Un desafío por semana

Enero 2017, cuarto desafío

Le 27 janvier 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 27 janvier 2017
Article original : Janvier 2017, 4e défi Voir les commentaires
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2017 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 4 :

Encontrar un camino desde $A$ a $B$ que pase por todos los vértices sin pasar dos veces por el mismo lugar.

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Solución del tercer desafío de enero :

Enunciado

La respuesta es $5185$.

Enumeremos las filas de la cuadrícula de $0$ a $27$ y las columnas de $0$ a $36$. Escribamos en rojo los números escritos por fila y en negro los escritos por columna. Por ejemplo, el número rojo en la fila $3$ y columna $5$ es $ 1+5+ 3\times 37=117$ y el número negro es $1+3+5\times 28=144$.

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De manera general, el número rojo del la fila $r$ y columna $k$ está dado por la fórmula $1+k+37r$ y el número negro está dado por $1+r+28k$. Estos dos valores son iguales si $1+k+37r=1+r+28k$, es decir, si $36r=27k$, y simplificando, $4r=3k$. Entonces, los valores de $r$ son múltiplos de $3$ : $0,3,\dots,27$, y los valores de $k$ son respectivamente $0,4,\dots,36$. Hay $10$ casos en los cuales los números rojos y negros son iguales, y se escriben de la forma :

$1+\frac{4}{3}r+37r=1+4a+111a=1+115a$

donde $r=3a$ con $a=0,\ldots,9.$ Finalmente obtenemos los números $1,1+115,1+2\times115+\cdots+1+9\times115$, que tienen como suma :

$1+ (1+ 115) +\ldots + (1+9 \times 115) = 10 + 115\left (\frac{9\times 10}{2}\right ) = 10 + 115\times 45 = 5185.$

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2017 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos : Ian Stewart.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Article original édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

— «Enero 2017, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - Sinclair stammers / SPL-Science photo library / Biosphoto

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