Epidemia y logaritmo

Piste rouge Le 6 octobre 2020  - Ecrit par  Jérôme Buzzi
Le 20 avril 2020  - Traduit par  Andrés Navas
Article original : Épidémie et logarithme Voir les commentaires
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’’Una buena ilustración vale más que un largo discurso’’ : sabemos perfectamente que una curva puede transmitir instantáneamente lo que puede esconder una larga serie de cifras. Cada vez más medios periodísticos utilizan la escala logarítmica para representar el número de casos. En esta nota explicaremos por qué esta representación es útil y cómo estas curvas pueden ser leídas.

En los últimos días, la función logarítmica ha aparecido en los medios periodísticos como herramienta de visualización de la velocidad de propagación de la epidemia COVID-19 : por ejemplo, puedes consultar este sitio para seguir la evolución de la pandemia a nivel mundial, el cual incluye gráficos a escala normal y logarítmica.

El logaritmo es una función matemática que se enseña hacia fines del liceo. El logaritmo $\log(x)$ [1] en base $2$ de un número estrictamente positivo $x$ es definido como el único número $\ell$ tal que $x=2^\ell$. Dicho de otra manera, $x=2^{\log x}$.

Logaritmo neperiano, en base $2$ o en base $10$

Será un poco más práctico utilizar aquí el logaritmo en base $2$. El logaritmo decimal o logaritmo en base $10$, denotado $\log_{10}(x)$, es definido por $x=10^\ell$. Ambos están relacionados por la igualdad $\log(x)=\log_{10}(x)/\log_{10}(2)\approx 3,3 \log_{10}(x)$, la cual permite calcular uno a partir del otro.

El logaritmo neperiano es el logaritmo en base $e=2,71828\dots$. A menudo se le denomina logaritmo natural, pues la derivada de la función logaritmo satisface $(\log(x))' = 1/x$.

Esta función sorprendete transforma productos en sumas :
\[ \log(ab) = \log(a) + \log(b) \]
En efecto, $2^{\log(a)+\log(b)} = 2^{\log(a)} \times 2^{\log(b)}=a \times b =2^{\log(ab)}$. Al respecto, se puede consultar Wikipedia. ¿Pero cuál es la relación con las epidemias ?

Explosiones exponenciales

Los fenómenos de contagio como las epidemias se caracterizan por su carácter multiplicativo : el crecimiento durante una unidad de tiempo es proporcional al número de enfermos contagiosos. En el modelo más sencillo, cada día el número de muertos se multiplica por cierto factor $k$ mayor que $1$. Según este modelo, el número de enfermos sigue una progresión geométrica de razón $k$ :

Evolución de una secuencia geométrica
Día 0 1 2 3 4 5 $\dots$ $N$
Número 1 $k$ $k\times k$ $k\times k \times k$ $k^4$ $k^5$ $\dots$ $k^N$

Esto lleva a un crecimiento vertiginoso. Por ejemplo, para $k=2$, la función $f(n)=2^n$ tiene el siguiente gráficot :

Secuencia geométrica de razón 2

Escala lineal

La leyenda de Sissa

Según la leyenda, el inventor del juego de ajedrez solo habría pedido una recompensa : que le obsequien un grano de trigo en el primer cuadro del tablero, dos en el segundo, cuatro en el tercero, y así sucesivamente. Inicialmente, el rey se sorprendió de la modestia de tal solicitud, pero uno de sus asesores le señaló su enormidad : el número total de granos es :
\[ 1+2+4+8+\dots+2^{63} = 2^{64}-1 \approx 2\cdot 10^ {19}, \]
es decir, un trillón de toneladas de trigo (y eso con granos de apenas 20 gramos), lo cual corresponde a aproximadamente 1000 años de producción al nivel actual.

Tiempo de duplicación $t$

Una forma de medir la velocidad del crecimiento exponencial consiste en considerar el tiempo de duplicación. Este corresponde al tiempo que se debe esperar para que el número de casos ascienda al doble. En un caso de crecimiento exponencial, este intervalo de tiempo es constante, independientemente del número inicial de casos.

Este tiempo se calcula gracias a nuestra función $\log$ o logaritmo de base 2. Recordemos que este logaritmo $\log k$ para un número $k$ vale $\ell$ si $k=2^{\ell}$.

Vemos que en $N$ días, el número de casos se multiplica por
\[ k^N=\underbrace{2^{\ell}\times \dots\times 2^{\ell}}_{N \text{ facteurs}} = 2^{N \ell}. \]
Dicho de otra forma, durante un tiempo $N$ se constatarán $N\ell$ duplicaciones, es decir, una duplicación en un periodo equivalente a $1/\ell$ de día. Así, el tiempo de duplicación vale $t=1/\ell$ días.

Si $k=4$, la cantidad de pacientes se multiplica por $4$ cada día. Por ejemplo, cada paciente contamina en promedio a 3 personas por día. El logaritmo vale $\log (4) = 2$ porque $ 4 = 2^2 $ (observamos una duplicación dos veces al día).

