El método de Newton y su fractal

Piste rouge Le 18 avril 2009  - Ecrit par  Tan Lei
Le 24 février 2021  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : La méthode de Newton et son fractal Voir les commentaires
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En la vida corriente, los problemas matemáticos se modelan con frecuencia bajo la forma de ecuaciones. Resolver estos problemas pasa entonces por encontrar soluciones a esas ecuaciones.

Las dimensiones de una hoja de papel

Aquí hay un ejemplo : tomemos una hoja de papel A4 estándar. Su ancho es de $21$ cm (la redondeamos un poco para simplificar el cálculo [1]). Su largo varía entre $29$ cm y $30$ cm. ¿Cómo explicar esta relación ’’extraña’’ entre largo y ancho ?

En efecto, por razones económicas y estéticas, esta relación fue elegida para que después de ser plegado en dos, el papel mantenga la misma forma, es decir, la misma relación largo/ancho. Así, denotando $x$ la longitud de nuestra hoja A4, la relación longitud/ancho antes del plegado es de $x/21$. Después del plegado la nueva longitud es de $21$cm, y el nuevo ancho $x/2$, con una relación igual a $21/(x/2)$. La longitud $x$ de la hoja A4 es por lo tanto la solución de la ecuación
\[x/21=21/(x/2),\]
es decir $x^2=2\times 21^2$, o, aún mejor, $x=\sqrt{882}$.

Busque ahora $\sqrt{882}$ con la ayuda de una calculadora, y encontrará $29,\!698485$, que es la longitud en centímetros de nuestra hoja A4 (¡y esta es la razón por la que A4 es $21\times 29,\!7$ !).

Sin embargo, este valor con todos sus decimales es sólo una aproximación a $\sqrt{882}$, ya que este número real no es un número decimal [2], igual que $1/3=0,333333333...$, $\pi$, $\sqrt{2}$ que tampoco son números decimales. Una de las cuestiones entonces es buscar una buena aproximación de estos números a números decimales, en función de la forma en la cual están definidos. Este asunto no tiene gran interés para los números que son fracciones (como $1/3$), ya que el desarrollo decimal de un número así es siempre periódico (como el de $1/3$, para el cual el dígito $3$ se repite indefinidamente en el desarrollo).

La tecla ’’raíz cuadrada’’ no funciona

Imaginémonos que un día la tecla $\sqrt{\ }$ no funciona. O que uno necesita un valor aproximado con mucha más precisión. O incluso que uno se enfrenta a otro problema donde ninguna tecla de la calculadora nos puede dar la respuesta.

Afortunadamente, después de haber transformado esos problemas en ecuaciones, podemos usar un algoritmo iterativo inventado por el genial matemático y físico Isaac Newton (1642-1727).
Este método de Newton provee siempre soluciones aproximadas a las ecuaciones, y con tanta precisión como se necesite (vea el artículo original de Newton añadido al final de este artículo).

¿Qué es un ’’algoritmo iterativo’’ ? Simplemente consiste en repetir la misma operación matemática un gran número de veces. Escriba en una calculadora un número al azar, digamos $5$. Luego, presione -por ejemplo, una treintena de veces- la tecla $\sqrt{\ }$ (¡esperando que funcione la famosa tecla !).

Usted va a ver desfilar en la pantalla una sucesión de números decimales, y esos números se acercan cada vez más a $1$. Trate ahora con $0,\!001$ en lugar de $5$. ¿Qué observa ?

Lo que usted está tratando de hacer es iterar la operación ’’raíz cuadrada’’. Y esta iteración va a darle poco a poco aproximaciones cada vez más precisas al número $1$ (que no es interesante en sí).

Por supuesto, usted puede iterar otras operaciones, como $x^2$, $\mathrm{sen} (x)$ o $\cos (x)$, si su calculadora lo permite, variando siempre la elección del número de partida. Comprobará que iterar $x^2$ comenzando por $1,\!05$ o $0,\!95$ da resultados muy diferentes, mientras que iterar $\mathrm{sen}$ (o $\cos$) da siempre el mismo resultado final.

Personalmente, me asombré mucho cuando descubrí estos curiosos fenómenos. ¿Usted no ?

