¿Usted no estudió nunca los números ’’complejos’’, o sí lo hizo pero solo se acuerda vagamente ? No se espante entonces si la siguiente definición le parece hermética, ya que uno de los objetivos de este artículo es hacerle sentir parte de la complejidad de la evolución histórica que condujo a ella :

Estos números simplifican muchos asuntos ’’complejos’’. Por ejemplo [1], los cálculos de magnitudes físicas importantes en el estudio de los circuitos eléctricos, así como las tensiones y las intensidades de corriente. Por esta razón ahí se utiliza más bien la letra $j$ que la $i$, y esta última se reserva, en aquel contexto, para las intensidades.

Pero en matemáticas se tiende a utilizar la letra $i$, primero por inercia —curioso, ¡también es la inicial de esta palabra !—, pero principalmente porque es la inicial de ’’imaginario’’, y los números complejos debieron ser primero imaginados antes de que se llegara a mostrar que efectivamente existían en alguna parte.

Que haya que dar prueba de imaginación cuando se hace matemáticas resulta evidente para todo matemático, orgulloso de este aspecto creativo de su oficio. Desgraciadamente, desde afuera, a menudo no se percibe ese lado imaginativo, pero los matemáticos están felices de poder recordarlo gracias a esta letra ’’$i$’’.

Su utilización en ese contexto parece remontarse a un artículo de Leonhard Euler escrito en 1777 [2]. Esta es la frase donde él presenta esta notación :

$ \ $

$\ $

El símbolo ’’$i$’’ utilizado como raíz cuadrada de $-1$ no se propagó sino hasta el siglo XIX, luego de su empleo sistemático por Carl Friedrich Gauss. Con anterioridad, se escribía más bien ’’$\sqrt{-1}$’’, lo que tenía la ventaja de recordar de manera inmediata que se trataba de una raíz cuadrada de $-1$. Se contempla así un magnífico ejemplo de creatividad matemática : ahí donde un razonamiento lógico simple indicaba que no existe ningún número conocido que, elevado al cuadrado, dé $-1$, se imaginó un número de una nueva clase que tiene esta propiedad [3].

¿Por qué se cambió de notación, pasando de ’’$\sqrt{-1}$’’ a ’’$i$’’ ? ¿Simple efecto de arrastre de la elección de notación por parte de algunos grandes matemáticos ? La razón es más sutil. Pero para comprenderla, necesitaremos primero hablar de las reglas del juego con esos números imaginarios.

¿Por qué se hablaba de números ’’imaginarios’’ ?

Respecto a las raíces de las ecuaciones de tercer grado, René Descartes escribió en el Libro Tercero de su ’’Geometría’’, publicado en 1637 :

$\ $

$ \ $

Descartes llama ’’verdaderas’’ las raíces reales positivas, y ’’falsas’’ las negativas. Lo que se subentiende es que la incógnita designa una magnitud geométrica que sólo puede ser positiva, y las raíces negativas deben ser rechazadas como falsas soluciones del problema que ha llevado a la ecuación estudiada.

Hay ecuaciones de tercer grado que tienen $3$ raíces reales, pero otras que solo tienen una. Es a propósito de estas que Descartes afirma que uno puede imaginarse muy bien otras dos, con el fin de que resulte siempre verdadero el hecho de que la ecuación tiene tantas raíces como su grado. Él da el ejemplo de la ecuación :
\[x^3 - 6 x^2 + 13 x -10 =0, \]
para la cual $2$ es la única raíz real. Sin embargo, uno puede imaginar otras dos, que incluso se sabía representar mediante una muy rara fórmula :
\[ 2 \pm \sqrt{-1}. \]
¿Qué significa el hecho de que esos dos ’’números’’, $2 + \sqrt{-1}$ y $2 - \sqrt{-1}$, sean raíces de la ecuación de inicio ? Bueno, se reemplaza $x$ por cada uno de ellos en el polinomio dado, se calcula como si se tratara de números reales, y se ve que resulta igual a $0$.

Ahí está un punto esencial : en el siglo XVI, en Italia, fueron introducidos como un juego de expresiones sin sentido tales como $2+ \sqrt{-1}$ o $3 - \sqrt{-5}$ [4]. No se sabía interpretarlas, pero se apostaba que uno calculaba con ellos como con los números reales. En particular, se apostaba que las reglas siguientes, siempre verdaderas para los números reales, permanecían aún cuando se calcula con números imaginarios [5] :

A continuación se ilustra cómo una parte de esas reglas -¿ve usted cuáles uno necesita ?- permite calcular el cuadrado de $2 + \sqrt{-1}$, lo que es indispensable si se quiere verificar que ese número es una solución de la ecuación considerada por Descartes :
\[ (2 + \sqrt{-1})^2= 2 \cdot (2 + \sqrt{-1}) + \sqrt{-1} \cdot (2 + \sqrt{-1}) = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{-1} + (\sqrt{-1})^2 = 4 + 4 \cdot \sqrt{-1} -1 = 3 + 4 \cdot \sqrt{-1}. \]

Sin embargo, apostar a que las reglas de cálculo válidas para los números reales se extienden sin problemas a los números imaginarios puede llevar a contradicciones.

