson como sigue : si se escoge al azar una configuración inicial del Sistema Solar restringido, existe una probabilidad igual a 1 de que esta elección permita trayectorias en las que el planeta C pasará una infinidad de veces arbitrariamente cerca de su posición inicial.

Una idea de la demostración

Para explicar el argumento principal de la demostración del Teorema de Estabilidad de Poisson, usaré una analogía hidrodinámica [11]. Consideremos un fluido incompresible que llena un recipiente de volumen finito. Podemos imaginar al fluido formado por partículas puntuales que se mueven por el recipiente a lo largo del tiempo. Afirmo que casi cualquier partícula del fluido, después de un tiempo, volverá arbitrariamente cerca de su posición inicial. En otras palabras, el volumen del conjunto de partículas del fluido que no pasarán arbitrariamente cerca de sus posiciones iniciales es cero.

Para demostrar este resultado, razonamos por contradicción : suponemos que el resultado es falso. Entonces existe una región $V$ del recipiente de volumen estrictamente positivo y una constante $d$ estrictamente positiva tales que cualquier partícula de fluido cuya posición inicial estaba situada en la región $V$ nunca regrese a una distancia menor que $d$ de esa posición inicial. Dado que el volumen de $V$ es estrictamente positivo, existe una bola $B$ de diámetro $d$ tal que la intersección de $V$ con $B$ tenga un volumen estrictamente positivo. Llamemos $V_0$ a esa intersección. Una partícula de fluido cuya posición inicial estaba ubicada en $V_0$ no regresa a una distancia $d$ de su posición inicial ; por ello, no pasa de nuevo por $V_0$ (recordemos que $V_0$ está contenido en una bola de diámetro $d$, lo que implica que dos puntos cualesquiera de $V_0$ están a una distancia menor que $d$).

Para cualquier entero $k$, llamemos $V_k$ a la región del recipiente de la siguiente forma : $V_k$ es el conjunto de posiciones en el instante $t=k$ de las partículas del fluido cuya posición inicial está en $V_0$. El punto crucial es el siguiente : como supusimos que nuestro fluido es incompresible, el volumen de la región $V_k$ es igual al volumen de la región $V_0$. Así, las regiones $V_{0},V_{1},V_{2},\dots$ tienen todas el mismo volumen. Como el volumen total del recipiente es finito, esas regiones no pueden ser todas disjuntas de a dos (¡no se puede poner infinitas naranjas en una caja !). Entonces, habrán dos de estas regiones, digamos $V_i$ y $V_j$ con $i$ menor que $j$, que se intersecan. En otras palabras, algunas de las partículas que están en $V_i$ en el instante $i$ estarán en $V_i$ en el instante $j$. Estas mismas partículas estaban por definición en $V_0$ en el instante $0$ y de nuevo están en $V_0$ en el instante $j-i$. En consecuencia, hay partículas cuya posición inicial estaba en $V_0$ y que regresan a $V_0$. Esto contradice lo que habíamos demostrado hasta aquí, mostrando que nuestra hipótesis inicial era absurda. Por lo tanto, hemos demostrado que cualquier partícula del fluido regresará, después de un tiempo, arbitrariamente cerca de su posición inicial.

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Escurrimientos de fluidos cada vez más turbulentos (imagen de Johann Herault, Basile Gallet, François Pétrélis y Stefan Fauve, extracto del sitio Science Non Linéaire).

Un razonamiento similar, pero un poco más complicado (que se deja como ejercicio...) nos permite demostrar que cualquier partícula de fluido regresará, después de un tiempo, una infinidad de veces arbitrariamente cerca de su posición inicial. De esta forma, obtenemos un análogo del Teorema de Estabilidad de Poisson para fluidos incompresibles.

Ahora volvemos a nuestro Sistema Solar restringido. Una configuración inicial del Sistema Solar restringido puede verse como un punto en un espacio de configuraciones abstractas. De manera puramente formal, optamos por pensar en esos puntos como partículas de un fluido que llena el espacio de configuraciones. La evolución de la configuración (i.e. sus posiciones y sus velocidades) de los planetas del Sistema Solar restringido, gobernadas por las leyes de Newton, corresponderán ahora al movimiento de las partículas del fluido. Poincaré demuestra que esos movimientos ocurren como si el fluido fuera incompresible, en el sentido de que se puede definir una noción de volumen sobre el espacio de configuraciones, y que este volumen es preservado por la evolución del sistema [12]. Luego, usa un resultado de Hill y Bohlin que demuestra que las posiciones y velocidades de los planetas del Sistema Solar restringido permanecen en una región limitada (y por tanto, de volumen finito) del espacio de configuraciones. Así, estamos en una situación formalmente similar a la de un fluido incompresible dentro de un recipiente de volumen finito. Poincaré puede, por tanto, utilizar el mismo razonammiento que hicimos anteriormente, y deducir su Teorema de Estabilidad de Poisson.

