El teorema de Bennequin II

Piste noire Le 22 décembre 2010  - Ecrit par  Patrick Massot
Le 11 janvier 2022  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Le théorème de Bennequin II Voir les commentaires
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Este artículo es la continuación del artículo El teorema de Bennequin I que presentaba el enunciado del teorema de Bennequin. En esta continuación, necesariamente más difícil, presentamos algunas ideas que sostienen una demostración de este teorema. Esta demostración no es la que publicó Daniel Bennequin en 1982, sino la que presentó Emmanuel Giroux en 2000.

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Emmanuel Giroux
Directeur de recherche CNRS à l’ENS Lyon

De hecho existen varias otras demostraciones, pero todas las demás necesitan herramientas más complicadas y un paso por objetos en 4 dimensiones. La riqueza de los enfoques posibles de este teorema es, como a menudo en matemáticas, un signo de su profundidad.

Recordemos que el objetivo es mostrar que los dos campos de planos siguientes no están unidos por ninguna deformación del espacio.

La estructura común a esos dos ejemplos es la siguiente. Primero, ambos son invariantes por desplazamiento vertical, por lo tanto se ha representado muestras a altitud constante. Al pasar el largo del eje vertical por el centro de la figura, ambos ejemplos son perpendiculares a este eje. Por otra parte, todos los radios perpendiculares al eje son tangentes a los dos campos de planos. La única diferencia entre estos dos ejemplos es que el de la derecha gira más rápido cuando se aleja del eje a lo largo de un radio. Mientras ninguno de los planos de la izquierda es vertical, el campo de planos de la derecha efectúa un gran números de vueltas a lo largo de cada radio.
Se dirá que el primero es estándar, mientras que el segundo es enroscado.

Fórmulas para esos campos de planos

Para quienes adoran las fórmulas, se puede describir estos ejemplos de la siguiente manera. Para el de la izquierda, en un punto del espacio de coordenadas cilíndricas $(r, \theta, z)$, los vectores de coordenadas cilíndricas $(u, v, w)$ que forman parte del plano son las soluciones de la ecuación $w + r^2v = 0$. Para el de la derecha, se puede reemplazar esta ecuación por $cos(r)w + rsin(r)v = 0$.

Se puede comentar que, en ambos casos, la ecuación no hace intervenir la coordenada $z$ del punto, de acuerdo con la invarianza por desplazamiento vertical de los ejemplos. Tampoco hace intervenir la coordenada radial $u$ del vector, de acuerdo con el hecho de que todos los radios que parten del eje de las coordenadas son tangentes a los campos de planos.

Estas fórmulas, reclamadas por algunos relectores, efectivamente pueden ayudar a asegurarse de que uno ha comprendido bien los ejemplos, pero no son utilizadas en absoluto en la demostración, que es puramente geométrica.

Foliaciones características

Tal como la demostración original de Bennequin, la demostración de Emmanuel Giroux en 2000 está basada en un barrido del espacio por superficies. Consideremos una superficie en el espacio. En cada punto de la superficie tenemos ahora dos planos : el de nuestro campo de planos y el plano tangente a la superficie (es decir, el plano que está lo más próximo posible a la superficie cerca del punto considerado). La mayoría del tiempo esos dos planos son diferentes y se intersectan a lo largo de una recta, como en la siguiente figura.

Se obtiene así un campo de rectas tangente a la superficie. En la siguiente imagen se han dibujado algunos planos y algunas rectas. Hay que imaginar por supuesto que en cada punto de la superficie hay un plano y una recta.

Como se explicó en la parte referida a los campos de planos integrables del artículo anterior, todo campo de rectas sobre una superficie es tangente a una familia de curvas. Cuando por accidente el campo de planos ambiente es tangente a la superficie, se reemplaza esas curvas por un punto, ya que no hay dirección privilegiada. En la figura siguiente se ha dibujado algunas curvas en verde (y azul) y un punto accidental en rojo.

Se dice que uno ha trazado la foliación característica en relación al campo de planos ambiente. La palabra foliación viene del hecho de que las curvas trazadas están dispuestas lado a lado sobre la superficie, como las hojas de papel apiladas. Además, esas curvas son llamadas hojas.

A lo largo de la curva azul, el campo de planos es perfectamente horizontal, lo que permite a la curva azul cerrarse como una circunferencia. Las curvas verdes, a su vez, no se cierran. Algunas van de un accidente a una curva cerrada, otras incluso forman espiral entre dos hojas cerradas. De modo general, las hojas cerradas serán dibujadas en azul o en rosado (según una distinción introducida más adelante) y las otras hojas en verde.

