Enunciado

La respuesta es $5185$.

Enumeremos las filas de la cuadrícula de $0$ a $27$ y las columnas de $0$ a $36$. Escribamos en rojo los números escritos por fila y en negro los escritos por columna. Por ejemplo, el número rojo en la fila $3$ y columna $5$ es $ 1+5+ 3\times 37=117$ y el número negro es $1+3+5\times 28=144$.

De manera general, el número rojo del la fila $r$ y columna $k$ está dado por la fórmula $1+k+37r$ y el número negro está dado por $1+r+28k$. Estos dos valores son iguales si $1+k+37r=1+r+28k$, es decir, si $36r=27k$, y simplificando, $4r=3k$. Entonces, los valores de $r$ son múltiplos de $3$ : $0,3,\dots,27$, y los valores de $k$ son respectivamente $0,4,\dots,36$. Hay $10$ casos en los cuales los números rojos y negros son iguales, y se escriben de la forma :

$1+\frac{4}{3}r+37r=1+4a+111a=1+115a$

donde $r=3a$ con $a=0,\ldots,9.$ Finalmente obtenemos los números $1,1+115,1+2\times115+\cdots+1+9\times115$, que tienen como suma :

$1+ (1+ 115) +\ldots + (1+9 \times 115) = 10 + 115\left (\frac{9\times 10}{2}\right ) = 10 + 115\times 45 = 5185.$