El gran museo egipcio de El Cairo

Piste bleue Le 10 mars 2015  - Ecrit par  Serge Cantat
Le 27 avril 2021  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Le grand musée égyptien du Caire Voir les commentaires
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Un nuevo museo está naciendo en Egipto a pocos pasos de las grandes pirámides de Giza : ¡es la oportunidad de hablar de matemáticas !

Es interesante ver cómo algunos objetos matemáticos abandonan progresivamente su capullo inicial para viajar hacia otros campos científicos, ser adoptados por los físicos, los informáticos, los biólogos, y luego, a veces -sin duda muy de vez en cuando- entrar poco a poco en nuestro universo cotidiano. Los conjuntos fractales constituyen un buen ejemplo de este tipo de evolución. Un nuevo caso está a punto de salir a la luz en El Cairo : el triángulo de Sierpinski será uno de los motivos centrales del futuro ’’gran museo egipcio’’, construido a pocos pasos de las pirámides de Giza, por lo tanto a una veintena de kilómetros del centro de El Cairo.

El conjunto de Cantor

Antes de describir la construcción de Sierpiński, sin duda es preferible estudiar el conjunto de Cantor [1]. Partamos con un intervalo de longitud uno, y cortémoslo en tres partes iguales con el fin de delimitar tres intervalos más pequeños. Al retirar el intervalo central [2], no queda más que dos intervalos de un tercio de longitud. Apliquemos ahora el mismo procedimiento a cada uno de los dos intervalos restantes : esto produce cuatro intervalos de un noveno de longitud. Recomencemos de manera que obtengamos ocho intervalos de un veintisieteavo de longitud, y así sucesivamente.

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Conjunto de Cantor
Seis iteraciones sucesivas del procedimiento son representadas de arriba hacia abajo.

En cada etapa todos los intervalos presentes son cortados en tres partes iguales, y el tercio central se vacía, de tal manera que el número de intervalos es multiplicado por dos mientras sus longitudes son divididas por tres. Después de $n$ repeticiones de este procedimiento (piense en $n=10$ por ejemplo), disponemos de $2^n$ intervalos, cada uno de longitud $1/(3^n)$ ; con $n=10$ hay, por lo tanto, $1024$ intervalos de longitud
\[ \frac{1}{3^{10}}=\frac{1}{59049}= 0,000016935... \]
Los conjuntos así construidos llevan cada vez más componentes (cada vez más ’’pedazos’’) y son cada vez más pequeños, ya que cada etapa consiste en retirar un poco de ’’materia’’ del anterior. El conjunto de Cantor es el objeto límite obtenido al iterar la construcción indefinidamente : es lo que queda del intervalo inicial cuando se le ha aplicado el algoritmo de construcción una infinidad de veces. Es fácil ver que este conjunto no es vacío, ya que contiene los extremos del segmento inicial, así como los de todos los segmentos aparecidos durante la construcción ; es por lo tanto un conjunto infinito. De hecho, forman parte bastante más puntos que sólo los extremos de los intervalos [3].

El triángulo y la alfombra de Sierpiński

El triángulo y la alfombra de Sierpiński son dos partes del plano obtenidas con ayuda de un algoritmo iterativo similar al empleado para obtener el conjunto de Cantor [4].

Tome un triángulo equilátero (un triángulo macizo). Una entre sí las mitades de los tres lados mediante segmentos : esto hace aparecer cuatro pequeños triángulos equiláteros ; un triángulo central rodeado por los tres segmentos que acaban de ser dibujados, y tres sobre los flancos (cada uno de esos triángulos divide uno de los vértices del gran triángulo inicial). Ahora se puede vaciar el triángulo central [5], luego se repite la operación con los otros tres, y así sucesivamente. Esto es lo que resulta después de cuatro etapas :

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Triángulo de Sierpinski
Cuatro aplicaciones del algoritmo : cada triángulo es vaciado de su centro, dando lugar a tres triángulos más pequeños.