La ’’tecla’’ método de Newton

Entonces, ¿cuál es el método de Newton para encontrar soluciones cercanas de la ecuación $x^2-882=0$ ? Notemos $P(x)=x^2-882$ para simplificar la presentación (esto también hace que el método sea más conceptual).

Newton se dio cuenta de que basta con iterar la operación
\[ x-\frac{P(x)}{P'(x)}\]
(donde $P'$ designa la derivada de $P$), o sea
\[x-\frac{x^2-882}{2x},\]
o incluso
\[ \frac12 \left(x+ \frac{882}{x}\right).\]
Es como si la calculadora tuviera una tecla ’’$x-P(x)/P'(x)$’’ y uno presiona esa tecla un gran número de veces.

Vamos a ver un poco más adelante, en el párrafo [’’Soluciones y puntos fijos’’], la razón matemática para utilizar la fórmula precisa $ x-P(x)/P'(x)$ más que otra. Ahora contentémonos con hacer algunos experimentos numéricos.

Tratemos con $x=1$. Se obtiene, sucesivamente : \[1;\quad \frac12 \left(1+ \frac{882}{1}\right)=441,\!5;\quad \frac12 \left(441,5 + \frac{882}{441,\!5}\right)=221,\!749;\] luego $112,\!8632; \quad 60,\!339;\quad 37,\!4782;\quad 30,\!50594;\quad 29,\!70917;\quad 29,\!69849,\quad 29,\!69848,\ \ldots\ .$

Solamente después de algunos ensayos, uno ya está cerca de la verdadera solución $\sqrt{882}\approx 29,\!698485$. El método es muy eficaz... [3]
 [4]

Se podría mostrar que, comenzando por un número cualquiera cercano a $\sqrt{882}$ (en lugar del $x=1$ usado aquí), los valores obtenidos iterando el proceso siempre van a acercarse a $\sqrt{882}$.

Vamos ahora a probar este método con números complejos (explicaremos por qué al final de este párrafo), es decir, un número de la forma $x+iy$, con $i$ un número (imaginario) cuyo cuadrado es $-1$, y $x,y$ dos números reales habituales (vea la película Dimensions mencionada abajo para tener una explicación animada más detallada de los números complejos). El número $x$ es llamado la parte real, e
$y$ la parte imaginaria.

Un número así sería cercano a $\sqrt{882}$ si $x$ es cercano a $\sqrt{882}$ e
$y$ es cercano a $0$. En particular, los números imaginarios puros, es decir aquellos cuya parte real es nula (los de la forma $0+iy$), son muy lejanos de $\sqrt{882}$.

Hagamos la prueba con $i$ como valor inicial, esta vez con un lápiz sobre una hoja de papel (¡A4 por ejemplo !) en vez de una calculadora.

Coloquemos $i$ (en lugar de $x$) en la fórmula de Newton
\[\frac12 \left(x+ \frac{882}{x}\right).\]
Obtenemos
\[\frac12 \left( i+\frac{882}{i} \right) =\frac12 \left(i+\frac{882}{i\times i}i\right),\]
y, como $i^2=-1$, esto es
\[\frac12(i-882\,i)= -440,5 \,i.\]
Coloquemos de nuevo este último término (en el lugar de $x$) en la fórmula de Newton, y así sucesivamente. Eso nos da
$ -219,\!25\,i$, luego $ -251,\!227\,i$... Se ve que esos valores siguen siendo imaginarios puros, y por lo tanto no se acercarán nunca a nuestras soluciones $\pm \sqrt{882}$.

¿Qué sucedería si tomáramos como valor inicial otro número complejo $x+iy$ ?
No es muy difícil demostrar que, si $x$ es positivo, vamos a acercarnos a $\sqrt{882}$, y si por el contrario $x$ es negativo, vamos a acercarnos a $-\sqrt{882}$. La recta de números complejos imaginarios puros -que no es otra cosa que el eje de las $y$- es a la vez la mediatriz de dos soluciones, y la línea de separación de dos comportamientos diferentes de las series de valores iterativos. A su izquierda está la cuenca de atracción de la solución $-\sqrt{882}$ ; y a su derecha, la de $\sqrt{882}$.

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Cuenca de atracción del método de Newton para un polinomio de grado 2.

