El anillo de Henri Poincaré

Piste rouge Le 13 décembre 2012  - Ecrit par  Patrick Massot, Marie-Claude Arnaud
Le 14 septembre 2021  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : L’anneau d’Henri Poincaré Voir les commentaires

Cet article a été écrit en partenariat avec L’Institut Henri Poincaré


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En marzo de 1912, el año de su muerte, Henri Poincaré escribió : ’’nunca presenté al público un trabajo tan incompleto’’, refiriéndose a su artículo ’’Acerca de un teorema de geometría’’. En ese artículo, él enunciaba un resultado de geometría que reconoce que no sabía demostrar. Sin embargo, logró probarlo en numerosos casos particulares. Y ese teorema le parece muy importante a raíz de sus posibles aplicaciones en astronomía. Sintiéndose muy anciano para tener el tiempo de reflexionar en una demostración completa, Poincaré decidió entonces publicar su trabajo con la esperanza de que alguien llegase a probar su teorema.

Los objetos del teorema

El teorema de Poincaré-Birkhoff se refiere a las transformaciones continuas del anillo. Expliquemos intuitivamente qué es una tal transformación. Sobre una mesa se traza un anillo, es decir una superficie delimitada por dos círculos concéntricos. Sobre el anillo dibujado se coloca entonces un anillo de goma (azul en los dibujos) que recubre exactamente el anillo de la mesa.

Deformar el anillo de goma es jalarlo, tensarlo, distenderlo, imponiendo las siguientes limitaciones :

  • el anillo de goma siempre se queda a lo largo sobre la mesa, en contacto con la mesa en todos sus puntos ;
  • el anillo de goma recubre siempre el mismo campo de la mesa, el anillo dibujado sobre la mesa.

Aquí hay un ejemplo de deformación. Nosotros dibujamos el estado inicial, un estado intermedio y el estado final de curvas trazadas sobre el anillo.

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Una rotación es una deformación rígida : el anillo de goma gira sin verdadera deformación.

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La transformación continua del anillo que corresponde a tal deformación es, por definición, la función que asocia a todo punto fijo $x$ del anillo el punto $T(x)$ , que es su posición final después de la deformación.

Comentario : mediante una tal transformación continua del anillo, cada borde del anillo es enviado sobre sí mismo.

Se dice que una transformación hace girar los bordes del anillo en sentido inverso si ella es la culminación de una deformación durante la cual los puntos de un borde se desplazan en el sentido de las agujas de un reloj, mientras que aquellos del otro borde se desplazan en el sentido inverso a las agujas de un reloj.

El lector atento se dará cuenta que ninguna de las deformaciones representadas arriba cumple esta condición, ya que los dos bordes giran en el mismo sentido. El caso de la siguiente transformación es distinto :

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El siguiente bloque replegable presenta una reformulación de la condición de rotación de los bordes que es técnicamente más adecuada para demostrar el teorema de Poincaré-Birkhoff , pero que no será utilizada en la continuación del artículo.

Hipótesis de rotación en el borde y revestimiento universal

El teorema de Poincaré-Birkhoff sólo se refiere a la transformación obtenida al final de la deformación, pero no se preocupa del proceso de deformación. La definición de la condición de rotación de los bordes es, por lo tanto, un poco frustrante. Tratemos de encontrar una definición que no haga intervenir deformación.

Consideremos, por ejemplo, la transformación del círculo que es la media vuelta : cada punto del círculo es enviado sobre su simétrico en relación al centro.

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¿La media vuelta hace girar los puntos hacia la izquierda o hacia la derecha ? Se puede considerar que esa media vuelta cambia un ángulo a en a+π. Por lo tanto, aumenta todos los ángulo,s y hace entonces girar los puntos hacia la derecha... Pero por otro lado, se puede también decir que esa media vuelta transforma un ángulo a en a-π, por lo tanto disminuye los ángulos y hace girar todos los puntos hacia la izquierda... En realidad, para una transformación del círculo, hacer girar los puntos hacia la derecha... ¡no quiere decir nada ! Es necesario pasar al ’’revestimiento universal’’ para que todo eso tenga un sentido.

El revestimiento universal de un anillo es una cinta infinita que uno puede imaginar como situada encima del anillo. El siguiente dibujo muestra sólo una parte finita de esta cinta. Cada punto de la cinta está exactamente encima de un punto del anillo, pero a cada punto del anillo se superpone una infinidad de puntos de la cinta.

