El teorema de Radon

Le 27 mars 2010  - Ecrit par  Benoît Kloeckner
Le 30 mars 2021  - Traduit par  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Article original : Le théorème de Radon Voir les commentaires
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Hace algunos meses, tuve necesidad de utilizar para mi investigación (más bien abstracta) un teorema que tiene aplicaciones muy concretas : el teorema de Radon. Se remonta a inicios del siglo XX, pero la aplicación que voy a describir tuvo que esperar los rayos X y el computador para ver la luz.

El problema

El problema es el siguiente : imaginemos que uno tenga un objeto opaco constituido por diferentes materiales, y que uno desee saber cómo esos materiales están repartidos por dentro, sin dañarlo (por ejemplo, el objeto puede ser una persona enferma y que uno desee ver el interior de su cuerpo).

Uno de los métodos es el escáner : se emite finos haces de rayos X a través del objeto en todas las direcciones y se mide qué proporción de cada haz ha sido absobida. Pero ¿hay algún medio de vincular esas mediciones con la constitución de nuestro objeto ?

Escáner e integral

Los matemáticos expresan esas mediciones en términos de integral. Expliquemos un poco. Para simplificar, imaginemos primero un objeto rectilíneo, ’’1D’’. Entonces hay una sola dirección disponible y mi único haz va a ser absorbido un poco por cada parte del objeto. La medida obtenida da, en términos matemáticos, la integral de la función de absorción, es decir, simplemente la suma de las pequeñas absorciones que tuvieron lugar en cada punto (de hecho, en el fenómeno de absorción se trata más de un producto que de una suma, pero hay una herramienta para pasar de una a otra, llamada logaritmo, así que uno no se preocupa de ese pequeño detalle).

Evidentemente, es imposible reconstituir la estructura interna del objeto con una sola medición. Tomemos ahora un objeto plano, ’’2D’’. Aquí hay muchas maneras diferentes de emitir los haces y por lo tanto uno dispone potencialmente de muy numerosas mediciones : cada una da la absorción total a lo largo de una recta.

El asunto es entonces el siguiente : ¿se puede encontrar la absorción en cada punto a partir de esas mediciones [1] ? El teorema de Radon dice no solo que es posible, sino que además da la receta para llegar a ella. No voy a dar aquí esa fórmula, pero sí trataré de explicar la idea de manera muy gruesa.

Fijemos un punto del objeto y busquemos encontrar la tasa de absorción en ese punto. La idea es hacer la suma de las tasas de absorción medidas sobre las rectas que pasan por el punto dado.

En esta suma se encuentran adicionadas las tasas de absorción de todos los puntos del objeto, pero no el mismo número de veces : una zona lejos del punto fijado será ’’vista’’ por muchas menos rectas que una zona cercana.

Exagerando, uno podría decir que cada punto es contado solo una vez, excepto el punto elegido. La realidad es un poco más complicada que eso, pero el principio es esencialmente verdadero y es lo que permite reconstituir la absorción en cada punto a partir de las sumas a lo largo de las rectas : cada punto cuenta más que los otros en la suma de las absorciones a lo largo de las rectas que pasan por ese punto.

El teorema en 2D da automáticamente un teorema en 3D (¿ve usted por qué [2] ?) Una propiedad notable de este problema es que se simplifica cuando aumenta la dimensión (es imposible en dimensión 1, y para resolver la dimensión 3 basta con resolver la dimensión 2).

Hay una última preocupación con este método de imagenología : en la práctica, no se puede hacer todas las mediciones (hay una infinidad). Afortunadamente, se puede mostrar que si se hace una cantidad suficiente de mediciones y se aplica la fórmula de Radon, entonces el resultado es bastante cercano a la tasa de absorción (y mientras más mediciones se haga, mejor es el resultado). En otras palabras, además de ser explícito, el teorema de Radón es estable.

Notes

[1Si los materiales que componen mi objeto tienen tasas de absorción diferentes, eso permitirá reconstituir la composición interna.

[2De hecho, lo que uno llama transformada de Radon en 3D es un poco diferente.

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Pour citer cet article :

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «El teorema de Radon» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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