Entonces, ¿por qué partir de un número complejo si con uno real sería suficiente ? El punto es que, en otros problemas más complicados, uno puede caer en una ecuación cuya solución buscada no es real. Probar con valores iniciales que son números complejos permite, por lo tanto, localizar ese tipo de soluciones. Y esto no es todo. Ir de los reales a los complejos a la vez agranda nuestro campo de visión (como lo ilustran numerosos dibujos de abajo), y nos da acceso a potentes herramientas matemáticas concernientes al análisis complejo. Por otra parte, hay problemas matemáticos puramente reales que no han podido ser solucionados sino gracias a la utilización de los números complejos, lo que uno llama incluso ’’complejizar’’ el problema.

Con un polinomio de grado 3

Probemos ahora el método de Newton $ z-P(z)/P'(z)$ con un polinomio un poco más complicado :
\[ P(z)=\left(z-a+\frac12\right)\left(z+a+\frac12\right)(z-1).\]
Aquí $z$ denota un número complejo desconocido y $a$ es el número complejo $-0,\!00508+0,\!33136\,i$. De hecho, habríamos podido tomar un número complejo cualquiera para $a$, pero éste fue elegido específicamente para ilustrar luego la aparición del famoso conejo de Douady (vea el párrafo [’’Elección de $a$’’] más abajo).

Las soluciones de la ecuación $P(z)=0$ son 1, $-\frac12+a$ y $ -\frac12-a$. Uno podría creer ingenuamente que una especie de grafo separador jugaría el papel de la mediatriz (como en el caso anterior). Ese grafo separaría el plano en tres regiones, y un valor inicial (que es un número complejo) tomado en una región dada nos entregaría aproximaciones de la raíz del polinomio situada en esta región. Por ejemplo :

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¿Un grafo separador ?

Arthur Cayley (1821-1895) había intentado en vano justificar esta intuición (vea su artículo añadido abajo al final). Vamos de inmediato a comprender por qué.

Un experimento numérico

Hagamos un nuevo experimento numérico, reemplazando esta vez la calculadora por un computador.

Pongámonos en una ventana cuadrada del plano, digamos $-1,4

  • el pixel $z$ en azul si el resultado es un número complejo cercano a $1$,
  • en verde si es cercano a $-\frac12+a$,
  • en rojo si es cercano a $ -\frac12-a$...

Finalmente, coloreemos el pixel en negro si nada de eso ocurre.

Esto es lo que nuestro computador diseña :

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El fractal de Newton.

Así, más que un simple grafo separador, se ve aparecer un sorprendente ’’fractal’’ que divide al cuadrado en tres grandes lagos alrededor de cada solución, pero también en muchos pequeños lagos rojos, verdes o azules, que se entremezclan de manera muy complicada...

¡Ah ! ¡Si Cayley hubiera visto esto !

Observemos este fractal más de cerca. Este es un agrandamiento de la ventana $-0,22

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Zoom

El color negro indica el lugar de los valores de prueba iniciales ’’malos’’ : si se elige de partida un número complejo en el seno de esta parte, el método de Newton no acercará nunca a una solución de $P=0$.

Incluso si ese lugar es relativamente pequeño, se ve de todas maneras manchas atrapadas en su interior, especies de lagos negros (en términos matemáticos, el interior de este conjunto no es vacío). La presencia de esos lagos pone en duda la eficacia global del método de Newton.

Además, esos lagos negros no están en una parte aislada, bien delimitada, del plano. Por el contrario, se entremezclan por todas partes con los lagos rojos, verdes o azules.

Esto ilustra el fenómeno ’’caótico’’ de este método iterativo : partiendo de un punto de la frontera de uno de esos lagos, el mínimo error numérico nos hace pasar ya sea de una solución a otra, o hacia una trampa de color negro.

Es necesario decir que la presencia de esas manchas negras se debe a nuestra elección específica del número complejo $a$.

Eligiendo otro número para $a$, el fractal engendrado puede muy bien no tener manchas negras. Incluso uno puede predecir aproximadamente todas las elecciones de $a$ en las cuales eso se produce.

Una pregunta se plantea entonces : en esos casos ¿se puede afirmar que el método de Newton es al final globalmente eficaz ? Bueno, no es tan simple.