Al final de este artículo se omitirá dibujar el campo de planos para concentrarse en las foliaciones, como en el siguiente dibujo.

Rotación de tipo mano izquierda

Se ha visto que un campo de planos deja sobre toda superficie una foliación. Cuando hay una familia de superficies apiladas, se obtiene una familia de foliaciones que Giroux llama una película.

Uno puede valerse de esto para refinar un poco la discusión de la existencia o no de superficies tangentes al campo de planos. En una pequeña zona alrededor de un punto del espacio se consideran los siguientes ingredientes :

  • una familia de curvas apretadas unas contra otras, como un frasco de espárragos verdes, y tangentes al campo de planos ;
  • una familia de superficies apiladas como un mazo de cartas y traspasadas por el frasco de espárragos.

En la siguiente figura, los espárragos son verticales y las cartas son horizontales.

Se puede demostrar que siempre hay tales ingredientes, aunque haya que torcer y girar la situación, por ejemplo colocando los espárragos horizontales y las cartas verticales. Se observa entonces la película correspondiente al campo de planos y a las superficies apiladas. Si el campo de planos no es integrable, entonces las foliaciones observadas giran alrededor de los espárragos. Hay dos sentidos posibles de rotación. Uno puede hacer la prueba con las dos manos ligeramente cerradas. Se apunta cada pulgar en la dirección de los espárragos y se ve si el campo de rectas dibujado sobre la superficie sigue la dirección de los dedos de la mano izquierda o de la mano derecha. En la siguiente figura, la rotación es de tipo mano izquierda, ya que el campo de rectas negras gira en el sentido indicado por la mano izquierda dibujada.

El tipo de rotación no depende del sentido de trayectoria de los espárragos, como lo muestra la siguiente figura donde el pulgar apunta hacia el otro lado. Pero cuando uno se desplaza en el sentido indicado por el pulgar, el campo de rectas gira siempre en el sentido indicado por los otros dedos.

El tipo de rotación de un campo de planos no integrable es el mismo alrededor de todo punto del espacio, y se muestra fácilmente que no existe deformación del espacio que transforme un tipo de rotación en otra. Hemos encontrado, por lo tanto, una nueva característica local que refina la noción de campo de planos no integrable. En los dos ejemplos distinguidos por el teorema de Bennequin tenemos una rotación de tipo mano izquierda. No hemos avanzado tanto como para distinguirlos, pero será bueno conocer ese tipo de rotación común para lo que viene más adelante.

Películas de foliaciones características

Ahora vamos a utilizar películas más interesantes. Veamos, por ejemplo, la película impresa por el primer campo de planos que nos interesa sobre la familia de esferas centradas en el origen de nuestro espacio.

Estas películas no deben ser confundidas con las animaciones de deformaciones de campos de planos. Aquí es la superficie la que se modifica, pero el campo de planos es siempre el mismo. En las películas siguientes se omitirá a menudo dibujar el campo de planos, para concentrarse únicamente en la película de foliaciones, dibujando ya sea el campo de rectas o las curvas. Cuando se representa las rectas, a menudo es cómodo mostrar la película sobre una superficie fija, como en la versión de acá abajo :

La familia de curvas correspondientes, representadas sobre las esferas crecientes es

El lema de nacimiento/muerte

Como se anunció en la primera parte, la propiedad característica del campo de planos enroscado que uno va a utilizar es la presencia de un disco enroscado. Su influencia sobre la película es la aparición de hojas cerradas. Estudiemos por lo tanto más de cerca esas hojas cerradas. Existen dos tipos que uno puede describir aproximadamente, según el comportamiento de las hojas vecinas. Para toda familia cerrada uno puede elegir arbitrariamente un sentido de trayectoria, y luego recorrer las hojas vecinas en el mismo sentido. Si todas las hojas vecinas se alejan de la hoja cerrada, o bien si todas se acercan, entonces se dice que la hoja cerrada es no degenerada. Este es el caso de las dos hojas cerradas (en azul) del ejemplo siguiente (ya mostrado más arriba). Si uno elige recorrer las hojas azules en el sentido de las agujas del reloj, entonces todas las hojas vecinas se acercan.

