El teorema de Bennequin I

Piste rouge Le 20 décembre 2010  - Ecrit par  Patrick Massot
Le 20 décembre 2010  - Traduit par  Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier
Article original : Le théorème de Bennequin I Voir les commentaires
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’’Hacer matemáticas es dar el mismo nombre a cosas diferentes.’’

Con esta frase, ya discutida en el artículo Igualdad de Étienne Ghys, el matemático francés Henri Poincaré explicaba que una gran fuerza de las matemáticas consiste en hacer emerger estructuras y propiedades comunes en problemas y objetos en apariencia dispares. Así se puede a menudo resolver muchas preguntas de una sola vez, dejando de lado cierto número de características para concentrarse en lo esencial. Por ejemplo, cuando se aplica a un triángulo en especial un teorema relativo a todos los triángulos, uno olvida todas las características individuales de ese triángulo (longitud de sus lados, ángulos...), no se le distingue de los demás triángulos, sino que solo se retiene que tiene tres lados. Cuando uno se permite igualmente considerar como similares una amplia clase de objetos, a veces no es evidente saber cuáles características son conservadas.

Pero, si uno deja de lado muchas características, ¿cómo distinguir dos cosas que son verdaderamente distintas ?

El objetivo de este artículo es ilustrar esta dificultad con dos ejemplos que actualmente son objeto de numerosas investigaciones. Esos dos ejemplos forman parte del vasto mundo de la topología, el campo de las matemáticas donde uno considera como iguales dos cosas que se pueden deformar una en otra.

Vamos a describir un teorema fundamental que data de 1982, cuyo autor es Daniel Bennequin, profesor de la Universidad de París 7.

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Daniel Bennequin

Deformaciones del espacio

Consideremos deformaciones del plano o del espacio. Se trata de desplazamientos bastante arbitrarios del conjunto de los puntos del plano o del espacio, pero bajo la restricción de que dos puntos distintos permanezcan distintos. Uno puede imaginar un plano en tejido elástico (stretch o lycra por ejemplo) que se pueda deformar. La trama del tejido se deforma como en el siguiente ejemplo :

Toda figura geométrica en el plano es arrastrada por la deformación :

Se puede entonces mirar el efecto de una deformación del plano sobre las curvas que forman una figura, independientemente del efecto de la deformación sobre las demás curvas.

Insistamos en que las deformaciones del plano consideradas no están autorizadas a rasgarlo ni a unirle partes distantes. En consecuencia, las curvas afectadas por esta deformación nunca son cortadas ni pegadas.

De manera análoga, una curva en el espacio es modificada por una deformación de este, sin ser jamás cortada o pegada.

A una curva en el espacio que se cierra, como en la animación anterior, los matemáticos la llaman nudo. El nudo que uno ve al final de la animación es tan simple que se le llama el nudo trivial.

Si se considera que dos nudos en el espacio son equivalentes cuando existe una deformación del espacio que transforma a uno en el otro, entonces puede ser difícil afirmar con seguridad que dos nudos no son equivalentes. Por ejemplo, ¿qué pensar de los dos ejemplos siguientes ?

Le nœud de trèfle Un autre nœud ?

De hecho, uno puede encontrar una deformación y es agradable reflexionar al respecto antes de mirar la siguiente animación.

Las dos imágenes anteriores muestran de hecho dos nudos equivalentes. Se les puede dar por tanto el mismo nombre (inspirado por la primera imagen) : el nudo de trébol.

Este ejemplo muestra que no es del todo fácil poner el dedo sobre una propiedad de un nudo que no cambie cuando se deforme el espacio.

El primer nudo que mostramos, el nudo trivial, es completamente notable ya que se trata del borde de un disco. Cuando ese nudo es transformado por una deformación del espacio, el disco también lo es, y siempre se tiene un nudo al borde de un disco ; esto incluso si ese disco está deformado, como la muestra la siguiente animación.

Así, mostrar que un nudo de trébol no puede ser transformado en nudo trivial por una deformación del espacio equivale a mostrar que no es el borde de un disco, incluso transformado.

Campos de planos

Vamos a considerar ahora el efecto de deformación del plano o del espacio sobre objetos un poco más complicados : campos de planos.

Para comprender estos objetos, se puede ver -de una manera idealizada- un campo de trigo como un plano, y en cada uno de los puntos del plano una espiga de trigo plantada. En física uno encuentra muy rápidamente la noción análoga de campo de vectores, que es el dato de un vector atado a cada punto del plano o del espacio.

Por supuesto, tal como las espigas de trigo en campos verdaderos no están presentes en todos los puntos del suelo, uno no puede dibujar todos los vectores de un campo de vectores. Se dibuja por lo tanto una muestra, como en la siguiente figura, que representa el campo magnético creado por un imán.

Vamos a interesarnos aquí en la noción cercana de campo de planos en el espacio. Un campo de planos es el dato de un plano atado a cada punto del espacio. Se puede dibujar una parte (digamos un disco) de planos unidos a una muestra de puntos. En el ejemplo siguiente se comienza por una muestra de puntos que están todos a la misma altura en el espacio.

Un champ de plans simple

En la siguiente imagen se ha representado una muestra de planos en tres altitudes diferentes, cambiando ligeramente de color para cada altitud. Pese a ese cambio, se pierde un poco de legibilidad en relación a una muestra en altitud constante. Basta por lo tanto con retener que la imagen anterior muestra un campo de planos que es el mismo para todas las alturas.