Hoy en día hay programas que producen valores ’’aleatorios’’, es decir, que imitan el azar. A uno le gustaría decir que la posibilidad de que un programa así produzca un número complejo negro es mínima, cuando no hay mancha negra en su interior [5]. Ahora bien, éste no siempre es el caso : para ciertas elecciones de $a$ no hay manchas negras (el interior del conjunto negro es vacío) ; sin embargo, la probabilidad de que otro punto elegido al azar sea negro no es nula [6].

Conejos

Tratemos ahora de comprender un poco mejor la estructura del fractal de Newton presentada arriba, calculado entonces con el número $a$ que elegimos antes.

  • La primera observación es que hay manchas negras por todas partes en la frontera de los lagos coloreados, y que etsas manchas son de tamaños muy variados.
  • La segunda es que todas estas manchas tienen una forma divertida : se parecen un poco a un conejo con dos orejas.

Adrien Douady (1935-2006) fue parte de los primeros matemáticos en observar eso. Él comprendió rápidamente que estos conejos provienen de la iteración de otra operación, esta vez más simple, la de
\[z^2+ (-0,\!12+0,\!75i).\]

Hagamos el experimento como él, coloreando un pixel en el cuadrado
$-1,45\le x,y\le 1,45$

  • en rojo si sus iterados con esta operación se escapan del cuadrado,
  • y en negro si no.

Éste es el resultado :

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El conejo de Douady.

Un parecido asombroso con el lugar negro que habíamos llamado ’’conejo’’, ¿cierto ? Ese fractal se llama el conejo de Douady.

Elección de $a$

Entonces, ¿por qué el fractal producido por la iteración del polinomio cuadrático de arriba aparece en nuestro fractal de Newton ?

Es debido a un fenómeno de renormalización, demostrado por Douady y Hubbard : para las buenas elecciones de $a$, y para el método de Newton asociado al polinomio
\[ P(z)=\left(z-a+\frac12\right)\left(z+a+\frac12\right)(z-1)\] (que depende de $a$), iterar un número par de veces -por ejemplo $2n$ veces- este método en una región cercana a $0$, equivale a iterar $n$ veces un polinomio cuadrático de la forma $z^2+c$ (donde $c$ depende de $a$). Por lo tanto, si uno quiere ver aparecer el fractal engendrado por un $c$ específico, por ejemplo el conejo de Douady, no queda más que ajustar el número $a$.

Entonces ¿cómo proceder exactamente ? Para eso hay que saber primero cómo producir el conejo de Douady. Vamos a ver que la elección de $c$, igual que la de $a$, es relativamente flexible.

Comencemos por iterar $z^2+c$ a partir de $z=0$. Obtenemos sucesivamente
\[0^2+c= c.\]
\[c^2+c,\]
\[(c^2+c)^2+c,\]
\[((c^2+c)^2+c)^2+c...\]

Según la teoría de Douady y Hubbard, para obtener un fractal que se asemeje a un conejo, hay que elegir un $c$ entre aquellos que entregan el tercer término de arriba relativamente pequeño, por lo tanto un $c$ cercano a una solución de la ecuación $(c^2+c)^2+c=0$.

Tratemos entonces de resolver esta ecuación. Dividiendo por $c$, ella se transforma en $c(c+1)^2+1=0$. Esta nueva ecuación tiene tres soluciones, y la que nos conviene aproximadamente es $-0,\!1225612+0,\!7448618i$. Escribámosla como $c_0$. Así, para toda elección de $c$ cercana a $c_0$, el tercer término de arriba es cercano a $0$, e iterar $z^2+c$ debería darnos un conejo. Nosotros elegimos uno al azar, específicamente $c=-0,\!12+0,\!75i$, ¡y funciona !

Volvamos al método de Newton. Esta vez hay que elegir un $a$ tal que el sexto iterado de $0$ por este método sea cercano a $0$. Hay $18$ valores de $a$ dando ese término del sexto iterado nulo, y el que nos conviene es aproximadamente $-0,\!0051054+0,\!3313825i$. Escribámoslo como $a_0$.
Así, cualquier elección de $a$ cercano a $a_0$ debería darnos un fractal de Newton con conejos saltando adentro. Ahí elegimos de nuevo uno al azar, específicamente $a=-0,\!00508+0,\!33136i$. Y lindos conejos aparecen de hecho en nuestro fractal.

