El abanico misterioso

Le 11 juin 2014  - Ecrit par  Patrick Popescu-Pampu
Le 7 juin 2020  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : L’éventail mystérieux Voir les commentaires
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En 1891 y 1892 fueron publicadas en varios tomos las ’’Recreaciones Matemáticas’’ de Edouard Lucas [1].

Se trata de una excelente fuente de juegos que abren numerosas perspectivas de exploración para grandes y pequeños. Ya fue tema en este sitio en el artículo de Michel Coste consagrado al juego de Taquín.

Con el fin de hacer captar mejor el estilo del libro, voy a presentar un truco de magia que Lucas llama el Abanico Misterioso [2].


En este truco se le pide a una persona que piense un número entre $1$ y $31$. A continuación, se le muestra cinco tarjetas dispuestas en abanico, sobre cada una de las cuales está escrita una serie de números y se le pregunta en cuáles de ellas está anotado el número en el cual pensó. Apenas nos lo indique, le decimos el número... ¡sin ninguna vacilación !

¿Cómo es posible hacer esto ? Tiene que ver ciertamente con la elección cuidadosa de los números que hay que escribir sobre las tarjetas. Estos son

  • 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31
  • 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 18, 19, 22, 23, 26, 27, 30, 31
  • 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 28, 29, 30, 31
  • 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31
  • 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31

Si a un niño le gustó este acto de magia y quisiera tomar el lugar del mago, querrá saber cuál es el ’’truco’’. Su curiosidad matemática es despertada, ¡qué formidable oportunidad para hacer que aprenda cosas hermosas ! En lugar de revelarle el secreto, uno puede hacer que lo descubra. Aquí hay algunas preguntas que pueden llevarle a la solución y sugerirle algunas otras variantes :

  1. ¿Qué regla sigue la serie 1, 2, 4, 8, 16 de los números situados al inicio de cada lista ?
  2. Si uno pensó en uno de esos números iniciales, ¿en qué listas se encuentra ?
  3. Si uno pensó en la suma de dos de esos números iniciales ¿en que listas se encuentra ?
  4. ¿Qué debería ocurrir con la suma de tres de ellos ? ¡Verifíquelo en algunos casos !
  5. Llegados a ese punto, ¿ya vio cuál es el ’’truco’’ ?
  6. Si uno elige de dos maneras distintas números de la serie 1, 2, 4, 8, 16, ¿podrían sus sumas ser iguales ?
  7. ¿Cuántas formas hay de elegir números de esta serie de 5 números ?
  8. ¿Cuál es la suma de estos 5 números ?
  9. ¿Cómo se elabora cada lista [3] ?
  10. ¿Cómo elaborar un juego similar con 4 o 6 tarjetas ?

Estas preguntas son difíciles para un alumno de Preparatoria, pero resultan abordables durante la Secundaria, y pueden ser pretextos para explorar la numeración binaria o las nociones básicas de combinatoria. Al revés, revelar directamente el ’’truco’’ a un alumno de Preparatoria tiene también sus ventajas : lo estimula a aprender a hacer más rápidamente las sumas mentales. Uno puede también utilizar este ’’abanico misterioso’’ para desembocar en matemáticas más complejas, como por ejemplo la problemática de los códigos correctores de errores, comparando este acto de magia con el juego presentado por Xavier Caruso en este artículo acerca del código de Hamming.

No voy a decir nada más. Solo espero haber estimulado a las personas interesadas en desarrollar el espíritu de exploración en los niños para que vayan a buscar ideas en ese libro. Eso alegraría seguramente a Lucas, quien concluía así su prefacio :

Si estas páginas agradan a algunos sabios, si interesan a algunas personas del mundo, si ellas inspiran a algunas jóvenes inteligencias hacia el gusto por el razonamiento y el deseo de los goces abstractos, yo estaré satisfecho

Notes

[1Los tres primeros son accesibles también a través del sitio Gallica : I, II, III. Todos son accesibles a través de esta página del sitio consagrado a la obra de Lucas. Agradezco a Etienne Ghys por haberme hecho descubrirlos.

[2Se lo encuentra en el capítulo ’’La numeración binaria’’ del tomo I.

[3Un alumno puede descubrir la manera en la cual se salta de un número a otro en cada lista. Pero reflexionar acerca de las bases de la numeración permite describir de manera simple la elaboración de las listas del siguiente modo : la $k$-ésima lista contiene los números cuya escritura en base $2$ contiene la cifra $1$ en $k$-ésima posición, contando a partir de las unidades. ¡Indicar las listas que contienen el número en el cual se pensó pasa entonces a indicar sus cifras en base 2 !

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «El abanico misterioso» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - La foto proviene de Wikimedia Commons :
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Eventail_chinois_asymétrique_Alcazar_Seville_Spain.jpg?uselang=fr
Se trata de un abanico chino del siglo XVIII, del Alcázar de Sevilla.

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