Nous proposons une réflexion sur l’émergence de la méthode par combinaisons linéaires pour la résolution des problèmes à plusieurs inconnues, à travers la lecture des contributions déterminantes de trois algébristes du XVIe siècle, Jérôme Cardan (Artis magnæ liber vnus, Nuremberg, 1545) [1], Jean Buteo (Logistica, Lyon, 1559) [2], et Guillaume Gosselin (De arte magna libri quatuor, Paris, 1577) [3]. Leurs tâtonnements et leur progression sont significatifs des problèmes théoriques sous-tendus par la méthode et représentatifs des étapes à franchir par les « apprenants » pour parvenir à la logique interne et à la maîtrise opératoire du procédé.

Dans le contexte de l’époque, la « règle de la chose » régit la résolution des problèmes à une inconnue, à savoir la « chose » à trouver, ou « racine », notée par une abréviation ou un signe parfaitement identifiable, même s’il peut varier d’un auteur à l’autre. Pour les problèmes à deux inconnues, c’est la « règle de la quantité » qui est en vigueur. Le terme de « quantité », ou même de « quantité sourde », mis en usage par Lucas Pacioli dans sa Summa de Arithmetica Geometria de 1494 et repris par plusieurs de ses successeurs, désigne la deuxième quantité inconnue, celle que l’algébriste peut noter 1q (q étant l’abréviation de quantité) quand le signe algébrique officiel a été affecté à la première inconnue. Par la suite, les termes de quantité ou de « racine seconde » peuvent désigner de façon générique toutes les inconnues autres que la première, auxquelles sont alors affectées des notations variables selon les auteurs et les méthodes de résolution mises en œuvre. [4]

Les auteurs que nous allons rencontrer pratiquent un style globalement rhétorique malgré l’insertion d’abréviations et de signes efficaces, et décrivent en extension les raisonnements et les opérations qu’ils conduisent, y compris quand ils les accompagnent de présentations tabulaires. Nous aurons garde au fait que la mise en œuvre de démarches pouvant être reconnues comme algébriques n’est pas tant liée à l’utilisation de symboles, même si elle est fort valorisée à la Renaissance, qu’à l’identification de sa finalité propre, qui est la détermination des quantités inconnues à partir de prémisses connues.

Résolution d’un problème à deux inconnues

Jérôme Cardan, plus connu pour ses travaux sur les résolutions d’équations du troisième degré, offre dans l’Artis magnæ liber vnus un exemple de résolution tout à fait originale en son temps pour un problème à deux inconnues :

Le premier dit au second, donne-moi le tiers de tes biens, & 3 en plus, & j’aurai le triple de ton reste. Mais le second dit au premier, donne-moi la moitié de tes biens, & 2 en plus, & ce qui te restera sera la neuvième partie de tout ce que j’aurai. [5]

Ci-dessous, avec leur transcription en écriture actuelle, l’image des tableaux que Cardan lui-même insère entre les paragraphes du texte par lequel il décrit la résolution.

La seconde inconnue est la quantité (« quan ») ; la première inconnue apparaît sous le terme de position (« pos »), usuel chez Cardan pour désigner l’inconnue principale. Les signes plus et moins sont abrégés en « p » et « m ». Il convient de remarquer la prudence avec laquelle Cardan combine les égalités, en les multipliant, puis en les ajoutant membre à membre, (i) + (ii), avant de simplifier la dernière égalité obtenue. En éliminant successivement les inconnues « pos » et « quan », il obtient les valeurs cherchées.

Ce problème de Cardan est l’un de ceux que Guillaume Gosselin, une trentaine d’années plus tard, reprend au quatrième livre de son traité d’algèbre, où il résout, tant par substitutions et que par combinaisons linéaires, des problèmes du premier degré à plusieurs inconnues. Curieusement, alors que Gosselin porte un intérêt certain à la méthode par combinaisons linéaires, nous allons le montrer, il ne relève pas la solution inédite de Cardan. Il ne retient de son aîné italien que l’énoncé du problème, qu’il reformule dans le registre abstrait des nombres, et il le résout par la méthode de substitution. Il est vrai que la supériorité de la méthode de Cardan ne s’impose pas comme une évidence dans le cas précis de ce problème à deux inconnues.

Pour présenter et perfectionner la méthode par combinaisons linéaires, Gosselin se tourne à raison, – pour le critiquer, il est vrai –, vers l’algèbre de Jean Buteo qui a pour sa part fait progresser la méthode une quinzaine d’années auparavant. C’est l’objet du paragraphe qui suit.