Si el comportamiento de las hojas vecinas depende del lado del cual uno se encuentra en relación a la hoja cerrada, entonces se dice que esta última es degenerada y será dibujada en rosado. En ese caso se le atribuye un signo : se dice que es positiva si las hojas vecinas de la derecha se acercan, y negativa si las que se acercan son las de la izquierda. Uno ve entonces que siempre las hojas vecinas tienen casi la misma dirección que la hoja cerrada, lo que hace difícil su dibujo. Entonces es preferible dibujar el campo de rectas correspondiente. En el siguiente dibujo la hoja cerrada es horizontal (y rosada) y las rectas vecinas a esta hoja son casi horizontales, pero de pendiente estrictamente positiva. El signo atribuido es positivo.

El lector puede verificar que ese signo no depende del sentido de trayectoria elegido [1].

En la película del campo de planos enroscado (la penúltima animación de arriba) se comprueba que las hojas cerradas aparecen de la siguiente manera :

  • primero, no hay hoja cerrada :
  • luego, una hoja degenerada aparece exactamente sobre una superficie :
  • después, esta hoja se escinde en dos hojas no degeneradas :

Ahora usted puede mirar de nuevo las dos últimas animaciones de la sección anterior, donde este fenómeno es bien visible.

Se podría observar también en otros ejemplos la desaparición de dos hojas no degeneradas a través de una hoja degenerada. Emmanuel Giroux mostró que cada vez que una película proveniente de un campo de planos que no es integrable presenta una hoja cerrada degenerada, esta marca el nacimiento o la muerte de dos hojas cerradas no degeneradas. Ahí no puede haber persistencia de una hoja degenerada. Fíjese bien que esta persistencia es del todo posible para un campo de planos integrable.

Pero sobre todo, él mostró que el tipo de rotación del campo de planos y el signo de la hoja degenerada indica el destino de dos hojas no degeneradas. Una rotación de tipo mano izquierda es un nacimiento para las hojas positivas y una muerte si no.

Una explicación del lema de nacimiento/muerte

Tratemos de comprender esto con nuestro dibujo de la hoja cerrada degenerada :

Cerca de la hoja cerrada, las rectas negras están casi horizontales, con una pendiente muy ligeramente positiva (eso a ambos lados de la hoja cerrada). Ya que el campo de planos tiene una rotación de tipo mano izquierda, esas pendientes van a disminuir durante el desarrollo de la película. De ese modo habrá inmediatamente después de la superficie que presenta una hoja degenerada, dos alturas para las cuales las rectas negras serán perfectamente horizontales (pendiente nula), por lo tanto dos nuevas hojas cerradas. Se ve también que en la vecindad de esas hojas la pendiente cambia de signo, por lo tanto son no degeneradas. Al revés, si se recorre la película a la inversa, las pendientes que eran ligeramente positivas se vuelven incluso más positivas y no hay hoja cerrada. Se tiene, por lo tanto, un nacimiento instantáneo de dos hojas cerradas no degeneradas.

Resumamos el enunciado del lema de nacimiento/muerte de Giroux : en una película proveniente de un campo de planos no integrable cuya rotación es de tipo mano izquierda :

  1. no hay hoja degenerada persistente ;
  2. una hoja degenerada indica, según si es positiva o negativa, el nacimiento o la muerte de dos hojas no degeneradas.

Familias de películas

En la demostración del teorema de Bennequin se considera esferas concéntricas cuyo radio varía. Para cada campo de planos se obtiene así una película de foliaciones sobre una esfera. Recordemos que el objetivo de todo esto es demostrar que no existe deformación del espacio que transforme el campo de planos estándar (abajo a la izquierda) en campo de planos enroscado (a la derecha). La única diferencia entre ambas es el hecho que el primero nunca es vertical, mientras que los planos del segundo dan muchas vueltas a lo largo de cada radio dibujado.

La película del campo de planos estándar es bastante pesada. Para cada radio hay dos accidentes (en los polos) y todas las hojas van de uno al otro, como en la primera animación de arriba. En la segunda película, por el contrario, hay aparición de hoja cerrada según el mecanismo predicho por el lema de nacimiento/muerte.

Por un instante vamos a suponer que -al revés de lo que afirma el teorema- existe una deformación del espacio que envía el campo de planos estándar hacia el campo de planos enroscado. Después de un atento examen de la situación, vamos a llegar a una contradicción. Se habrá demostrado por lo tanto que no existe ninguna deformación de ese tipo. Tendremos entonces dos cantidades variables (los topólogos dicen dos parámetros) : el radio de la esfera y el tiempo transcurrido desde el inicio de la deformación, todo eso para una deformación que no se conoce ¡ya que uno quiere demostrar que es imposible ! Para comprender este punto delicado, observemos lo que ocurre con una transformación que efectivamente existe y que ya la mostramos más arriba.