(A modo de información, el sexto iterado de $0$ para esta elección de $a$ es $-0,\!0001958-0,\!0005808i$.)

Costuras y emparejamientos

Esta relación con los conejos no explica aún toda la estructura del lugar negro. Falta todavía comprender cómo esos múltiples conejos están ligados unos con otros.

De hecho, aunque no sea del todo evidente a ojo desnudo, ese fractal fue obtenido recosiendo dos fractales más simples, y por lo tanto más fáciles de comprender. Pero nosotros no vamos a entrar en los detalles aquí. Nos contentaremos sólo con ilustrar esos dos fractales, así como la costura.

Éste es el primer fractal, proveniente de la iteración de
\[Q(z)=z^3+(1,\!503-0,\!8046\,i)z^2.\]
Ese fractal se llama « conjunto de Julia » de $Q$. Usted se dará cuenta que ahí ya están presentes múltiples conejos.

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Ensemble de Julia d’un polynôme de degré 3, avec lapin

Y éste es el segundo, proveniente de la iteración de
\[z^3+(2,\!12i)z^2.\]

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Citron

Ahora hagamos girar nuestro fractal de Newton en $90^\circ$ para visualizar mejor la costura :

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Le fractal de Newton

Aquí está finalmente la costura en video (película realizada por Arnaud Chéritat),
primero en el plano :

luego sobre una esfera [7]) :

La teoría tras esta costura ha sido conocida desde 1997 (vea acá abajo las referencias matemáticas). Pero la ilustración en película presenta grandes dificultades técnicas, de naturaleza informática y a la vez matemática. Arnaud Chéritat debió superar todas esas dificultades con el fin de realizar estos notables videos para nosotros. Le estoy muy agradecida.

A la pasada, ese procedimiento de costura fue llamado con humor « emparejamiento » por Adrien Douady.

Soluciones y puntos fijos

Tratemos ahora de comprender por qué el método de Newton se estabiliza en una cierta solución $r$ de la ecuación $P(z)=0$ (para un $P$ cualquiera).

Para eso reemplacemos $z$ por una solución tal $r$ en $z-P(z)/P'(z)$. Observamos que
\[r-\frac{P(r)}{P'(r)}=r-\frac{0}{P'(r)}=r.\]

Eso quiere decir que hacer funcionar el método de Newton no cambia el valor $r$ : si usted tecleó $r$ como valor inicial, puede presionar sobre la tecla ’’’método de Newton’’ tanto como quiera y obtendrá siempre $r$.

En términos matemáticos, $r$ es un punto fijo. Lo que hemos hecho es un ejemplo de un método bastante común en matemática : se transforma la resolución de una ecuación en la búsqueda de un punto fijo de una operación adaptada.

Pero uno podría haber elegido una operación más simple. Por ejemplo, la tecla ’’$z-P(z)$’’, que reemplaza $z$ por $z-P(z)$ : por supuesto si $r$ es una solución de $P(z)=0$, presionar esa tecla producirá siempre $r$. Entonces ¿por qué elegir una operación tan complicada como la de Newton, que incluye la división por la derivada ?

Bueno, es para acercar el grafo del polinomio $P$ a una recta (la tangente) $f(z)=(z-z_0)P'(z_0)+P(z_0)$.

Esta función $f$ admite el mismo valor y la misma derivada en $z_0$ que el polinomio $P$. Se puede entonces imaginar que la solución de $f(z)=0$ es cercana a la de $P(z)=0$. La ecuación $f(z)=0$ es tan simple que puede resolverse directamente, es decir,
\[z=z_0-\frac{P(z_0)}{P'(z_0)}.\]
¡De ahí viene la división por la derivada !

La relación entre la solución de $P=0$ y la de $f=0$ se ve fácilmente en una figura (aquí en el caso real) :

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Relación con la tangente.

Vayamos un poco más lejos en nuestra comprensión : ¿por qué la iteración del método de Newton entrega valores que se acercan cada vez más a una solución $r$ (si se partió de un valor tan cercano), y eso de manera extremadamente rápida ?