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Consideremos ahora una transformación $T$ del anillo como describimos anteriormente. Se puede ’’leer’’ la aplicación $T$ como una transformación $t$ de la cinta. Esto significa que cuando uno enrrolla la cinta sobre el anillo, la transformación $t$ ’’se ve’’ (se proyecta) como la transformación $T$. Como $T$ conserva los dos bordes del anillo, su lectura $t$ conserva los dos bordes de la cinta. Cada punto de un borde de la cinta es enviado por $t$ sobre un punto del mismo borde que está ya sea más alto, más bajo o a idéntico nivel.

Definición.
Se dice que una transformación $T$ del anillo hace girar los bordes del anillo en sentido inverso si existe una lectura $t$ de $T$ que desvía los puntos de uno de los bordes de la cinta hacia arriba y los puntos del otro borde hacia abajo.

Se puede mostrar que esta condición es equivalente a la existencia de una deformación del anillo que conduce a $T$ y que hace girar los bordes en sentidos opuestos.

¿Qué dice el teorema ?

Estamos ahora en condiciones de enunciar el teorema incompleto mencionado por Poincaré.

Teorema :
Consideremos un anillo, es decir una superficie $C$ delimitada por dos círculos concéntricos, y una transformación continua $T$ de este anillo como más arriba y tal que :

  1. $T$ conserva el área : si se considera un pequeño fragmento $D$ del anillo, su imagen por $T$ es un campo que puede ser muy diferente de $D$, mucho más escabroso por ejemplo, pero que tendrá la misma área que $D$ ;
  2. $T$ conserva los dos bordes del anillo, pero los hace girar en sentido inverso.

Entonces $T$ tiene al menos dos puntos fijos dentro del anillo. En otras palabras, hay dos puntos $P_1$ y $P_2$ que están en el anillo pero no sobre su borde, tales que $T(P_i)=P_i$.

Para comprender este enunciado, es útil volver sobre algunos de nuestros ejemplos de transformaciones de C. La más simple era la rotación :

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Esta transformación conserva el área. Conserva también cada borde de C. Pero los hace girar en el mismo sentido, por lo tanto las hipótesis del teorema no están satisfechas. ¡Menos mal, ya que la conclusión tampoco ! En efecto, la transformación F no tiene ningún punto fijo : todo se mueve.

Una variante de esta transformación permite satisfacer todas las hipótesis. Más que girar todos los puntos en igual ángulo, se puede elegir un ángulo que dependa de la distancia al centro del anillo y que cambie de signo al pasar de un borde al otro :

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El teorema encaja y en realidad se encuentra una infinidad de puntos fijos. A una cierta distancia del centro, el ángulo de rotación es nulo, y por tanto hay una circunferencia de puntos fijos (en línea punteada sobre el dibujo). También se ha representado a la vez los arcos coloreados de origen y sus imágenes por $T$.

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Esto es mucho más que los dos puntos fijos prometidos por el teorema, pero se puede mostrar que el teorema es óptimo : existen transformaciones más complicadas para las cuales hay exactamente dos puntos fijos y ninguno de más.

Un año después de la muerte del gran matemático, G.D. Birkhoff publica una primera demostración del teorema. Bajo las hipótesis de Poincaré, él muestra la existencia de un punto fijo. Su argumento en cuanto a la existencia de un segundo punto fijo es, sin embargo, incompleta, y lo corregirá recién en 1926 en un artículo que asimismo extiende el campo de aplicación de ese teorema, imponiendo limitaciones menos fuertes sobre la transformación $T$. Es por eso que usualmente se le llama así : Teorema de Poincaré-Birkhoff.

El argumento, muy lindo, utiliza (sin decirlo) la noción de índice de un campo de vectores a lo largo de una curva cerrada, pero no es nuestro propósito detallarlo aquí. Preferimos explicar por qué Poincaré consideraba su teorema tan importante para sus aplicaciones.

El problema circular limitado de los tres cuerpos

Poincaré es el fundador de la teoría moderna de los sistemas dinámicos. La motivación esencial de sus importantes contribuciones a esta teoría es el estudio de un problema único : el estudio del movimiento de N cuerpos (estrellas, planetas, satélites...) sometidos a la atracción gravitacional universal. Es un problema único pero difícil, y múltiple en realidad...

Esto se debe a que si bien se sabe resolver las ecuaciones de la dinámica que rigen el movimiento de dos cuerpos en el vacío sometidos a una interacción mutua (problema de Kepler), las cosas se complican con tres cuerpos.

