El efecto Droste

Piste rouge Le 29 juin 2020  - Ecrit par  Jos Leys
Le 19 avril 2021  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
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La relación entre M.C. Escher, el chocolate y los números complejos.

All M.C. Escher Works © 2009 The M.C. Escher Company,the Netherlands. All rights reserved. Used by permission

En 1956, Maurits Cornelis Escher completó un dibujó que llamó Prentententoonstelling , ’’Galería de Imágenes’’. El dibujo muestra a un hombre joven que mira una imagen deformada de tal modo que parece que no tiene sentido. Al medio de la imagen se ve una enigmática mancha blanca.

En 2003, un equipo de matemáticos de la universidad de Leiden, Holanda, bajo la dirección del profesor Hendrik Lenstra, logró descifrar la estructura matemática de la imagen. Una vez conocida esta estructura, ellos pudieron ’’completar’’ la imagen, reemplazando la mancha blanca con ayuda de un algoritmo numérico.

El equipo publicó un artículo que fue especialmente bien acogido tanto en los círculos universitarios como en la prensa general [1]. Para sorpresa de todos, el equipo de Lenstra mostró que la estructura de la imagen es la misma que la estructura de una imagen con efecto Droste . El efecto Droste toma su nombre de un paquete de cacao de la compañía chocolatera Droste de Holanda, que muestra a una enfermera llevando una bandeja sobre la cual hay un paquete de cacao. La imagen en ese paquete de cacao es también una enfermera que lleva una bandeja sobre la cual hay un paquete de cacao... (ad infinitum) [2].

¿Cómo construir una copia de una imagen en alguna parte de la imagen y cómo repetirla al infinito ? El método de Lenstra para la transformación de imágenes tiene tres etapas que vamos a explicar [3] :

Etapa 1 : El logaritmo.

Considerar el logaritmo de un número complejo es algo un poco complicado. Un número complejo $z$ se escribe a menudo bajo la forma $z=re^{i\theta}$, donde $r\geq 0$ designa el módulo y $\theta$ el argumento. Se define naturalmente entonces $\ln (z)$ como $\ln r + i \theta$, pero eso plantea dos problemas. El primero, como de costumbre, es que hay que suponer que $z$ no es nulo, es decir, que $r>0$. El segundo es que $\theta$ no es único : $re^{i\theta}=re^{i(\theta+2\pi n)}$ para cada entero $n$, si bien hay que elegir un $\theta$. La tradición es elegir aquel para el cual $0 \leq \theta < 2 \pi$, pero esto es solo una convención : se podría tomar otro.

Como $0\leq\theta < 2\pi$, la transformación $z\mapsto\ln(z)$ convierte el plano complejo (privado del origen) en una cinta de altura $2\pi$ encima del eje real.

Tomar otras convenciones para el logaritmo llevaría a agregar $2 n i \pi$, si bien la imagen del logaritmo recubriría entonces otra cinta, trasladada de la primera. Por lo tanto, se obtiene una infinidad de imágenes del plano siguiendo las convenciones elegidas. Esto será importante para la continuación.

Miremos cómo esta transformación actúa sobre dos círculos concéntricos (centrados en el origen), de radios $r_1$ y $r_2$.

La figura ilustra la transformación $z\mapsto\ln(\frac{z}{r_1})$. El círculo interior se convierte en un segmento vertical que pasa por el origen y el círculo exterior se convierte en otro segmento vertical a distancia $\ln({r_2}/{r_1})$ del primero. Es como si hubiéramos cortado la figura a lo largo del segmento $A-A'$ y desplegado el todo en un rectángulo.

Etapa 2 : Rotación y dilatación.

Ahora se gira el rectángulo en la figura de la derecha hasta que su diagonal coincida con el eje imaginario, y se reduce el rectángulo mediante una homotecia, para que la longitud de su diagonal sea $2\pi$.

En la próxima etapa se va a efectuar la transformación inversa del logaritmo.

Etapa 3 : Exponencial.