El Teorema de Recurrencia de Poincaré

La demostración del Teorema de Estabilidad de Poisson que esbozamos anteriormente usa solamente dos propiedades del Sistema Solar restringido : por una parte, la evolución de este sistema conserva un volumen y, por otra parte, las trayectorias del sistema restringido, luego de un tiempo, permanecen en una región limitada del espacio de configuraciones. Los argumentos de Poincaré demuestran, por tanto, un resultado más general, que se denomina ’’Teorema de Recurrencia de Poincaré’’ :

Teorema de Recurrencia de Poincaré (enunciado informal e impreciso) [13]

Considere un sistema cuya evolución en el tiempo se rige por ecuaciones diferenciales. Suponga que las trayectorias de este sistema permanecen en una región limitada del espacio de configuraciones. Suponga también que la evolución del sistema preserva un volumen en el espacio de configuraciones. Entonces, para cualquier configuración inicial del sistema, el sistema regresa, después de un tiempo, una infinidad de veces arbitrariamente cerca de esa configuración.

Nacimiento de la Teoría Ergódica

Intentaré explicar por qué el Teorema de Recurrencia es un resultado increíblemente innovador.

A lo largo de los siglos XVIII y XIX, los matemáticos más grandes trabajaron arduamente en las ecuaciones que describen la evolución del Sistema Solar. Mostraron una inteligencia fabulosa para estimar cómo las atracciones mutuas de los planetas los hacían desviarse de sus órbitas elípticas keplerianas. Procediendo sus métodos por aproximación, ellos no pudieron, naturalmente, proporcionar información sobre el futuro relativamente cercano del Sistema Solar.

Poincaré, por su parte, ’’toma altura’’. Se pregunta si, sin calcular las trayectorias de los planetas ni conocer las posiciones iniciales de los planetas, y sin siquiera interesarse en las ecuaciones diferenciales que interpretan las leyes de Newton, podríamos de todas formas decir algo. ¿Habrá alguna cosa más general que decir sobre las trayectorias de un sistema determinista ? La apuesta parece completamente loca. Sin embargo, en una página, Poincaré nos muestra que, en cualquier sistema determinista que preserva el volumen, si las trayectorias permanecen en una región limitada, entonces cualquier trayectoria pasa una infinidad de veces cerca de su posición inicial. Este resultado se aplica en particular al Sistema Solar restringido ; este es uno de los primeros resultados sobre el comportamiento de este sistema, cuya validez no está limitada por el tiempo.

Por supuesto, hay un precio que pagar : la información que nos entrega el Teorema de Recurrencia es absolutamente abstracta. De hecho, no sabemos nada acerca de cuándo las trayectorias regresarán cerca de su posición inicial, o qué sucede con cada trayectoria entre dos regresos. Por ello, el Teorema de Recurrencia de Poincaré no invalida los cálculos de Laplace, Lagrange, Le Verrier, Poisson, etc. Sin embargo, Poincaré nos permite abrir la puerta de un nuevo mundo. Este mundo se conoce como Teoría Ergódica. Se trata de un área de las Matemáticas cuyas bases fueron establecidas por Georges Birkhoff en la década de 1930, que busca fundamentalmente comprender el comportamiento estadístico de ’’cualquier trayectoria’’ de ciertos sistemas. ¡Hoy en día hay cientos de matemáticos trabajando en esta área !

La Teoría Ergódica, de la estabilidad del Sistema Solar a los números primos

Para ilustrar la increíble fertilidad del punto de vista introducido por Poincaré, expondré un resultado lo más alegado posible del tema de la estabilidad del Sistema Solar, cuya demostración se basa esencialmente en argumentos de la Teoría Ergódica.

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La repartición de los números primos entre 1 y 2025.
Los números enteros son dispuestos en orden a lo largo de una espiral que parte del centro del cuadrado ; las casillas oscurecidas corresponden a los números primos. Imagen extraída desde el sitio cassetête.org.

Recordemos que un número primo es un número entero que solamente es divisible por 1 y por sí mismo. Los números primos están entre los objetos matemáticos más simples que existen ; sin embargo, todavía ocultan muchos misterios. Es fácil determinar los primeros números primos : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,... Actualmente, el número primo más grande que se conoce consta de trece millones de dígitos [14]. Y a pesar de ello, la distribución de los números primos entre todos los números enteros sigue siendo en gran parte un misterio. Por ejemplo, no sabemos cómo responder a una pregunta muy simple : ¿existirán infinitos números primos $p$ tales que $p+2$ sea también un número primo ?

