Un desafío por semana

Enero 2019, cuarto desafío

El 25 enero 2019  - Escrito por  Ana Rechtman
El 28 enero 2019
Artículo original : Janvier 2019, 4e défi Ver los comentarios
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2019 está en librerías (en Francia)!

Semana 4

Ernesto salió de vacaciones por algunos días y notó que llovió siete veces en esos días. Cuando llovía en la mañana, el tiempo estaba despejado por la tarde. Además, no llovió en cinco tardes ni en seis mañanas. ¿Cuántos días duraron las vacaciones de Ernesto?

Solución del tercer desafío de enero:

Enunciado

La solución es: $3\,333\,333\,330$.

Sea $N$ el mútiplo (positivo) más pequeño de $1998$ que solo posee las cifras $0$ y $3$.

Dicho $N$ es de la forma $N=d_1d_2d_3 \cdots d_n$, con $d_i=0$ o $3$. La última cifra $d_n$ debe ser $0$ pues la última cifra de $1998$ es $8$, y ningún múltiplo de $8$ termina en $3$. Por tanto, $N$ es par.

Tenemos también $\frac{N}{3} = e_1e_2e_3 \cdots e_n$, donde $e_i=1$ si $d_i =3$ y $e_i=0$ en caso contrario.

Puesto que $\frac{N}{3}$ es múltiplo de $9$ (en efecto, $1998$ es igual a $74\times 9\times 3$), hay al menos $9$ cifras $1$ entre los $e_i$ para así llegar a una suma de dígitos divisible por $9$; como $e_n=0$, el menor candidato para $\frac{N}{3}$ es $1\,111\,111\,110$.

Así, el menor número $N$ es
$3\,333\,333\,330=1998\times 1\,668\,335$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Para citar este artículo:

— «Enero 2019, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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