Se obtiene la imagen de abajo aplicando la transformación $z\mapsto e^z$ sobre el rectángulo inclinado. Todos los lados del rectángulo son transformados en espirales. Hay que fijarse que los vértices del rectángulo sobre la diagonal vertical (que se encuentran en $0$ y $2i\pi$) están ambos transformados en el punto $1$.

Uno puede calcular explícitamente las transformaciones efectuadas. Dependen solo del cociente $\frac{r_2}{r_1}$.
Durante la etapa 2, el rectángulo permitió aplicar la transformación $z\mapsto zfe^{i\alpha}$ con $\alpha=\arctan(\frac{\ln(\frac{r_2}{r_1})}{2\pi})$ y $f=\cos(\alpha)$.

La composición de las tres etapas da la transformación $z\mapsto (\frac{z}{r_1})^\beta,$ con $\beta=fe^{i\alpha}$.

Ahora se retoma la etapa 2. Se construye un teselado del plano con el rectángulo que se había girado en un ángulo $\alpha$ y se aplica entonces la transformación de la etapa 3.

El rectángulo $E$ en la figura de la izquierda es el rectángulo de base, y este se transforma en el campo $E$ de la figura de la derecha. A su vez, el rectángulo $F$ es transformado en el campo $F$ a la derecha. Se obtiene así un número infinito de copias de la imagen original, el anillo entre dos círculos que teselan el plano (siempre privado del origen). Todos esos teselados son parecidos : se puede pasar de $E$ a $F$ sobre la imagen de la derecha por una similitud, composición de una dilatación (de un factor $|(\frac{r_2}{r_1})^{\beta}|$) y una rotación (de un ángulo igual al argumento de $(\frac{r_2}{r_1})^{\beta}$).

En la etapa 2, hemos dilatado la diagonal del rectángulo y luego efectuado una rotación de tal modo que la diagonal se convierte en vertical. El objetivo era que los dos extremos de la diagonal tuvieran la misma imagen por el exponencial (ya que ellas difieren de $2 i \pi$). Pero uno puede perfectamente hacer girar el rectángulo del mismo ángulo en el otro sentido, y esos son los extremos de la otra diagonal que tendrán la misma imagen por el exponencial : la imagen espiral girará entonces en el otro sentido.

¡Uno puede también elegir no girarlos ! Son entonces los dos extremos de los lados verticales los que tienen la misma imagen por el exponencial.
Finalmente, también se puede efectuar una simetría en relación al origen.
Se ve todas las configuraciones posibles en la figura de abajo.

Cuando no se hace girar el rectángulo o se le hace girar media vuelta, la transformación va a producir un número infinito de copias concéntricas de la imagen original. En los otros casos, habrá una dilatación $f$ y una rotación de ángulo $\alpha$, $-\alpha$, $\pi-\alpha$ o $\pi+\alpha$, y la imagen final va a producir copias conectadas en espirales.

Recapitulemos. Para transformar una imagen entre dos círculos concéntricos :

  • se elige $r_1$ y $r_2$ (es necesaria una adaptación simple si los círculos no están centrados sobre el origen) ;
  • se calcula $\alpha$, $f$ y $\beta$ ;
  • se efectúa la teselación con los rectángulos y se calcula $e^{\beta\ln(\frac{z}{r_1})}$ para todos los pixeles.

Aquí hay algunos ejemplos : imágenes originales a la izquierda, imágenes transformadas a la derecha [4].

El algoritmo puede ser adaptado para los círculos no concéntricos o incluso para cualquier forma. Tomemos primero cuadrados concéntricos.

El campo entre los dos cuadrados en la imagen de abajo está transformado en el campo oscuro de la segunda imagen por la transformación logarítmica. Después de la exponenciación, se obtiene la tercera imagen. Si se efectúa primero una rotación del teselado, se obtiene la imagen de la derecha.

Uno puede hacer zooms ilimitados sobre estas imágenes. Se conoce la relación entre el tamaño del gran contorno y el del pequeño, y esto permite calcular el valor de $\beta$. Se puede calcular entonces la dilatación y la rotación necesarias para obtener una imagen idéntica. Basta por lo tanto con producir un pequeño número de frames [5] entre dos imágenes idénticas para obtener una película ’’zoom’’ que se puede observar ahora como un sinfín. Este es un ejemplo :

Las imágenes de abajo muestran la situación con dos cuadrados no concéntricos.