Expliquemos ahora cómo un campo de planos reacciona ante una deformación del espacio. Cada uno de los planos es enviado sobre una superficie que no es necesariamente un plano, pero que uno puede enderezarla en un plano. La siguiente animación muestra tal deformación. Ahí se ve una muestra de planos sobre los brazos de una estrella. La estrella y el campo de planos están transformados por una deformación del espacio.

¿Cómo mostrar que dos campos de planos no están ligados por una deformación del espacio ?

Se ha introducido una clase de objetos, los campos de planos, y una relación entre ellos : se dice que dos campos de planos son equivalentes si existe una deformación del espacio que envía a uno sobre el otro. Así, todos los campos de planos de la animación anterior son equivalentes.

La pregunta que nos interesa es entonces : ¿cómo se puede garantizar que dos campos de planos dados no son equivalentes ?

Un fenómeno local : la integrabilidad

Se comenzó el estudio de los nudos diferenciando el nudo más simple (el nudo trivial) de otro (por ejemplo el nudo de trébol) y encontrando una propiedad característica del nudo trivial (ser el borde de un disco torcido). Vamos a ver cómo distinguir el campo de planos de abajo, el más simple, de algunos otros, buscando una propiedad especial.

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Un champ de plans simple
Un campo de planos simple

Las propiedades locales de un campo de planos son, por definición, las propiedades que uno observa, cualquiera que sea la escala a la cual se mira. En el caso de la figura anterior, una propiedad local notable es la existencia de superficies tangentes al campo de planos en todas partes, como la superficie verde de la figura siguiente :

Surface intégrale d'un champ de plans

Se dice que este campo de planos es integrable. Esta propiedad es invariante por deformación del espacio. En efecto, si uno deforma el espacio, el campo de planos se deforma y la superficie también. La superficie deformada es tangente al campo de planos deformado casi por definición de la manera en la cual una deformación del espacio arrastra una deformación de los campos de planos.

Por ejemplo, aquí está en efecto de una deformación simple sobre el caso anterior.

Esta propiedad de integrabilidad no es verificada por el campo de planos de la figura siguiente :

Un champ de plans sans surface intégrale

En efecto, toda superficie que pasa por el centro de la imagen y es tangente al campo de planos en ese punto debe ser horizontal ahí. Si se trata de imaginar luego a qué se parece la superficie encima de un pequeño círculo alrededor de ese punto, se llega a la paradoja siguiente : la superficie debe subir a medida que se la da vuelta alrededor del centro y por lo tanto no puede cerrarse.

Es importante comentar que esta distinción entre los campos de planos integrables y no integrables en el espacio no tiene nada de análoga con los campos de rectas en un plano. Un campo de recta sobre un plano o sobre una superficie más general es el dato de una recta atada en cada punto. Para todo punto del plano existe siempre una curva que pasa por ese punto y es tangente por todas partes al campo de rectas.

Un fenómeno global : el disco enroscado

La integrabilidad es un fenómeno local que asegura a veces que dos campos de planos no están ligados por una deformación del espacio, ni siquiera en una pequeña zona alrededor de ese punto. Se puede mostrar que ningún fenómeno local impide a los dos campos siguientes poder deformables uno en el otro.

La estructura común a estos dos ejemplos es la siguiente. Primero, ambos son invariantes por desplazamiento vertical. Por lo tanto, se ha representado las muestras a altitud constante. Al pasar el largo del eje vertical por el centro de la figura, los dos ejemplos son perpendiculares a este eje. Por otra parte, todos los radios perpendiculares al eje son tangentes a los dos campos de planos. La única diferencia entre esos dos ejemplos es que el de la derecha gira más rápido cuando se aleja del eje a lo largo de un radio. Mientras que ninguno de los planos de la izquierda es vertical, el campo de planos de la derecha efectúa un gran número de vueltas a lo largo de cada radio.

De hecho, alrededor de cada punto del espacio existe una pequeña zona en la cual los dos campos de planos pueden ser deformados uno en el otro. El teorema de Bennequin (1982) afirma que, sin embargo, no existe deformación de todo el espacio que transforme globalmente esos campos de planos uno en el otro.

Más exactamente, hay una obstrucción global a esta deformación. En la siguiente figura se ve un disco que es tangente al campo de planos al centro y a lo largo del borde (pero no en todas partes, ya que ese campo de planos no es integrable). Se dice que el plano está enroscado.

Un disque vrillé

Se trata de un fenómeno global y no local, ya que si se observa el campo de planos a muy pequeña escala, no se ve ningún disco enroscado.

Bennequin mostró que no existe ningún disco de ese tipo, incluso deformado, donde ningún plano sea vertical. Es análogo, pero mucho más difícil, a la ausencia de disco deformado cuyo borde es un nudo de trébol. En efecto, incluso si -por construcción- no hay disco enroscado que sea perfectamente horizontal, es muy difícil mostrar que ningún disco deformado está enroscado.

Esta dificultad es objeto de la continuación de este artículo : El teorema de Bennequin II

Post-scriptum :

La redacción de Images des Maths, así como el autor, agradecen por su atenta relectura a los relectores cuyos seudónimos son chil, vernicos, Gilles Damamme, Ilies Zidane, Etienne Bernard y Chloé.

Article original édité par Frédéric Le Roux

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «El teorema de Bennequin I» — Images des Mathématiques, CNRS, 2010

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