Elliptique, hyperbolique, pourquoi ?

Le 24 janvier 2010 - Ecrit par Jacques Lafontaine Voir les commentaires (13)
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Les adjectifs elliptique, hyperbolique, parabolique évoquent bien sûr l’ellipse, l’hyperbole, la parabole,
courbes connues au moins depuis les Anciens Grecs. En mathématiques, le lien entre l’adjectif et la courbe correspondante
ne va pas toujours de soi.

Les coniques

Ellipse, hyperbole, parabole : ce sont des coniques, ainsi nommées parce que ces
courbes peuvent être réalisées
comme des sections planes d’un cône.
Le lecteur non mathématicien (j’espère qu’il y en a, ce billet est fait pour eux)
pourra facilement réaliser des ellipses et des hyperboles sur un mur de sa chambre,
en l’éclairant avec
une lampe de poche et en variant l’inclinaison des rayons lumineux..

Il (et même elle) n’arrivera pas à réaliser une parabole,
car c’est un cas exceptionnel,

voici pourquoi.

La nature géométrique de l’intersection d’un cône de révolution et d’un plan
est déterminée par la position du plan parallèle qui passe par le sommet du cône.

si ce plan ne contient que le sommet du cône on a une ellipse
si ce plan intersecte le cône suivant deux droite, on a une hyperbole
si ce plan est tangent au cône on a une parabole.

Cette petite expérience est une vérification du fait que, « en général », une conique est une ellipse ou une hyperbole.
[1]

Le mot ellipse vient du grec elleipsis, qui veut dire manque, du fait que l’on
considérait l’ellipse
comme un cercle auquel il manquait quelque chose. Le mot hyperbole vient du grec hyperbolê,
action de jeter par dessus, exagération.
Une ellipse est aussi une omission syntactique ou stylistique. En littérature, l’hyperbole est
une figure de style qui consiste à créer une exagération et permet d’exprimer
un sentiment extrême (voir le Petit Robert).

Si l’on compare la signification des deux mots en mathématiques et en analyse de textes,
on peut observer une
certaine analogie : une ellipse reste dans une région limitée du plan, une hyperbole
s’en va à l’infini.

Notons aussi que « parabole » est la transcription du grec
parabolê, qui ne veut pas seulement dire « discours allégorique » comme le mot parabole en français,
mais aussi « rencontre ». C’était sans doute pour les mathématiciens grecs une façon de souligner le caractère transitoire de la parabole.

Passons aux adjectifs

Les choses commencent à se compliquer.

En français courant, elliptique signifie
bien sûr relatif à l’ellipse, hyperbolique relatif à l’hyperbole,
que les deux mots soient pris dans leur sens mathématique ou non.
Le vocabulaire mathématique
se veut précis. Précision ne veut pas forcément dire cohérence.

Par exemple, les fonctions hyperboliques sont des fonctions qui permettent une représentation paramètrique des
hyperboles, à l’instar des fonctions circulaires sinus et cosinus, qui permettent une
représentation paramètrique des cercles.
Autrement dit, au couple antagonique « ellipse hyperbole »
correspond ici le couple
« fonctions circulaires fonctions hyperboliques » [2]

Cette incohérence n’est que partielle : on voit au lycée que par rapport à des axes perpendiculaires l’équation
$x^2+y^2=1$ représente un cercle et l’équation $xy=1$ une hyperbole dite équilatère.
Si on remplace ces axes perpendiculaires par des axes obliques,
on obtient l’ellipse et l’hyperbole les plus générales. On peut voir les choses de façon plus géométrique en
introduisant les affinités. Ce sont les transformations du plan qui conservent le parallélisme. Elles transforment
ellipses, hyperboles et parabole en coniques du même type, et inversement deux coniques du même type peuvent se déduire l’une de
l’autre par une affinité convenable.
Notons au passage que le mot affinité n’est pas sans rapport avec son sens courant : les affinités ne changent pas trop les courbes
auxquelles on les applique !

Points elliptiques et hyperboliques d’une surface

L’alternative elliptique hyperbolique se rencontre aussi quand on étudie la position d’une surface
par rapport à un plan tangent en un point $P$. En éliminant les situations « exceptionnelles », il y a deux cas possibles :

a) Près de $P$, la surface est d’un seul coté du plan tangent en $P$.
L’intersection avec un plan parallèle à ce plan et suffisamment proche est soit vide soit formée d’une courbe fermée. [3]

b) La surface traverse son plan tangent.
L’intersection de la surface avec le plan tangent à $P$ sera formée de deux courbes transverses
(qui seront deux droites dans la cas d’une « quadrique », c’est-à-dire d’une surface de degré 2)
et sinon de deux courbes évoquant quelque peu les deux arcs d’une hyperbole.