Résolution d’un problème à trois inconnues

Buteo donne en effet une exposition claire de la méthode par combinaisons linéaires pour la résolution des systèmes de trois équations à trois inconnues, les accompagnant d’une présentation en tableaux ordonnés qui en soulignent le principe et en facilitent la mise en œuvre. Nous donnons pour exemple l’énoncé de l’un des problèmes à trois inconnues qu’il résout au chapitre « De regula quantitatis » de la Logistica et, dans leur totalité, les tableaux dont il accompagne la description de l’algorithme. Les signes d’addition sont sous-entendus, l’égalité est marquée par le signe [ :

Trouver trois nombres, dont le premier avec le tiers des autres fasse 14, le deuxième avec le quart des autres 8, le troisième avec la cinquième partie des autres 8 pareillement. Pose que le premier est 1A, le deuxième 1B, le troisième 1C. On aura donc 1A,$\frac{1}{3}$B,$\frac{1}{3}$C [14. Pareillement 1B,$\frac{1}{4}$A,$\frac{1}{4}$C [8. Et aussi 1C,$\frac{1}{5}$A,$\frac{1}{5}$B [8. […] [6]

Buteo opère donc sur le système qu’aujourd’hui nous écrivons :

Parvenu à l’égalité 150C = 750, qui donne la valeur 5 du nombre C, il déduit la valeur 4 du nombre B de l’égalité 2B+14C = 78, puis la valeur 11 du nombre A de l’égalité 1A+1B+5C = 40.

Après cette résolution irréprochable, Buteo ajoute une solution alternative qui sera la source de ses déboires. Passant de l’égalité 2B+14C = 78 à l’égalité 1B+7C = 39, il divise 39 par 7 et, de là, adopte le quotient 5 et le reste 4 comme valeurs des nombres C et B respectivement. Commentant la méthode, il indique qu’il peut arriver qu’elle soit défaillante, « mais très rarement », ajoute-t-il.

Résolution d’un problème à quatre inconnues

Quand Buteo tente de résoudre le problème suivant, à quatre inconnues, il s’y reprend à trois fois sans réussir à dégager une solution rigoureuse, son annonce du résultat correct ne suffisant pas en effet à légitimer la méthode. Nous reproduisons une partie de son texte et, dans son intégralité, le tableau dont il accompagne la description des premières combinaisons linéaires :

Trouver quatre nombres, dont le premier avec la moitié des autres fasse 17, le deuxième avec le tiers des autres 12, le troisième avec le quart des autres 13, dont le quatrième avec le sixième des autres fasse pareillement 13. Pose que le premier est 1A, le deuxième 1B, le troisième 1C, le quatrième 1D. On aura donc 1A,$\frac{1}{2}$B,$\frac{1}{2}$C,$\frac{1}{2}$D [17. Pareillement 1B,$\frac{1}{3}$A,$\frac{1}{3}$C,$\frac{1}{3}$D [12. Pareillement 1C,$\frac{1}{4}$A,$\frac{1}{4}$B,$\frac{1}{4}$D [13. Et aussi 1D,$\frac{1}{6}$A,$\frac{1}{6}$B,$\frac{1}{6}$C [13. Et en fait de deuxième équation, il y aura les quatre que j’ai posées ici en ordre.

Si les premières étapes de la résolution (colonne de droite) sont claires, à savoir les transformations des équations de départ en équations à coefficients entiers, les combinaisons linéaires de la première équation avec la deuxième et avec la quatrième successivement (éliminations de 1A), puis la combinaison linéaire des deux équations obtenues (élimination de 1B), les choses se troublent après que Buteo a obtenu l’équation 4C+54D = 572. Divisant abruptement 572 par 54, il adopte le quotient entier 10 comme valeur du quatrième nombre D. Le produit 4C se trouvant alors valoir 32, il en déduit la valeur 8 du troisième nombre C. La fin de la résolution en découle : Buteo reporte les valeurs 8 de 1C et 10 de 1D dans l’égalité 5B+1C+1D = 38, pour en déduire la valeur 4 du deuxième nombre B, puis celle 6 du premier nombre A grâce à l’égalité 1A+3B+1C+1D = 36.

On aura remarqué la mise à l’écart complète de la troisième équation dans toute la résolution et la témérité de la division intermédiaire.

Les deux autres essais de Buteo (colonne de gauche) seraient presque plus problématiques encore. Étant parvenu, par combinaisons linéaires des première, deuxième et quatrième équations, à l’équation 3B+1C+6D = 80, Buteo avance que, en faisant la division de 80 par 6, il obtient le quotient 10 ! – qu’il adopte comme valeur du quatrième nombre D – et le reste 20 – qu’il garde comme valeur de 3B+1C. Il en déduit alors dans (2) la valeur 6 de 1A, et reportant dans (1) les valeurs trouvées pour A et D, il termine la résolution.

Son troisième essai consiste à renouveler la démarche avec les première, troisième et quatrième équations, à l’exclusion de la deuxième, et à tirer à nouveau la valeur 10 pour le nombre D de la division de 96 par 6 dans l’équation 1B+4C+6D = 96.