Para comprender esto :

  • calculemos la derivada de la operación
    \[z-\frac{P(z)}{P'(z)},\]
    que nos da
    \[\frac{P(z)P''(z)}{P'(z)^2};\]
  • reemplazemos $z$ por la solución $r$ en esta expresión : la derivada se anula también en $r$.

El método de Newton no solamente deja el valor $r$ invariante, sino que además admite una derivada nula. Se dice que $r$ es un punto fijo súper-atractivo. Esta terminología ilustra el hecho de que la solución $r$ atrae hacia ella, con todas sus fuerzas, los valores vecinos.

Pero, ¿por qué la velocidad de convergencia tiene una relación con el hecho de que la derivada se anule en $r$ ?

Podemos tratar de comprender esto considerando un ejemplo más simple, pero típico de este tipo de situación. Tomemos la operación ’’elevar un número al cuadrado’’, es decir, ’’$x^2$’’. El valor $0$ es fijo ($0^2=0$ !), y la derivada ($2x$) es nula en $0$. El valor $0$ es, por lo tanto, un punto fijo súper-atractivo.

Hagamos ahora una prueba (con una calculadora, por ejemplo) de la velocidad de convergencia tomando $0,\!5$ como valor inicial. Obtenemos :

\[0,\!5;\quad 0,\!25;\quad 0,\!0625;\quad 0,\!00390625;\quad 0,\!00001525878;\]
\[0,\!00000000023283;\quad 0,\!00000000000000000005421; \quad\ldots\]

En dos palabras, el número de ceros después de la coma se duplica con cada iteración. Rápido, ¿cierto ? Por ejemplo, usted puede compararlo con la iteración después de la operación ’’dividir un número por $100$’’, es decir, ’’$x/100$’’ (que tiene una derivada no nula en $1/100$). ¿Cuál de las dos va más rápido ?

Grafo separador

¿Y dónde entra en todo esto la historia de un grafo que separa las tres soluciones de un polinomio (cualquiera) $P(z)$ de grado 3 ? Una idea tan natural... quizás a usted no le dé ganas de abandonarla totalmente.

Bueno, tiene razón. Para verla, volvamos a añadir un factor $h$ delante del término $P(z)/P’(z)$. Nuestra ’’tecla método de Newton’’ se convierte entonces en
\[z-h\frac{P(z)}{P’(z)}.\]
Ese factor va a modificar la velocidad a la cual el método de Newton permite acercarse a una raíz de $P$. Mientras $h$ es más pequeño, menor es la velocidad.

Fabricamos así toda una familia de ’’fractales de Newton’’, uno por cada valor de $h$. Cuando $h$ decrece, volviéndose cada vez más pequeño, esos fractales se transforman progresivamente en un grafo. Este grafo separa el plano en tres regiones, cada una de las cuales contiene una solución de $P(z)=0$. ¡Finalmente hemos encontrado el grafo separador que buscaba Cayley !

Esto es lo que sucede con nuestro $P(z)$ específico, es decir,
\[ P(z)=\left(z-a+\frac12\right)\left(z+a+\frac12\right)(z-1),\]
con $a=-0,\!00508+0,\!33136\,i$ :

Lo que es sorprendente es que este grafo no tiene para nada el aspecto que uno imaginaba, o sea, un grafo con tres ramas reencontrándose en un punto. Esto se debe al hecho de que el número complejo $a$ que elegimos tiene una parte real no nula. Si uno suprimiera esta parte real, sí encontraría un grafo con tres ramas reencontrándose en un punto. Como contrapartida, uno no habría obtenido los múltiples conejos del inicio.

El campo de Newton

Pero... el algoritmo de Newton, ¿tiene aún sentido cuando $h$ se vuelve infinitamente pequeño ?

Bueno, sí. Pero esta vez, hay que considerar el campo de vectores de Newton : en cada punto $z$ del plano, uno planta un vector de dirección $ -P(z)/P’(z)$. Siguiendo las direcciones indicadas por esos vectores se obtiene tres oleadas (como las oleadas en el agua), que corren cada una hacia una solución. Y la frontera entre esas tres cuencas no es otra que el grafo separador.

