En los últimos días, la función logarítmica ha aparecido en los medios periodísticos como herramienta de visualización de la velocidad de propagación de la epidemia COVID-19 : por ejemplo, puedes consultar este sitio para seguir la evolución de la pandemia a nivel mundial, el cual incluye gráficos a escala normal y logarítmica.

El logaritmo es una función matemática que se enseña hacia fines del liceo. El logaritmo $\log(x)$ [1] en base $2$ de un número estrictamente positivo $x$ es definido como el único número $\ell$ tal que $x=2^\ell$. Dicho de otra manera, $x=2^{\log x}$.

Esta función sorprendete transforma productos en sumas :
\[ \log(ab) = \log(a) + \log(b) \]
En efecto, $2^{\log(a)+\log(b)} = 2^{\log(a)} \times 2^{\log(b)}=a \times b =2^{\log(ab)}$. Al respecto, se puede consultar Wikipedia. ¿Pero cuál es la relación con las epidemias ?

Explosiones exponenciales

Los fenómenos de contagio como las epidemias se caracterizan por su carácter multiplicativo : el crecimiento durante una unidad de tiempo es proporcional al número de enfermos contagiosos. En el modelo más sencillo, cada día el número de muertos se multiplica por cierto factor $k$ mayor que $1$. Según este modelo, el número de enfermos sigue una progresión geométrica de razón $k$ :

Esto lleva a un crecimiento vertiginoso. Por ejemplo, para $k=2$, la función $f(n)=2^n$ tiene el siguiente gráficot :

Tiempo de duplicación $t$

Una forma de medir la velocidad del crecimiento exponencial consiste en considerar el tiempo de duplicación. Este corresponde al tiempo que se debe esperar para que el número de casos ascienda al doble. En un caso de crecimiento exponencial, este intervalo de tiempo es constante, independientemente del número inicial de casos.

Este tiempo se calcula gracias a nuestra función $\log$ o logaritmo de base 2. Recordemos que este logaritmo $\log k$ para un número $k$ vale $\ell$ si $k=2^{\ell}$.

Vemos que en $N$ días, el número de casos se multiplica por
\[ k^N=\underbrace{2^{\ell}\times \dots\times 2^{\ell}}_{N \text{ facteurs}} = 2^{N \ell}. \]
Dicho de otra forma, durante un tiempo $N$ se constatarán $N\ell$ duplicaciones, es decir, una duplicación en un periodo equivalente a $1/\ell$ de día. Así, el tiempo de duplicación vale $t=1/\ell$ días.

Si $k=4$, la cantidad de pacientes se multiplica por $4$ cada día. Por ejemplo, cada paciente contamina en promedio a 3 personas por día. El logaritmo vale $\log (4) = 2$ porque $ 4 = 2^2 $ (observamos una duplicación dos veces al día).

Si $k=\sqrt{\sqrt{2}}\approx 1.2$, se puede pensar que cada enfermo tiene aproximadamente una probabilidad sobre cinco de contaminar a otra persona cada día. El logaritmo vale $\log(\sqrt{\sqrt{2}})=1/4$, pues $2^{1/4}\times 2^{1/4}\times2^{1/4}\times 2^{1/4}=2$. Se observa una duplicación del número de enfermos cada 4 días.

La cantidad a medir es, por lo tanto, este tiempo de duplicación $ t = 1 / \log k $. [2] ¿Cómo podemos hacerlo aparecer gráficamente ?

Visualización del tiempo de duplicación

Es precisamente esto lo que permite el uso de una escala logarítmica. Esto consiste en trazar el gráfico de la función $g(n) = \log (f(n))$ en lugar de la función estudiada $f(n)=k^n$.

La curva obtenida es una línea recta. De hecho, como el logaritmo transforma productos en sumas, simplifica la potencias $f(n)=k^n$ en :
\[ g(n)=n\cdot\log k. \]
Esto corresponde a una función lineal, cuyo gráfico es una recta. Este logaritmo $\log k$ es $1/t$, el inverso del tiempo de duplicación. Así, uno puede ’’leer’’ el tiempo de duplicación midiendo la pendiente de la recta y tomando su inverso (multiplicativo).

Más allá del caso exponencial

Las epidemias reales no siguen secuencias geométricas, como tampoco los modelos que intentan comprender su propagación. Por lo tanto, su representación incluso en una escala logarítmica no será lineal. Sin embargo, aún podemos definir un tiempo de duplicación ’’en torno a un tiempo determinado’’ al aproximar este gráfico por el extremo derecho, de la misma manera que se hace para definir la velocidad instantánea.

Por ejemplo, el número de casos de coronavirus confirmados en Italia (extracto de 31 días hasta el 24 de marzo de 2020 desde la página mantenida por la Universidad John Hopkins University) define la curva siguiente [3] :

Considerando una escala logarítmica, obtenemos un gráfico que se puede descomponer en cuatro partes muy próximos a segmentos de recta (que, como vimos arriba, corresponden a gráficos a escala logarítmica de funciones exponenciales) :

Deducimos que el tiempo de duplicación es creciente :

Por lo tanto, observamos una desaceleración del crecimiento exponencial de la epidemia, la cual es difícilmente visible en el primer gráfico (el que no utiliza la escala logarítmica). Atención : la interpretación de este resultado numérico requiere saber más sobre esta enfermedad [4].

Se puede constatar una concordancia entre la serie real con la descomposición en cuatro funciones exponenciales sucesivas al volver a la escala lineal :

Conclusión

Ahora entendemos por qué aparecen las escalas exponenciales en los medios de prensa : a través de ellos, podemos leer el tiempo de duplicación del número de casos positivos, un determinante crucial de la evolución de la epidemia.