¿El error como fuente de progreso en matemáticas ?

Le 18 février 2009  - Ecrit par  Jean-Marc Schlenker
Le 3 novembre 2021  - Traduit par  Andrés Navas
Article original : L’erreur comme source de progrès en mathématiques ? Voir les commentaires
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Un artículo reciente explicó la angustia que puede tener un matemático ante la idea de haber dejado un error en un artículo. ¿Pero hay algún caso en el que un error en una demostración ha engañado permanentemente a la investigación matemática ? En todo caso, hay errores fructíferos. Por ejemplo, en un artículo famoso de 1960, Yamabe mostró la existencia en cada clase conforme de una métrica con curvatura escalar constante. Su ’’prueba’’ contenía un error, pero la conjetura correspondiente se convertiría en uno de los motores del desarrollo de análisis geométrico durante los próximos 20 años.

Hacia 1900, Henri Poincaré sentó las bases de una de las ramas principales de la matemática contemporánea : la topología algebraica. Él descubrió cómo asociar a un objeto topológico a priori muy complicado, una variedad, objetos algebraicos mucho más simples [1] que son invariantes algebraicos. Él afirmaba [2] algo notable : uno de los invariantes topológicos que acababa de definir, la homología, es suficiente para reconocer la esfera entre las variedades tridimensionales. Cuatro años después [3], se dio cuenta de que estaba equivocado, presentó un contraejemplo y preguntó si otro invariante que introdujo un poco antes, el grupo fundamental, es suficiente para reconocerla esfera. Esta es la famosa conjetura de Poincaré, que se convertirá en el Grial de los topólogos hasta su resolución por Perelman en 2002.

En ambos casos, el error cometido y la necesidad de corregirlo pueden haber sido potentes motores del progreso matemático.

La rigidez de los poliedros

Un ejemplo menos conocido (que me señaló Idjad Sabitov) se refiere a un resultado famoso publicado por Cauchy en 1813 : si dos poliedros en el espacio euclidiano tienen la misma combinatoria y si sus caras correspondientes son idénticas, entonces son congruentes. Este resultado tuvo una influencia histórica considerable. Por una parte, por su prueba particularmente elegante, que se ha enseñado durante mucho tiempo en los cursos de geometría. Pero también por su ’’descendencia’’ en geometría [4] e incluso en análisis [5].

El origen de este teorema de Cauchy es interesante. Por un lado, el enunciado no es no realmente de Cauchy, sino de Legendre, quien no lo demostró realmente pero dio una prueba antes, en 1793, para un caso particular altamente no trivial : el icosaedro. La prueba de Legendre ya contiene las dos ideas principales, combinatoria y geométrica respectivamente, que están en el corazón de la de Cauchy. Pero Legendre tal vez estaba demasiado ocupado con tareas más importantes, o distraído por los acontecimientos revolucionarios, para demostrar un resultado general. La prueba de Legendre se puede encontrar al final de la primera edición (nota XII) de sus Elementos de geometría, impreso en unos pocos cientos de copias, pero en ninguna de las docenas de otras ediciones de esta obra que se volvió clásica rápidamente.

Un error de traducción

La motivación de Legendre, explicada en su introducción, es muy
interesante. Aparentemente tenía una traducción incorrecta de los Elementos de Euclides, en el que las definiciones 9 y 10 del libro XI relativas a la equivalencia de poliedros eran demasiado similares. Legendre escribe que "Junto con Robert Simson, observanos que la definición 10 no es en rigor una definición, sino de hecho un teorema que habría que demostrar ; porque no es
obvio que dos sólidos sean iguales solo por tener caras iguales”
. Lo más probable es que Euclides no haya dejado tal inconsistencia en su Elementos. Por tanto, es un error de traducción lo que llevó a Legendre a conjeturar una
propiedad fundamental de los poliedros, luego a dar un esquema de una demostración completa para Cauchy. Y así es como un traductor medieval, al malinterpretar lo que había escrito, hizo que la geometría diera un gran paso.

Por cierto, la prueba dada por Cauchy en 1813 contenía dos errores, corregidos uno por Lebesgue en 1909 y otro por Steinitz y Rademacher en 1934. Esto no le impidió tener la influencia que le conocemos. Pero que esto no les desanime, amigos matemáticos, de releer dos veces y no solo una sus artículos antes de ponerlos en arXiv...

Notes

[1como grupos o espacios vectoriales.

[2En el Segundo complemento del Análisis Situs, Actas de la London Mathematical Society, 32 (1900), páginas 277-308.

[3Quinto complemento del Análisis Situs, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo 18 (1904) páginas 45-110.

[4Condujo al teorema de rigidez de Alexandrov para poliedros, y por lo tanto a resultados de realización isométrica de métricas poliédricas en espacios de dimensión 3, luego a la realización de métricas no regulares con curvatura positiva sobre los bordes de convexos euclidianos, y a la noción de espacio de Alexandrov.

[5En otra dirección, el teorema de rigidez de Cauchy conduce a la rigidez de las superficies convexas, regulares, a las inmersiones isométricas de superficies regulares con curvatura minorada, luego a las ecuaciones elípticas de Monge-Ampère en superficies, etc.

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Pour citer cet article :

Andrés Navas — «¿El error como fuente de progreso en matemáticas ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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