Peligros de la expresión ’’$\sqrt{-1}$’’

A continuación, la manera más simple de llegar a una contradicción. Hemos convenido en imaginar un ’’número’’, escrito como $\sqrt{-1}$, que sea una raíz cuadrada de $-1$. Por lo tanto,
\[ (\sqrt{-1})^2 = -1. \]
Pero
\[ (\sqrt{-1})^2 = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{ (-1)\cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1, \]
de donde $1 = -1$. ¡Contradicción !

¿Qué sucede ? ¿Creímos por un instante que el matemático era libre de imaginar nuevos seres y, envanecidos por ese lado ’’artístico’’, nos hinchamos de importancia como la rana de la fábula, hasta que reventamos ? ¿Ese $\sqrt{-1}$ imaginado no era más que una quimera, como la del logo del artículo ?

Afortunadamente, no. Lo que el razonamiento anterior nos muestra es que la regla
\[ \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x \cdot y}, \]
verdadera cuando $x$ e $y$ son números reales positivos, no se extiende a los nuevos números imaginarios. Reemplazar la notación ’’$\sqrt{-1}$’’ por ’’$i$’’ tiene la ventaja de impedir que se cometa el error anterior cuando uno es llevado por los automatismos del cálculo con números reales.

Pero entonces, ya que se podría llegar de manera análoga a una contradicción al manipular con demasiada desenvoltura la expresión ’’$\sqrt{-2}$’’, ¿es necesario introducir una nueva letra para escribir ’’$\sqrt{-2}$’’ ? ¿Y otra para ’’$\sqrt{-3}$’’, luego para ’’$\sqrt{-4}$’’, y luego ...? ¡Se necesitaría una infinidad de letras !

Afortunadamente, esto no es necesario [6]. Para comprenderlo, reflexionemos en lo que debería significar ’’$\sqrt{-2}$’’ : un número cuyo cuadrado vale $-2$. ¡Pero $i \cdot \sqrt{2}$ es un número así ! En efecto :
\[ (i \cdot \sqrt{2})^2 = i^2 \cdot ( \sqrt{2})^2 = (-1) \cdot 2 = -2. \]

¡Ah, pero no !, me dirá usted : ¿cómo sabe uno que la relación
$x^2 \cdot y^2 = (x \cdot y)^2$ todavía es válida cuando uno manipula números imaginarios, siendo que hemos sido desenmascarados con la igualdad $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x \cdot y}$ ?

Bueno, por mientras hay que apostar a que es verdadera, y ver lo que se deriva de ella. Lo que el cálculo anterior nos muestra es que, tan pronto como uno ha establecido una raíz imaginaria de $-1$ y que uno la ha notado $i$, se puede exhibir también una raíz cuadrada de $-2$ :
\[ i \cdot \sqrt{2}. \]
Se podría anotarla $\sqrt{-2}$, pero eso sería peligroso por la misma razón que antes, ya que de nuevo se tendría ganas de utilizar la igualdad $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x \cdot y}$. Y entonces :
\[ - \sqrt{2} = i \cdot (i \cdot \sqrt{2}) = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-2} = \sqrt{(-1)\cdot (-2)} = \sqrt{2}, \]
lo que nuevamente es una contradicción.

Este punto sutil confundió incluso a Euler. En efecto, él cometió el mismo tipo de error en sus ’’Elementos de Álgebra’’ [7] :

$\ $

$\ $

La prudencia hizo entonces que los matemáticos decidieran evitar toda utilización de los símbolos $\sqrt{-a}$, cuando $a$ es un número real positivo, y escribir en su lugar $ \pm i \sqrt{a}$ con el fin de indicar las dos raíces cuadradas posibles de $-a$.

Pero, si hay dos raíces cuadradas de $-a$, ¿cómo se sabe diferenciarlas una de otra ? Bueno, no se puede. Hay una simetría perfecta entre ambas, ¡y esta es otra razón de la ambigüedad del símbolo $\sqrt{-a}$ ! Es Galois quien se dio cuenta que ese fenómeno de simetría es muy general e introdujo un nuevo tipo de objeto, los grupos, para medir la estructura de cada simetría cada vez que uno se da una ecuación polinomial, y no solamente cuando se trata de ecuaciones de la forma $x^2 = -a$. Pero esa es otra historia [8].

En realidad, como se verá más abajo a propósito de los ’’cuaterniones’’, uno puede imaginar sin contradicción que hay más de dos raíces cuadradas de $-1$. Pero se puede mostrar que si los números imaginarios que uno manipula verifican las reglas anteriores, y que además cada número tiene un opuesto por la adición y cada número no nulo un inverso por la multiplicación (en ese caso se dice que los números forman un cuerpo conmutativo), entonces hay a lo más dos raíces cuadradas de cada número.