Le premier cas est celui qui vient à l’esprit dans une approche naïve des surfaces. Le second, moins intuitif mais tout aussi
important, se voit par exemple dans les selles de cheval (d’où le nom de point selle pour les points hyperboliques), certains
châteaux d’eau
ou les cheminées des centrales nucléaires.

D’une façon plus technique, c’est la « seconde forme quadratique fondamentale » qui rend compte de la position de la
surface par rapport à son plan tangent. Cette seconde forme permet de définir une conique, l’indicatrice de Dupin,
qui est une ellipse dans le cas a), une hyperbole dans le cas b).

Géométrie hyperbolique, plan hyperbolique, pourquoi ?

Janos Bolyai et Nicolai Lobatchevski ont développé la géométrie non-euclidienne de façon axiomatique,
à partir d’un axiome stipulant que par tout point du plan il passe une infinité de parallèles à une droite donnée
(ne contenant pas ce point).
Puis il a été remarqué par Eugenio Beltrami
que cette géométrie peut se réaliser localement sur une
surface, baptisée par la suite pseudo-sphère de Beltrami, dont tous les points sont hyperboliques.
(Hélas, il n’est pas possible de réaliser le plan de Lobatchevski tout entier comme une surface de
l’espace euclidien, mais c’est

une autre histoire ...

Cette impossibilité a été montrée par David Hilbert. Cela revient a montrer qu’il n’existe pas
dans l’espace euclidien de dimension 3 de surface complète à courbure gaussienne constante négative.

La trigonométrie plane exprime des relations entre les longueurs des côtés et les angles d’un triangle
du plan euclidien. Si l’on veut faire la même chose pour les triangles tracés sur une sphère, on a des formules analogues
qui font intervenir les sinus ou les cosinus des longueurs des côtés.
Si dans ces formules, on remplace les sinus et les cosinus des longueurs des côtés
par les fonctions hyperboliques correspondantes, on obtient une formule concernant
les triangles du

plan de Lobatchevski.

Par exemple l’analogue formule « bien connue »
\[ \frac{a}{\sin A}= \frac{b}{\sin B}= \frac{c}{\sin C}\]
(ici $a$ ; $b$ et $c$ sont les longueurs des côtés, $A$, $B$ et $C$ les angles des sommets opposés)
devient en trigonométrie sphérique
\[ \frac{\sin a}{\sin A}= \frac{\sin b}{\sin B}= \frac{\sin c}{\sin C}\]

Il existe une formule analogue dans le plan de Lobatchevski, obtenue en remplaçant dans la formule ci-dessus
les sinus des longueurs des côtés par les sinus hyperboliques.

Ces deux raisons cumulées peuvent expliquer le nom de plan

hyperbolique

certains auteurs appellent plan elliptique le plan projectif réel
muni de la métrique déduite de celle de la sphère ronde. Cette terminologie a eu peu de succès, ne fût-ce que parce que
la géométrie elliptique est beaucoup moins riche que sa sœur hyperbolique.

pour le plan de la géométrie de Lobatchevski (J’avoue ignorer quand et comment cette terminologie s’est imposée).

Equations elliptiques et hyperboliques

Certaines équations aux dérivées partielles, notamment celles qui interviennent en Physique Mathématique,
sont aussi qualifiées d’

elliptiques, hyperboliques ou paraboliques.

Soit une équation aux dérivées partielles de la forme
\[ a(x,y)\frac{\partial f^2}{\partial x^2}+2b(x,y)\frac{\partial f^2}{\partial xy}+c(x,y)\frac{\partial f^2}{\partial y^2}+ \hbox{termes d'ordre > 2}=0\]
Elle est elliptique si pour tout $(x,y)$ dans le domaine de définition
l’une des courbes
\[ a(x,y)X^2+2b(x,y)XY+ c(x,y)Y^2=\pm 1\]
est une ellipse (autrement dit si $b^2-ac<0$ ; l’autre courbe est alors vide).
L’équation est hyperbolique si ces mêmes courbes sont des hyperboles (autrement dit si
$b^2-ac>0$.

le potentiel Newtonien, le potentiel électrostatique sont régis par une équation elliptique

le mouvement d’une corde ou d’une membrane vibrante, le champ électromagnétique sont régis par une équation elliptique.

l’équation de la chaleur, qui régit l’évolution de la température en fonction du temps, est parabolique.

En fait, les propriétés très différentes de ces différents types d’équation se voient mieux avec la physique qu’avec la géométrie.

En guise de conclusion

L’adjectif parabolique est moins fréquent que les deux autres. Rien d’étonnant à cela, la parabole
étant un cas exceptionnel de conique comme nous l’avons dit à plusieurs reprises.