Una manera de obtener resultados en el problema de los 3 cuerpos es verlo como una perturbación del problema de Kepler, es decir, suponer que uno de los tres cuerpos tiene una masa tan pequeña comparada a las masas de los otros dos cuerpos que, si bien es atraído por esos dos cuerpos, por el contrario no tiene ninguna influencia sobre ellos. Se podrá pensar en el Sol, en Júpiter y en Mercurio. Si uno se inclina hacia las ecuaciones de la dinámica, lo anterior equivale exactamente a suponer que el tercer cuerpo, llamémosle M, es de masa nula. Eso es lo que hace Poincaré. Él se interesa en el caso donde los dos cuerpos de masa no nula -llamémosles S y J- tienen una órbita circular recorrida a velocidad angular constante alrededor de su centro de gravedad, y donde el cuerpo M se mueve en el mismo plano que S y J :

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Se conoce perfectamente el movimiento de los dos cuerpos S y J, y todo el problema es describir el movimiento del cuerpo M. 

Para esto, es útil colocarse en un sistema referencial giratorio asociado a S y J. Esto significa que el movimiento de M está descrito en relación al de S y J. Desde este punto de vista, S y J están inmóviles. La siguiente animación muestra a la izquierda un movimiento visto normalmente y a la derecha el mismo movimiento visto desde el referencial giratorio. Notemos que se trata de un movimiento cualquiera, no del resultado de una simulación de mecánica celeste [1].

Poincaré se dedicó a buscar órbitas periódicas en el referencial giratorio.

Son necesarios cuatro números para localizar M : dos coordenadas para la posición en el plano y dos para la velocidad. Esto es demasiado para llegar a probar algo interesante, sobre todo si se quiere aplicar un teorema que describe una situación en dimensión 2. Hay dos maneras de disminuir la dimensión para un sistema de este tipo que depende del tiempo :

  • utilizar una o muchas integrales primeras ;
  • hacer una sección de Poincaré.

Expliquemos todo esto.

Integrales primeras
Una integral primera es una cantidad que depende de las coordenadas y que es constante a lo largo de cada órbita. En física, se trata a menudo de una energía. Estableciendo un valor de la integral primera, se puede deducir una de las coordenadas en función de las otras, y se reduce por lo tanto el número de coordenadas en uno.

Esta situación es del todo análoga a la de un excursionista que se pasea sin cambiar de altitud. El trayecto del excursionista visto sobre un mapa se mantiene en una línea de nivel del mapa. Las líneas de nivel son curvas, por lo tanto objetos de dimensión 1, una dimensión menos que la del mapa bidimensional.

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En el problema circular limitado de los tres cuerpos se puede mostrar que existe una combinación de los cuatro números que localizan M, llamada Integral de Jacobi. Se reduce entonces a un problema dinámico en un espacio de 3 dimensiones, llamado nivel de la integral de Jacobi.

Sección de Poincaré
En un espacio de dimensión n, se construye una parte $\Sigma$ de dimensión n-1, tal que toda órbita surgida de $\Sigma$ vuelve en el futuro a $\Sigma$. La aplicación que en todo punto de $\Sigma$ asocia su primer punto de retorno a $\Sigma$ se llama la aplicación de primer retorno (o aplicación de Poincaré) a $\Sigma$. Construir una sección de Poincaré permite entonces disminuir la dimensión en una unidad, pero pasando de un fenómeno en tiempo continuo (las órbitas son curvas) a un fenómeno en tiempo discreto (se tiene una aplicación definida en $\Sigma$). No se puede, por lo tanto, repetir la operación (mientras que es perfectamente posible utilizar muchas integrales primeras para disminuir la dimensión del espacio en muchas unidades).

Poincaré muestra que si la masa de J es suficientemente pequeña, entonces hay cerca de S dos familias de órbitas, periódicas en el referencial giratorio, y simétricas en relación al eje SJ. Una de las familias consta sólo de órbitas retrógradas y la otra sólo de órbitas directas. Además, cada nivel de la integral de Jacobi contiene exactamente una órbita de cada una de las dos familias. Llamemos a esas órbitas ’órbitas periódicas de pequeño período’.

Poincaré esperaba utilizar su teorema para mostrar la existencia de órbitas de gran período, pero en su artículo sólo esbozó la manera de conseguirlo. Utilizando las órbitas periódicas de pequeño período de una manera extremadamente astuta, Birkhoff llega a construir en cada nivel de la integral de Jacobi y en las proximidades de S una superficie A que tiene la forma de un anillo y que verifica :

  • el borde del anillo A es la reunión de dos órbitas periódicas de pequeño período, una periódica directa y la otra retrógrada ;
  • la órbita de cualquier otro punto $x$ de este anillo vuelve a cortar A en el futuro en un primer punto que llamaremos $T(x)$. Así, $T$ es la aplicación de primer retorno dentro de A :
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Este anillo no es un anillo bien redondo en un plano, como al principio de este artículo, sino una superficie que se puede parametrar por un tal anillo de una forma que permite (con algunas precauciones explicadas en el bloque replegable siguiente) aplicar el teorema. Los puntos establecidos por T garantizados por el teorema corresponden a las trayectorias del planeta M que se cierran.

