Un desafío por semana

Enero 2020, primer desafío

El 3 enero 2020  - Escrito por  Ana Rechtman
El 3 enero 2020  - Traducido por  Ana Rechtman
Artículo original : Janvier 2020, 1er défi Ver los comentarios
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México)!

Semana 1

Determina los enteros positivos $n$ para los cuales $n^2 + 1$ divide a $n^2 + 5n + 2$.

Solución del cuarto desafío de diciembre:

Enunciado

La solución es $407$ triángulos.

Para contar las ternas de puntos que forman los triángulos no degenerados en segmentos, podemos primero contar todas las ternas de puntos y luego restarles aquellas de puntos alineados.

En lo que respecta a las ternas cualesquiera, como hay $15$ puntos, entonces
\[ \binom{15}{3} = \frac{15\times 14\times 13}{3\times 2\times 1} = 455 \]
es el número total de ellas.

En cuanto a las ternas de puntos alineados, observa que dichos puntos están dispuestos ya sea paralelamente a uno de los lados del triángulo grande, ya sea a lo largo de una altura de dicho triángulo.

Si los puntos están alineados paralelamente a un lado (por ejemplo, el horizontal), entonces pueden yacer bien sobre él o sobre una de las dos paralelas a este. Esto da
\[ \binom{5}{3} +\binom{4}{3} +\binom{3}{3} = 10 + 4 + 1 = 15 \]
posibilidades por cada dirección. Si los puntos yacen sobre una altura, no hay más que una posibilidad por cada una de las tres.

En total, el número de ternas de puntos alineados es $3\times 15 + 3 = 48$, y el de triángulos no planos es entonces $455 - 48 = 407$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2020 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2019, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2020 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos: Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Enero 2020, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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El traductor

Ana Rechtman
La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.