Se considera los dos campos de planos siguientes

Un champ de plans sans surface intégrale

Existe una deformación del espacio que envía a uno sobre el otro. En la imagen siguiente cada columna corresponde a un tiempo de la deformación (0, 1/2 y 1) y cada línea a un radio de esfera. La primera columna corresponde al primer campo de planos (en t=0 la deformación no hace nada). Se ve en particular, para todos los radios, rectas negras perfectamente horizontales, correspondientes a los planos perfectamente horizontales del campo de planos. La última columna corresponde al segundo campo de planos (en t=1 la deformación se terminó). Se ve que ese campo de planos es invariante por rotación alrededor del eje que pasa por los dos polos de las esferas. La columna del medio corresponde a un campo de planos intermedio (t = 1/2).

Demostración del teorema de Bennequin

He aquí ahora la demostración del teorema. Recordemos que uno ha supuesto provisionalmente la existencia de una deformación del espacio, entre el tiempo 0 y el tiempo 1, que envía el campo de planos estándar sobre el campo de planos enroscado. Se dibujan dos ejes en un plano (¡que no tiene nada que ver con los planos del campo de planos !) : el eje de los radios y el eje de los tiempos.

En ese plano de los radios y del tiempo, se considera el conjunto de puntos correspondiente a las foliaciones que presentan una hoja cerrada degenerada. Como esas hojas no persisten nunca en la película, este conjunto intersecta sólo un número finito de veces cada uno de los segmentos verticales correspondientes a un tiempo fijo. Se tiene, por lo tanto, un conjunto que se parece a una reunión de curvas. El punto crucial es que el lema de nacimiento/muerte implica que esas curvas no hacen nunca un semigiro pasando por la dirección vertical, como en la figura siguiente.

Demostración de la ausencia de semigiro

Supongamos por contradicción que existe un radio y un tiempo donde la curva estudiada es vertical y hace un semigiro. Por ejemplo, se tiene la siguiente situación, donde la curva hace un semigiro al punto de coordenadas $(r_1, t_1)$ y solo está dibujada en una vecindad de ese punto.

Se considera una banda estrecha que contiene las hojas degeneradas correspondientes. Uno puede convencerse de que todas las hojas degeneradas referidas tienen el mismo signo, digamos positivo (dado que el otro caso es del todo análogo). El dibujo de arriba significa que se tiene la siguiente situación :

Es imposible completar la columna de la derecha, teniendo en cuenta el hecho de que todas las hojas degeneradas deben indicar un nacimiento cuando uno mira la columna de arriba a abajo. La situación del semigiro vertical es, por lo tanto, imposible.

Por lo tanto, ahora tenemos las siguientes informaciones sobre las curvas de las hojas degeneradas :

  • ninguna de esas curvas llega al segmento t = 0 ya que no hay hoja cerrada en la película del campo de planos estándar ;
  • hay curvas que tocan el segmento t = 1 ya que hay hojas degeneradas en la película del campo de planos enroscado ;
  • ninguna curva hace semigiro convirtiéndose en vertical

Se tiene por lo tanto la siguiente situación :

Parece que este dibujo es imposible de completar respetando las tres restricciones de arriba. Tal imposibilidad muestra, como se esperaba, que no existe deformación del espacio que una nuestros dos campos de planos.

Pese a que este argumento da cuenta del núcleo de la demostración de Giroux, desgraciadamente es incompleto, ya que nada impide que una de las curvas estudiadas se detenga a campo raso.
La demostración completa exige seguir la pista, además de las hojas degeneradas, a otro fenómeno raro llamado conexión retrógrada de silla, que obedece a un lema de crecimiento análogo al lema de nacimiento/muerte. El lector frustrado leerá con gusto el artículo de Giroux que contiene el final de esta historia...

Post-scriptum :

La redacción de Images des Maths, así como el autor, agradecen por su atenta relectura a los relectores cuyos seudónimos son : Jacques Lafontaine, vernicos, Rémi Coulon e Ilies Zidane.

Article original édité par Frédéric Le Roux

Notes

[1En efecto, cuando se cambia de sentido de trayectoria, los lados derecho e izquierdo se invierten.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «El teorema de Bennequin II» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

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