Nous avons présenté des exemples où les adjectifs elliptique et hyperbolique étaient en couple.
Chacun d’eux a de surcroît connu sa fortune propre, l’un en Théorie des Nombres
(fonctions elliptiques, courbes elliptiques, qui ont joué un rôle clé dans la preuve du théorème de Fermat-Wiles),
l’autre dans les Systèmes Dynamiques et en Théorie Géométrique des Groupes (dynamique hyperbolique, groupes
hyperboliques de Gromov). C’est une autre histoire, qui pourrait faire l’objet d’un autre billet.

Notes

[1] il est facile de donner un sens mathématique précis à cette assertion

[2] les fonctions elliptiques, c’est tout à fait autre chose !

[3] Il y
a ici comme dans le cas b) une tricherie : il s’agit dans les deux cas
de la partie voisine du point $P$.

Commentaire sur l'article

Elliptique, hyperbolique, pourquoi ?

le 25 janvier 2010 à 06:42, par ducanh

Bonjour,

Je me demande depuis longtemps cette question : quel est le sens du mot « hyperbolique » dans « une variété hyperbolique d’après le sens de Kobayashi » ?. Connaissez-vous quelque raison de ce terme ?

Merci pour votre réponse.

Cordialement.
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Elliptique, hyperbolique, pourquoi ?

le 25 janvier 2010 à 14:52, par Jacques Lafontaine

dans les cas les plus simples, évoqués dans ce billet,
quand on dit hyperbolique c’est qu’il y a une hyperbole
quelque part

exemple : le plan hyperbolique, comme j’ai tenté de l’expliquer.

Il se trouve que le plan hyperbolique a pris une telle importance que maintenant il faut souvent prendre les choses
« au second degré » et hyperbolique peut vouloir dire
en relation avec le plan hyperbolique. Par exemple,
il y a une métrique naturelle sur un groupe donné par générateurs et relations, la « métrique de Cayley »,
et les groupes hyperboliques de Gromov sont ceux
pour lesquels cette métrique ressemble (dans un sens précis)
à la métrique du plan hyperbolique.

Avant d’en venir à Kobayashi, il faut rappeler que le modèle du plan hyperbolique favori des analystes complexes
est le disque de Poincaré, dont la métrique
a une propriété merveilleuse
(fausse pour le plan complexe) : toute application biholomorphe est une isométrie.

En utilisant des applications holomorphes du disque de Poincaré dans une variété complexe V,
on peut définir une pseudo-distance sur V (dite de Kobayashi), qui peut très bien être identiquement nulle,
mais qui peut aussi être une vraie distance
(c’est ça l’hyperbolicité à la Kobayashi).

Le disque de Poincaré en est l’exemple le plus simple.
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Elliptique, hyperbolique, pourquoi ?

le 26 janvier 2010 à 05:41, par ducanh

Merci Monsieur, votre explication est très claire.
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Elliptique, hyperbolique, pourquoi ?

le 26 janvier 2010 à 07:46, par Neotrad

Bonjour,

pourquoi n’arrive-t-on pas à faire une parabole (approximativement) ?
En prenant en compte l’angle a formé par le cône de lumière de la torche on peut tout à fait projeter sur le mur de façon à former un angle a/2 avec la torche et le mur, d’où une parabole, non ?

Bien cordialement.
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Elliptique, hyperbolique, pourquoi ?

le 26 janvier 2010 à 08:45, par Jacques Lafontaine

Bonjour,

tout d’abord une petite rectification : ce qu’on obtient est un arc d’hyperbole. Le cône lumineux est en fait un demi-cône.
Cela ne pose pas de problème pour l’ellipse mais on ne peut avoir qu’une branche d’hyperbole.

avec un angle a/2 vous aurez une parabole bien sûr mais avec cet angle exactement. Dès qu’il change un tant soit peu
on a une ellipse ou une branche d’hyperbole. C’est pour cela que la parabole est pratiquement
impossible à réaliser car il s’agit d’une configuration instable.

Très cordialement
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Elliptique, hyperbolique, pourquoi ?

le 27 janvier 2010 à 18:49, par Pierre de la Harpe

Sans en faire une autre histoire, il y a aussi cette phrase comique et conique
de l’orfèvre Raymond Queneau :
<< Ca faut avouer, dit Trouscaillon qui,
dans cette simple ellipse, utilisait hyperboliquement
le cercle vicieux de la parabole. >>
C’est au chapitre X de Zazie dans le métro,
et c’est surement vrai puisque Trouscaillon est un flicmane.
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Elliptique, hyperbolique, pourquoi ?

le 28 janvier 2010 à 13:11, par johann

Bonjour,

Ne peut-on pas identifier les coniques comme des cercles « vus d’une autre manière » ?

Par exemple, l’ellipse est un cercle en mouvement rapide (relativiste) « observé » depuis un système de coordonnées immobile, autrement dit à un changement de variables près.