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Desarrollando un poco más la teoría, se puede además garantizar la existencia de trayectorias de M que se cierran después de haber cruzado el anillo un gran número de veces. De ese modo, se encuentra una infinidad de órbitas cerradas, de longitud arbitrariamente grande.

Algunos detalles.

Para aplicar el teorema, se debe verificar que T se prolonga al borde del anillo. También es necesario aplicar T muchas veces para estar seguros de que los bordes giren en sentidos opuestos. Finalmente, un corolario del teorema de Poincaré-Birkhoff que no entregamos con anterioridad y que es relativamente fácil de obtener :

Corolario del teorema de Poincaré-Birkhoff
Bajo las hipótesis del teorema de Poincaré-Birkhoff, la aplicación $F$ posee una infinidad de órbitas periódicas y tiene órbitas periódicas de período tan grande como se desee.

De aquí se deduce la existencia, en cada nivel de la integral de Jacobi, de una infinidad de órbitas periódicas que son de período tan grande como se desee. En caso de duda acerca del vínculo entre el período de los puntos del anillo y el período de las trayectorias de $M$, se podrá abrir (con precaución) el siguiente bloque replegable.

Períodos para $T$ y para el movimiento celeste (para lectores más avanzados)

Para hablar del vínculo entre los períodos en los dos marcos, es necesario hablar del tiempo de retorno : si $x\in A$, el tiempo $t(x)$ que pasa el cuerpo antes de volver a $A$ se llama tiempo de retorno (o tiempo de primer retorno). Se puede mostrar que existe una constante estrictamente positiva $a$ más pequeña que todos los tiempos de retorno. De este modo, una órbita de período $N$ para $T$ tendrá un período $\tau$ como cuerpo celeste de al menos $Na$ : si se puede elegir $N$ tan grande como se desee, también se puede elegir $\tau$ tan grande como se quiera.

Algunos comentarios :

  • Esas órbitas periódicas que encuentran Poincaré y Birkhoff no son realmente órbitas periódicas del problema inicial, ya que son periódicas en el referencial giratorio. Su existencia es, sin embargo, una información importante. Como lo escribía Poincaré

    Por lo demás, lo que nos hace tan valiosas esas soluciones periódicas es que son, por así decirlo, la única brecha por donde podríamos tratar de penetrar en un lugar calificado hasta aquí como inaccesible.

  • El último resultado que acabamos de describir no puede aplicarse al problema de la Luna (en el sistema Sol-Tierra-Luna), ya que se supone que el cuerpo de masa despreciable M está en las proximidades del cuerpo de gran masa S... Habrá que esperar hasta los años 1960 para que Charles Conley publique un artículo que estudia el problema de la Luna.

¿Y luego ?

Por supuesto, los sucesores de Poincaré y Birkhoff buscaron generalizar su teorema, en particular para los objetos geométricos en dimensión grande, es decir, que necesitan más de dos números para localizar un punto. Los matemáticos comprendieron, especialmente gracias a Vladimir Arnold, que la noción adecuada que generaliza aquélla de transformación que preserva el área es la de tranformación ’’simpléctica’’. Esta condición está fuera del alcance de este artículo, pero el lector curioso -que no tenga miedo de franquear las discusiones puramente matemáticas avanzadas- podrá leer con gusto la descripción de Michèle Audin
de la invención de la topología simpléctica (en inglés).

Post-scriptum :

¡Gracias a los relectores Nicolas Bedaride, Mathilde Herblot, Xavier Caruso y
Jean-Romain por sus sugerencias !

Article original édité par Étienne Ghys

Notes

[1Se puede admirar por ejemplo la figura 6 de esta página para ver un ejemplo de simulación digital del problema con tres cuerpos en el referencial giratorio.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «El anillo de Henri Poincaré» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Crédits image :

Image à la une - El logo y las imágenes similares en el artículo han sido creadas con ayuda del programa computacional libre Inkscape basándose en fotos de planetas de la NASA.
img_8941 - Google maps
img_8991 - Image créée avec le logiciel libre Blender

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