Algunos cálculos

Ahora se necesita el punto fijo de la similitud que transforma el gran cuadrado en el pequeño. Llamemos $C_L$ al centro del gran cuadrado, $C_S$ al centro del pequeño cuadrado, $\theta$ al ángulo entre los dos cuadrados y $m$ a la proporción de sus tamaños. El punto fijo está dado entonces por :
\[C_F=C_L+\frac{(C_S-C_L)}{(1-me^{i\theta})}.\]
La transformación logarítmica toma entonces la forma $z\mapsto \ln(\frac{z-C_F}{a})$, donde $a$ es la distancia más corta entre $C_F$ y un lado del pequeño cuadrado.

La transformación completa se convierte $z\mapsto (\frac{z-C_F}{a})^\beta$, $\beta=fe^{i\alpha}$, $f=\frac{2\pi}{(2\pi-\theta)}\cos(\alpha)$, y $\alpha=\arctan(\frac{\ln(m)}{(2\pi-\theta)})$. Se emplea el mismo principio para los rectángulos en lugar de los cuadrados.

Aquí hay un ejemplo de la transformación con rectángulos no concéntricos. Primero la imagen original :

...y luego la película en zoom :

Por lo tanto, se puede emplear la transformación para círculos, cuadrados o rectángulos, pero también es posible usarla para cualquier forma. En ese caso, primero hay que volver transparente la forma que se desea emplear en la imagen. Volver transparente una porción de una imagen digital quiere decir que el valor de los octetos alpha blending correspondientes es cero (hay que definir la región transparente a mano, con ayuda de un programa gráfico como Photoshop). Con una imagen que tiene un ’’agujero’’ transparente, no es muy difícil escribir un algoritmo que detecte el borde del agujero.
Esto está ilustrado por las imágenes de abajo. A la izquierda, la imagen original [6]. Al centro, una imagen con la sección transparente, lo que crea una región similar (en rojo) en la imagen de la derecha (se puede añadir una rotación si se desea).

Según la rotación elegida en la etapa 2 de la transformación, se obtiene entonces estas imágenes :

Aquí hay otros tres ejemplos de imágenes realizadas con el método del ’’agujero transparente’’ [7] :


Volvamos a la imagen de Escher.
El equipo de Lenstra mostró que es, en efecto, una imagen con efecto Droste, y pudo medir las características : hay una proporción $m=256$. El ángulo de rotación en la etapa 2 es por lo tanto $\alpha=\arctan({\ln(m)}/{2\pi})=41.429..…$ grados, y el factor $f=\cos(\alpha)=0.749767…$. Con $\beta=fe^{i\alpha}$ se obtiene $|m^\beta|=22.5836…$, y el argumento de $m^\beta$ es $157.62559…$ grados.

Esto ha permitido, por lo tanto, reconstruir la famosa mancha blanca. Si se hace un zoom de factor 22.5836 y se gira la imagen en -157.62559 grados, se obtiene una imagen idéntica. Con esta información y la ayuda de un artista que reconstruyó la imagen original no deformada, el secreto de la mancha blanca ha sido revelado como una copia de la imagen original, alrededor de 23 veces más pequeña... Uno puede mirar el resultado aquí.

Es casi increíble que M.C. Escher, que no era matemático, haya podido dibujar su ’’Galería de Imágenes’’ por simple intuición. ¡Una intuición genial, hay que reconocerlo !

Notes

[1Mire también su sitio.

[2Otro nombre : el efecto ’’Vache-qui-rit’’ y también ’’Construcción en abismo’’.

[3Este artículo es una versión ligeramente adaptada de mi artículo original en inglés, publicado en Computers and Graphics, Volume 31, Issue 3, June 2007.

[4Para otros ejemplos, vea esta página.

[5Imágenes individuales de una película, normalmente 25 por segundo.

[6¡Agradecemos a Étienne Ghys por haber aceptado posar !

[7Todas las imágenes de este artículo han sido realizadas con ayuda del programa computacional Ultrafractal.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «El efecto Droste» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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