De même l’hyperbole n’est-elle pas un cercle de rayon imaginaire ? Ou un cercle à un changement de variables (complexe) près...

On peut bien sur généraliser aux sphères de toutes dimensions, mais comment dans cette optique interpréter les fonctions hyperboliques ou elliptiques ?

Sont elles alors toutes des fonctions trigonométriques à changement de variable près ?

Cordialement
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Elliptique, hyperbolique, pourquoi ?

le 29 janvier 2010 à 13:52, par Jacques Lafontaine

quelques éléments de réponse

un cercle vu en perspective est une conique (voir le début du billet) et réciproquement toute conique non dégénérée est bien un cercle en perspective

pas d’accord par contre avec l’interprétation relativiste
si par ex dans un repère un cercle est parcouru par un point en mouvement uniforme, dans un repère en mouvement rectiligne uniforme par rapport au premier, on n’aura même pas une courbe fermée

le passage des fonctions circulaires aux fonctions hyperboliques peut se faire grâce aux formules

cosh x = cos ix sinh ix = i sin x

cordialement
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Elliptique, hyperbolique, pourquoi ? ( -> Théorème de Hilbert)

le 3 janvier 2011 à 23:39, par S. Tummarello

Bonjour,

au sujet de l’impossibilité de représenter le plan hyperbolique dans l’espace euclidien, je ne trouve pas de définition de l’adjectif complet dans l’expression « surface complète ».

Merci pour les précisions que vous pourrez apporter.
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Elliptique, hyperbolique, pourquoi ? ( -> Théorème de Hilbert)

le 22 janvier 2011 à 14:18, par Jacques Lafontaine

sur une surface de l’espace euclidien il y a deux métriques
« naturelles »
a) la métrique induite par la métrique euclidienne
b) la métrique dite intrinsèque. La distance de deux points est définie comme la borne inférieure des longueurs des courbes joignant des points et tracées sur la surface.
De façon plus technique, c’est la distance définie par la structure riemannienne induite.
« Complet » veut dire complet pour cette métrique (toute suite de Cauchy est convergente)
La pseudo-sphère de Beltrami n’est pas complète : il y a un cercle de points singuliers.
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Elliptique, hyperbolique, pourquoi ? ( -> Théorème de Hilbert)

le 25 janvier 2011 à 11:17, par S. Tummarello

Bonjour,

merci pour cette précision. À vrai dire, je ne cerne pas le lien avec la phrase précédente (« il n’est pas possible de réaliser le plan de Lobatchevski tout entier comme une surface de l’espace euclidien »). Le disque de Poincaré n’est-il pas complet ?

Étienne Ghys cite dans son article « Poincaré et son disque » un autre (?) théorème de Hilbert affirmant qu’il n’existe pas de plongement isométrique (analytique) du disque de Poincaré dans l’espace euclidien (cf. le lien ci-dessous, page 11). Ce théorème ne décrit-il pas mieux l’ « impossibilité de représenter » le plan hyperbolique dans l’espace euclidien ?

En vous remerciant pour vos réponses enrichissantes.

Le lien vers l’article d’É. Ghys : http://www.umpa.ens-lyon.fr/ ghys/articles/disque-poincare.pdf
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Elliptique, hyperbolique, pourquoi ?

le 26 janvier 2011 à 10:54, par Jacques Lafontaine

c’est le même théorème dit autrement. Mon explication (de « deuxième niveau » puisque non accessible directement) était un peu lapidaire, je le reconnais volontiers.
La métrique du disque de Poincaré est complète : les courbes qui vont jusqu’au bord sont de longueur infinie.
Et une image isométrique sera complète comme lui au sens
technique : toute suite de Cauchy est convergente.

Il y a par contre une façon très simple (bien qu’un peu déroutante la première fois qu’on la rencontre) de réaliser
le plan hyperbolique comme une nappe d’hyperboloïde de l’espace de Minkwoski ($R^3$ muni de $dx^2+dy^2-dt^2$).
C’est bien expliqué dans un livre de D. Lehmann, Géométyrie élémentaire, qui a bien 20 ans.
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Elliptique, hyperbolique, pourquoi ?

le 26 janvier 2011 à 16:28, par S. Tummarello

Bonjour,

merci pour cette réponse éclairante : on peut en effet lire sur de nombreux sites que l’on ne peut pas représenter le plan hyperbolique comme une surface complète dans l’espace euclidien à trois dimensions, mais une ambigüité demeure souvent quant au verbe « représenter ».

Car le modèle de l’hyperboloïde offre bel et bien, vous le confirmez, une « représentation » possible (et complète) du plan hyperbolique, à condition bien entendu d’abandonner la métrique euclidienne au profit de la métrique que vous avez décrite.

Cordialement,
S. Tummarello.
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L'auteur

Jacques Lafontaine

Professeur à l’Université Montpellier II de1988 à 2009