Un desafío por semana

Enero 2017, segundo desafío

El 13 enero 2017  - Escrito por  Ana Rechtman
El 13 enero 2017
Artículo original : Janvier 2017, 2e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2017 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 2:

Queremos descomponer al conjunto $\{2,3,\dots, 32\}$ en subconjuntos que cumplan que ninguno de sus elementos divida al resto. ¿Cuál el número mínimo de subconjuntos necesario para que esto sea posible?

Solución del primer desafío de enero:

Enunciado

La respuesta es no.

Como $2017$ es impar y la suma de dos números impares es par, el número de enteros impares consecutivos es necesariamente impar. Denotemos $c$ el número central de la suma que da como resultado $2017$. Los números adyacentes a este, $c-2$ y $c+2$, suman $2c$. De la misma manera, los siguientes términos adyacentes también suman $2c$. En efecto $(c-4) + (c+4) = 2c$.
Así, al reagrupar los términos de la suma en pares, obtenemos que $2017$ se escribe como un múltiplo de $c$, es decir, $c$ divide a $2017$.
Sin embargo, $2017$ es primo, por lo que $c=1$ o $c=2017$.

  • Si $c=1$ entonces $c-2<0$, lo cual no puede ser por el enunciado.
  • Si $c=2017$ entonces la suma solo tendría un término, lo cual tampoco puede ser.

Por lo tanto, $2017$ no se puede escribir como la suma de números impares consecutivos.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2017 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Enero 2017, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - Sinclair stammers / SPL-Science photo library / Biosphoto

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