Este hecho es válido para cualquier elección del número $a$. Ésta es una ilustración para nuestro $a$ específico :

Un poco de historia

Terminemos con un poco de historia : esta rama de las matemáticas se llama iteración de fracciones racionales, una teoría fundada (bastante después de Newton) en los años1900-1920 por Pierre Fatou (1878-1929) y Gaston Julia (1893-1978). Esos fractales ’’de Newton’’ son llamados, por otra parte, Conjuntos de Julia.

Esta teoría ha conocido un desarrollo floreciente desde 1980, en parte gracias a la llegada de potentes herramientas informáticas y matemáticas. Esos dos tipos de herramientas interactúan a veces de manera complicada para permitir por turno observar, demostrar e ilustrar fenómenos matemáticos.

Las primeras imágenes de los fractales de Newton realizadas por computadores datan probablemente de la primavera de 1977, un año antes de la muerte de Julia [8]. Michèle Audin me señaló que Julia había dibujado, desde 1917, un Conjunto de Julia, parecido al limón presentado aquí [9].

Aquí, dos documentos históricos :

  • el primero es de Newton (¡en francés, traducido por Buffon !) ; se trata de la primera ecuación de la historia tratada por el método de Newton es una ecuación de grado 3 :
    \[y^3-2y-5=0,\]
  • el otro es de Cayley, donde él explica que no sabe cortar el plano en tres partes que serían los campos de atracción de tres soluciones.
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Referencias matemáticas

Tan Lei (Editor), The Mandelbrot Set, Theme and Variations, Cambridge University Press, 2000.

Para imágenes y resultados históricos, vea por ejemplo :
J. H. Curry, L. Garnett et D. Sullivan, On the iteration of a rational function : Computer experiments with Newton’s method, Communications in Mathematical Physics, Volume 91, Number 2 / June, 1983, pages 267-277.

Para la aparición del conejo en un fractal de Newton, vea A. Douady et J. H. Hubbard, On the dynamics of polynomial-like mappings, Annales scientifiques de l’École normale supérieure, 1985, vol. 18, no. 2, pages 287-343.

Para las costuras y emparejamientos, vea Tan L., Branched coverings and cubic Newton maps, Fundamenta Mathematicae, 154 (1997), pages 207-260.

Para profundizar más, vea P. Roesch, On local connectivity for the Julia set of rational maps : Newton’s famous example, Annals of Mathematics. Second Series , Vol. 168, N. 1, pages 127-174 (2008).

Para la vinculación entre el grafo separador y el campo de vectores de Newton, vea M. Flexor et P. Sentenac, Algorithmes de Newton généralisés,
CRAS 308, no.14, 1989, pages 445-448.

Para otras animaciones de emparejamientos de polinomios, vea la página web de Arnaud Chéritat.

Los conjuntos de Julia presentados en este artículo han sido diseñados con ayuda del programa It de Christian Mannes, http://www.mannes-tech.com.

Article original édité par Étienne Ghys

Notes

[1Todas las hojas de papel, de formato A0, A1, A2, A3, A4,... tienen la misma forma (sus largos y anchos están en la misma proporción) y la hoja A0 tiene una superficie de un metro cuadrado.

[2Es decir, para escribirlo, es necesaria una infinidad de dígitos después de la coma.

[3De hecho en ese caso en especial -a saber, el cálculo de la raíz cuadrada de $a$-, el método era conocido por los babilonios : consiste en iterar \[x\mapsto \frac{1}{2}\left(x+\frac{a}{x}\right).\]

[4Hay otros métodos iterativos para encontrar la raíz cuadrada de un número. Vea por ejemplo el artículo de Hodgson.

[5En términos matemáticos, eso sería decir que el lugar negro es de medida de Lebesgue nula.

[6Según Xavier Buff y Arnaud Chéritat, Conjuntos de Julia cuadráticos de medida de Lebesgue estrictamente positiva, Comptes Rendus Mathématiques, 2005, no. 341/11, pages 669-674.

[7La esfera está ligada al plano por una proyección estereográfica, vea una linda imagen de proyección estereográfica (en este sitio). Para la proyección estereográfica, los números complejos y otras informaciones, vea la película Dimensions de Jos Leys, Étienne Ghys y Aurélien Alvarez.

[8Según el relato de J. H. Hubbard, en su prefacio del libro editado por el autor sobre el conjunto de Mandelbrot (vea las referencias matemáticas).

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «El método de Newton y su fractal» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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