En cada etapa se quita un poco de material. Repetimos ese proceso indefinidamente ; el triángulo de Sierpiński es la parte del plano que subsiste : es un encaje bordado con finos hilos. Durante la construcción del conjunto de Cantor cada corte lo ’’desconecta’’, no obstante lo cual el conjunto de Cantor finalmente está constituido por una infinidad de partes separadas [6]. El triángulo de Sierpiński, a su vez, es de una sola pieza, ya que dos puntos cualesquiera de este encaje pueden estar siempre unidos por un hilo. Para verlo se puede proceder como sigue : los bordes de los triángulos que aparecen durante la construcción son conservados posteriormente. Ya que quedan inalterados se puede seguirlos, como hilos que circulan a lo largo de lados cada vez más cortos, y unir así dos puntos cualesquiera del encaje de Sierpiński.

Triángulo de Sierpinski

Siete iteraciones han sido efectuadas.

La alfombra de Sierpiński proviene de una construcción parecida a partir de un cuadrado. Aquí, el cuadrado debe ser dividido en $9$ cuadrados idénticos, y el del centro, retirado. La figura final se parece a esto :

Alfombra de Sierpinski

Solo cinco iteraciones del algoritmo han sido efectuadas.

Hemos visto que el triángulo de Sierpiński podía distinguirse del conjunto de Cantor por una propiedad de naturaleza topológica : el triángulo es de una sola pieza (es conexo) mientras que el conjunto de Cantor no. Igualmente se puede distinguir el triángulo de la alfombra, diciendo que el triángulo de Sierpiński puede ser separado en muchos componentes si se utiliza un número finito de puntos de recorte. Por ejemplo, se puede cortar el triángulo en las mitades de los lados iniciales para obtener tres partes separadas. Esto no es posible con la alfombra.

Omnipresencia

El conjunto de Cantor y la alfombra de Sierpiński son dos lindos ejemplos de fractales que a menudo son usados para ilustrar las dificultades que pueden aparecer en topología, o en teoría de la medida. Ambos están caracterizados por un pequeño número de propiedades, lo que los hace omnipresentes [7]. Así, la parte siguiente de la esfera ’’es’’ una alfombra de Sierpiński [8] que aparece en el campo de los sistemas dinámicos.

Alfombra de Sierpinski esférica (Curtis T. McMullen)

Y la historia no se detiene ahí. No puedo evitar de hacer publicidad a esta corta película de Mehrdad Garousi, al artículo de Romain Bondil, y al de Etienne Ghys y Jos Leys acerca de La curva de Menger. La figura siguiente, extraída de este artículo de Jos Leys, ilustra bien la extraña estética de esos objetos matemáticos.

Figura de Jos Leys titulada Kaleidoscopic IFS

El gran museo egipcio de El Cairo

Ahora bien, los faraones de El Cairo van a poder contemplar el triángulo de Sierpiński de aquí a algunos años. Los arquitectos del futuro ’’gran museo egipcio’’ concibieron efectivamente una fachada imponente que lo toma como motivo principal. Triángulos de Sierpiński van a ser tallados en una piedra translúcida para formar un muro de varios centenares de metros de largo, con una altura de 40 metros. Desafortunadamente, yo no pude determinar con exactitud qué había motivado esta elección del triángulo de Sierpiński para un museo en El Cairo, ni siquiera si los arquitectos conocían por anticipado este motivo geométrico, o si ellos encontraron las primeras etapas de su construcción por sí mismos. En el libro Mathématiques et Architecture , escrito por Jane y Mark Burry, se encuentra un pequeño pasaje de una conversación con François Archer, que forma parte del proyecto : ’’él no tenía ideas preconcebidas relativas a esta decisión. Son las propias grandes pirámides las que inspiraron la grandeza del gesto del muro y los primeros elementos geométricos de definición del edificio.’’ [9]

Vista artística del museo futuro

Imagen tomada desde el sitio web de la firma arquitectónica ’’heneghan peng architects’’.

Desgraciadamente, los arquitectos [10] no parecen haber encontrado un medio confiable para edificar un verdadero triángulo de Sierpiński. Al no poder iterar indefinidamente el proceso de construcción, se detuvieron en la sexta o séptima etapa del algoritmo, pero los faraones dormidos no deberían tener mucha dificultad para completar intelectualmente la construcción...