Si $k=\sqrt{\sqrt{2}}\approx 1.2$, se puede pensar que cada enfermo tiene aproximadamente una probabilidad sobre cinco de contaminar a otra persona cada día. El logaritmo vale $\log(\sqrt{\sqrt{2}})=1/4$, pues $2^{1/4}\times 2^{1/4}\times2^{1/4}\times 2^{1/4}=2$. Se observa una duplicación del número de enfermos cada 4 días.

La cantidad a medir es, por lo tanto, este tiempo de duplicación $ t = 1 / \log k $. [2] ¿Cómo podemos hacerlo aparecer gráficamente ?

Visualización del tiempo de duplicación

Es precisamente esto lo que permite el uso de una escala logarítmica. Esto consiste en trazar el gráfico de la función $g(n) = \log (f(n))$ en lugar de la función estudiada $f(n)=k^n$.

Secuencia geométrica de razón 2

Escala logarítmica

La curva obtenida es una línea recta. De hecho, como el logaritmo transforma productos en sumas, simplifica la potencias $f(n)=k^n$ en :
\[ g(n)=n\cdot\log k. \]
Esto corresponde a una función lineal, cuyo gráfico es una recta. Este logaritmo $\log k$ es $1/t$, el inverso del tiempo de duplicación. Así, uno puede ’’leer’’ el tiempo de duplicación midiendo la pendiente de la recta y tomando su inverso (multiplicativo).

Más allá del caso exponencial

Las epidemias reales no siguen secuencias geométricas, como tampoco los modelos que intentan comprender su propagación. Por lo tanto, su representación incluso en una escala logarítmica no será lineal. Sin embargo, aún podemos definir un tiempo de duplicación ’’en torno a un tiempo determinado’’ al aproximar este gráfico por el extremo derecho, de la misma manera que se hace para definir la velocidad instantánea.

Por ejemplo, el número de casos de coronavirus confirmados en Italia (extracto de 31 días hasta el 24 de marzo de 2020 desde la página mantenida por la Universidad John Hopkins University) define la curva siguiente [3] :

Total de casos confirmados en Italia

Días después del caso número 100

Considerando una escala logarítmica, obtenemos un gráfico que se puede descomponer en cuatro partes muy próximos a segmentos de recta (que, como vimos arriba, corresponden a gráficos a escala logarítmica de funciones exponenciales) :

Total de casos confirmados en Italia : aproximación exponencial por trozos

Días después del caso número 100

Deducimos que el tiempo de duplicación es creciente :

Estimación gráfica del tiempo de duplicación
Fecha 23/02-01/03 01/03-09/03 09/03-17/03 17/03-24/03
Tiempo 2,1 3,3 4,2 6,0

Por lo tanto, observamos una desaceleración del crecimiento exponencial de la epidemia, la cual es difícilmente visible en el primer gráfico (el que no utiliza la escala logarítmica). Atención : la interpretación de este resultado numérico requiere saber más sobre esta enfermedad [4].

Se puede constatar una concordancia entre la serie real con la descomposición en cuatro funciones exponenciales sucesivas al volver a la escala lineal :

Total de casos confirmados en Italia : aproximación exponencial por trozos

Días después del caso número 100

Conclusión

Ahora entendemos por qué aparecen las escalas exponenciales en los medios de prensa : a través de ellos, podemos leer el tiempo de duplicación del número de casos positivos, un determinante crucial de la evolución de la epidemia.

Post-scriptum :

El autor agradece a Nils Berglund y Phillipe Colliard por sus comentarios a la primera versión de este texto.

Igualmente, se agradece a los relectures Daniel Massart, reynald.thelliez, P. Levallois y projetmbc por su relecture atenta y eficaz, así como por sus comentarios.

Article original édité par Philippe Colliard

Notes

[1A veces se utiliza la notación $\lg(x)$, y una hoja de cálculo muy conocida utiliza LOG($x$ ;2) para denotar el logaritmo de $x$ en base $2$.

[2Aunque esto no es habitual, podríamos considerar también el tiempo en que el número de enfermos se multiplica por $10$. Este tiempo $T$ es aquel que tarda la curva en pasar de una potencia de $10$ a la siguiente (esto es fácil de visualizar pues, como es costumbre, utilizamos un eje graduado por las potencias de $10$ ). Este tiempo de aumento se calcula mediante $T = \log (10) \cdot t = \log (10) / \log k $. En otras palabras, es el inverso del logaritmo decimal de $k$.

[3Atención : hemos reemplazado los valores del 11 y 12 marzo, 0 y 24.924 respectivamente, por su promedio, 12.462.

[4Matemáticamente, uno puede construir fácilmente modelos donde esta desaceleración proviene de un distanciamiento social creciente o es un simple efecto transitorio de duraciones variables durante las cuales un paciente es contagioso. Como no somos epidemiólogos, no podemos ir más allá...

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Pour citer cet article :

Andrés Navas — «Epidemia y logaritmo» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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