Una vieja pregunta sobre la distribución de los números primos fue resuelta recientemente por Ben Green y Terence Tao. Una progresión aritmética de largo $\ell$ es una secuencia de $\ell$ enteros $n_1, n_2, n_3, \dots, n_\ell$ tales que la diferencia entre dos términos consecutivos de la secuencia es constante. Por ejemplo, $27, 35, 43, 51, 59$ es una progresión aritmética de largo $5$. En 2004, Green y Tao lograron demostrar el siguiente resultado (GT) :

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Ben Green
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Terrence Tao

$\quad$

Teorema (Green, Tao)

Existen progresiones aritméticas arbitrariamente largas en las que todos los términos son números primos. [15]

La demostración de Green y Tao consiste principalmente de argumentos de Teoría Ergódica. Claramente, esos argumentos son infinitamente más sofisticados que los que permitieron demostrar el Teorema de Recurrencia de Poincaré. Sin embargo, el Teorema de Recurrencia abrió el camino a una nueva forma de pensar, y es gracias a esta nueva forma que Green y Tao pudieron utilizar el Teorema anterior [16]. Este es uno de los aspectos más fascinantes de las Matemáticas : la misma clase de ideas puede arrojar luz sobre la estabilidad del Sistema Solar y sobre la distribución de los números primos entre los números enteros.

Referencias

[P] Poincaré, Henri. Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique. Acta Mathematica 13 (1889), 1-270.

[DH] Diacu, Florin ; Holmes, Philip. Celestial encounters : The Origins of Chaos and Stability. Princeton University Press.

[GT] Green, Ben ; Tao, Terence. The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions. Ann. of Math. (2) 167 (2008), no. 2, 481-547.

Post-scriptum :

El autor desea agradecer a los revisores cuyos nombres o seudónimos son : Cyril Marilier, flandrin y Taladris.

Article original édité par François Béguin

Notes

[1Por supuesto, tendrías que hallar la forma de deshacerte de las nubes que muy a menudo obstruyen la vista, y del Sol que nos deslumbra desde el amanecer hasta el ocaso. ¡Sin olvidar la contaminación lumínica si vives en alguna ciudad !

[2Para comprender cómo se realiza esta animación, el modelo y los cálculos en los que se basa, consulte el sitio de David Colarusso.

[3El modelo propuesto por Kepler explica perfectamente las observaciones astronómicas más precisas disponibles en esa época, especialmente las que hizo Tycho Brahé un poco antes.

[4Señalemos que Copérnico no es el primero que se atrevió a imaginar un modelo heliocéntrico ; en el siglo IV a.C., Aristarco de Samos ya había propuesto tal sistema.

[5Lo hace de tal forma que, durante una cierta unidad de tiempo, el área barrida por un rayo imaginario que une al planeta con el Sol es constante.

[6’’corto’’ en una escala astronómica ; digamos ’’unos miles de años’’...

[7’’Pues si bien los cometas se mueven en órbitas muy excéntricas y en todo tipo de posiciones, el destino ciego nunca podría hacer que todos los planetas se muevan de igual forma en órbitas concéntricas, salvo irregularidades insignificantes que pueden surgir de la acción mutua entre cometas y planetas, las que probablemente aumentarán hasta que este sistema requiera una reforma.’’

[8Formalmente, esto implica asignar una masa nula a C cuando se escriben las ecuaciones para las leyes de Newton.

[9Esto de ninguna manera implica que sepamos calcular esa evolución.

[10De hecho, simplifico demasiado : solamente se consideran configuraciones iniciales razonables, i. e. correspondientes a un nivel de energía ’’no demasiado grande’’, y para las que el planeta pequeño no está ’’demasiado lejos’’ del Sol. Si el Sistema modela la influencia de Júpiter sobre la órbita de la Tierra, entonces las reales posiciones y velocidades actuales de Júpiter y la Tierra corresponden a una de esas configuraciones ’’razonables’’.

[11La idea de presentar la demostración mediante esta analogía hidrodinámica proviene de la lectura del gran libro de Florin Diacu y Philip Holmes, que trata sobre el problema de la estabilidad del Sistema Solar y su herencia matemática (DH).

[12Básicamente, la existencia de un volumen preservado se traduce en que el Sistema Solar regido por las leyes de Newton es un sistema mecánico (sin fricción).

[13Los lectores que sepan qué es una medida de probabilidad encontrarán un enunciado más formal en Internet.

[14N.d.T. : en 2021, el número primo más grande conocido consta de 24,862,048 dígitos.

[15Para una presentación mucho más completa de este resultado, les invito a leer el artículo de Julia Wolf.

[16Para no distorsionar demasiado la verdad histórica, conviene señalar que, si bien Poincaré sembró una semilla con el Teorema de Recurrencia, esta semilla no germinó inmediatamente (que yo sepa, el Teorema de Recurrencia cayó en el olvido total hasta la década de 1930). No fue hasta el trabajo de G. Birkhoff que se desarrolló una verdadera ’’nueva forma de pensar’’.

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Pour citer cet article :

Andrés Navas, Edgard Araya, Pilar Garcés — «El Teorema de Recurrencia de Poincaré» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

Crédits image :

La danse des planètes dans notre ciel - David Colarusso. http://www.davidcolarusso.com/astro/
Les mouvements des particules d’un fluide incompressible - Mathew G Wells. http://www.utsc.utoronto.ca/ wells/
Epicyle - http://www.culturediff.org/
Un spectacle inspirée par le système cosmologique de Ptolémée - Jennifer Ryan

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