Maqueta del museo futuro

Imagen tomada desde el sitio web de la firma arquitectónica ’’heneghan peng architects’’.

Aquellos que deseen seguir los trabajos pueden dirigirse al sitio dedicado al museo :

  • La apertura está prevista para 2018.
  • Wacław Franciszek Sierpiński nació en 1882.
  • Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor nació en 1845.
  • La pirámide de Cheops fue construida en los alrededores de 2560 antes de Cristo.
Post-scriptum :

La redacción de Paisajes Matemático y el autor agradecen por su atenta lectura a los siguientes lectores : Julien Melleray, Christine Huyghe y Sébastien Martinez.

Article original édité par Serge Cantat

Notes

[1Georg Cantor es un matemático alemán, y el artículo en el cual él describe el conjunto que lleva su nombre hoy en día, es publicado en 1883 en los Mathematische Annalen. Wacław Sierpiński es un matemático polaco que vivió de 1882 a 1969 y la construcción de la alfombra de Sierpiński está contenida en un artículo en francés, publicado por la Academia de Ciencias en abril de 1916.

[2Seamos más precisos : se retira el interior del intervalo central, es decir, que las extremidades de este intervalo son conservadas, y pertenecen a los dos intervalos restantes.

[3Este conjunto no es numerable, es decir, no se puede enumerar sus puntos uno por uno como los naturales. Hay tantos elementos en el conjunto de Cantor como en el intervalo de inicio)

[4El triángulo de Sierpiński es llamado a menudo colador de Sierpiński ; se tiene por lo tanto el colador y la alfombra de Sierpiński.

[5Uno simplemente vacía el interior, dejando los bordes en los tres triángulos periféricos.

[6Para ser más exactos, en lugar de ’’pedazos’’ o ’’componentes’’ yo debería hablar aquí de ’’una infinidad de componentes conexas’’, noción matemática que permitiría precisar esta frase sin ambigüedad.

[7De este modo, todo espacio métrico compacto sin punto aislado y totalmente discontinuo es homeomorfo al conjunto de Cantor. Por otra parte, todo espacio métrico compacto es la imagen del conjunto de Cantor mediante una aplicación continua. Eso deja muchas palabras por definir, pero hay que estar convencido de que es ¡extremadamente útil y fácil de usar para el matemático ! La alfombra de Sierpiński puede ser caracterizada de manera similar (es una parte compacta del plano sin interior que es una curva : está continuamente parametrizada por el segmento $[0,1]$).

[8Por supuesto, este conjunto no es el mismo objeto geométrico que la alfombra de Sierpiński : uno está trazado sobre una esfera, el otro sobre un plano ; en un caso aparecen círculos, en el otro cuadrados. Pero hay una aplicación de la alfombra de Sierpiński sobre la alfombra esférica que es una biyección (cada punto de la alfombra esférica corresponde a un punto y sólo a uno del tapiz cuadrado, y recíprocamente) y que es continua (la correspondencia no produce ningún desgarro ; envía parejas de puntos cercanos sobre parejas de puntos cercanos).

[9Vea la obra Mathématiques et architecture, de Jane Burry y Mark Burry, publicada por ediciones Actes Sud (traducida del inglés al francés por Bruno Marmiroli, publicada en 2010).

[10Si comprendí bien, se trata de Shih-Fu Peng, asistido por Roisin Heneghan, Edel Tobin, Alicia Gomis-Perez, Arup, Buro Happold, Baretenbach l’chtlabor (estudio de arquitectos Heneghan Peng).

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «El gran museo egipcio de El Cairo» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

Crédits image :

Image à la une - Imagen extraida del sitio web del estudio de arquitectura « heneghan peng architects ».
Ensemble de Cantor - Wikipedia commons
Tapis de Sierpinski - wikimedia commons
Tapis de Sierpinski sphérique (Curtis T. McMullen) - Curtis T. McMullen, Gallery.
Figure de Jos Leys intitulée : Kaleidoscopic IFS. - Jos Leys, Gallery.

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