Buteo conclut en recommandant à qui trouverait ce procédé de calcul trop obscur de considérer qu’il est bien supérieur à celui qui est communément pratiqué, que même si l’art peut alléger les difficultés inhérentes aux choses, aucun procédé ne peut les supprimer totalement, et qu’il convient donc, pour acquérir l’aisance voulue, de développer l’emploi encore trop rare de la règle qui vient d’être décrite.

Quinze ans plus tard, Gosselin identifie parfaitement les difficultés rencontrées par Buteo et les analyse, dans le De Arte Magna libri quatuor, en conclusion de la résolution – réussie – que pour sa part il donne du même problème.

C’est le problème que Buteo tente de résoudre par trois voies, sans qu’aucune n’aboutisse puisque cet homme très savant ne s’avise pas qu’il est nécessaire de faire la somme d’égalisations différentes, surtout quand il se présente quatre nombres ou plus, que c’est la même égalisation que tantôt il double, tantôt il triple, par quoi il se fait que, ne prenant qu’une seule égalisation, il ne peut parvenir à une égalisation simple mais il se perd dans une égalisation composée et trompeuse dont chacun peut voir combien elle est loin du vrai. [7]

Ayant bien compris le principe de l’équivalence des systèmes, Gosselin le met en œuvre sans faillir et conduit une résolution par combinaisons linéaires parfaite jusqu’à la fin. Il désigne les égalités par leur rang dans l’ordonnancement du problème, et décrit de façon tout aussi ordonnée les opérations prescrites. Le tableau dont nous prenons l’initiative, en regard du texte traduit, souligne la clarté de l’organisation.

Soient A B C D les quatre nombres, & soient 1A $\frac{1}{2}$B $\frac{1}{2}$C $\frac{1}{2}$D égaux à 17, […] ramenons-les à des nombres entiers, il résultera 2A 1B 1C 1D égaux à 34, […] ajoutons les deux dernières égalisations, à savoir la troisième & la quatrième, il résultera 2A 2B 5C 7D égaux à 130, enlevons-en la première, il restera 1B 4C 6D égaux à 96 ; ajoutons la quatrième & la deuxième, cela fera 2A 4B 2C 7D égaux à 114, enlevons-en la première, il subsistera 3B 1C 6D égaux à 80 ; ajoutons la deuxième & la troisième égalisations, cela fera 2A 4B 5C 2D égaux à 88, enlevons la première, il restera 3B 4C 1D égaux à 54 ; triplons alors 1B 4C 6D qui étaient égaux à 96, cela fera 3B 12C 18D égaux à 288 ; enlevons-en 3B 1C 6D égaux à 80, il restera 11C 12D égaux à 208 ; soustrayons encore de la même égalisation triplée 3B 4C 1D égaux à 54, il restera 8C 17D égaux à 234 ; multiplions cette égalisation par 11, cela fera 88C 187D égaux à 2574 ; multiplions aussi 11C 12D égaux à 208 par 8, il résultera 88C 96D égaux à 1664 ;
enlevons 88C 96D égaux à 1664 de 88C 187D égaux à 2574, il restera 91D égaux à 910, et l’égalisation s’établit ainsi, nous partagerons 910 en 91, le quotient sera 10, valeur de D, 10 est donc le dernier des nombres demandés ; & puisque 11C 12D étaient égaux à 208, enlevons 12D c’est-à-dire 120, il restera 88 égaux à 11C, nous diviserons 88 par 11, le quotient sera 8 valeur de C, le troisième nombre ; mais aussi 3B 4C 1D sont égaux à 54, enlevons-en 4C 1D, c’est-à-dire 10 & 32, donc 42, il restera 12 égaux à 3B, et B, le deuxième nombre, est 4 ; et alors 2A 1B 1C 1D sont égaux à 34, enlevons 1B donc 4, 1C, 8, 1D, 10, c’est-à-dire 22, il restera 12 égaux à 2A, et ainsi 1A le premier nombre est 6 ; et les quatre nombres qu’il fallait rechercher sont 6, 4, 8, 10.

Il est intéressant de noter que l’exposition strictement rhétorique de Gosselin ne constitue pas sous sa plume un handicap pour parvenir à une solution parfaitement aboutie ; qu’à l’inverse, les présentations tabulaires de Buteo, bien qu’elles soient le produit de son intuition de la méthode, ne sont pas pour autant la garantie du succès complet.

S’il n’est pas douteux que le travail de Buteo a pu inspirer à Gosselin le principe de la méthode par combinaisons linéaires, ce n’est pas diminuer le mérite du premier que d’identifier ses maladresses et de rendre au second l’hommage qui lui est dû. [8]