Extraer las raíces cuadradas es una ’’operación’’ con muchos valores

Volviendo a una pregunta dejada en suspenso, ¿cómo se sabe que la igualdad $x^2 \cdot y^2 = (x \cdot y)^2$ no conduce a contradicciones en nuestro nuevo contexto imaginario ? Bueno, miremos cuál es ese nuevo contexto : se introdujo un nuevo símbolo $i$, y se permitió multiplicarlo por un número real $b$, obteniendo ’’números’’ de la forma $i\cdot b$. Si se adiciona tales ’’números’’ a los números reales, se obtiene ’’números’’ de la forma $a + i \cdot b$, donde $a$ y $b$ son simultáneamente reales. Se puede probar entonces que hay una sola manera de adicionar y de multiplicar los números de ese tipo si se quiere respetar las reglas de cálculo escritas anteriormente.
La igualdad $x^2 \cdot y^2 = (x \cdot y)^2$ se deduce de ella para todas las elecciones de ’’números complejos’’ $x$ e $y$.

A propósito, hay una manera de que la igualdad
$ \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x \cdot y} $ resulte también verdadera, incluso cuando $x$ e $y$ son números complejos. Consiste en decir que el símbolo $\sqrt{x}$ designa no solo un número, sino el conjunto de dos raíces cuadradas de $x$. Por ejemplo, $\sqrt{-1}$ designaría el conjunto $\{i, -i \}$, y $\sqrt{-4}$ designaría $\{i \cdot 2, -i \cdot 2 \}$. Sus productos serían, por definición, el conjunto formado por productos de dos elementos tomados en cada conjunto. Se obtiene entonces :
\[ \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-4} = \{2, -2 \} = \sqrt{4} = \sqrt{(-1) \cdot(-4)}. \]
El propio Euler había resuelto de esta manera muchas paradojas referidas a números imaginarios [9], diciendo que estos no debían ser interpretados como números sino como una infinidad de números :

$\ $

$\ $

Pero en los cálculos es mucho más difícil manipular símbolos que números que designan muchos números simultáneamente. Por esta razón se ha preferido escoger una raíz cuadrada fundamental de $-1$, que se ha notado $i$, y decir que los números con los cuales uno trabaja son aquellos de la forma $a + i \cdot b$, una expresión en la cual $a$ y $b$ designan números reales.

Lo anterior no significa que -incluso si uno define de esta manera los números ’’complejos’’- no haya que poner atención cuando se extraigan sus raíces cuadradas : hay $2$ en el mundo de los números complejos. Por lo tanto, a diferencia de la operación de elevación al cuadrado que toma un solo valor para cada número complejo, esta de la extracción de la raíz cuadrada toma dos.

¿Por qué se habla de números ’’complejos’’ ?

Los números de la forma $a + i \cdot b$ están determinados por dos números reales $a$ y $b$, y es en ese sentido que Gauss los llama ’’complejos’’ [10] :

$ \ $

$ \ $

Una tradición que se remonta al siglo XVII llamaba ’’magnitud compleja’’ a los polinomios [11], ya que estos últimos eran percibidos como disposiciones complejas de magnitudes más simples, las constantes, y las variables. Por ejemplo, el polinomio del miembro de la izquierda del ejemplo de Descartes es una disposición ’’compleja’’ de las constantes $1$, $-6$, $13$, $-10$ y de la variable $x$. Igualmente, un número ’’complejo’’ es percibido como una disposición de dos números reales...

Pero dos números reales permiten también localizar los puntos en el plano, con ayuda de un sistema de coordenadas cartesianas. Por lo tanto, los números complejos pueden representarse mediante un punto del plano, $a+ i\cdot b$, correspondiente al punto de coordenadas cartesianas $(a,b)$. Y ahí está : la interpretación geométrica de los números complejos [12] es muy simple, haciendo corresponder $i$ al punto de coordenadas cartesianas $(0,1)$.

Esta interpretación geométrica resultó posible por la comprobación de que más vale evitar las expresiones del tipo $\sqrt{-1}$, $\sqrt{-2}$, $\sqrt{-3}$, etc. y trabajar sólo con los números de la forma $a + i \cdot b$.

En realidad, la reducción a la escritura $a + i\cdot b$ sólo puede hacerse si uno añade los nuevos números imaginarios a todos los números reales. Por el contrario, si uno los agrega únicamente a los números racionales, entonces está obligado a utilizar muchos más parámetros que $2$ para escribir los números imaginarios, e incluso una infinidad.

Por ejemplo, no hay raíz de $-2$ de la forma $a + i \cdot b$ con $a$ y $b$ ambos racionales [13]. Se necesita por lo tanto agregar un nuevo símbolo -digamos « $i_2$ » tal que $i_2^2 = -2$ - si se quiere trabajar simultáneamente con una raíz cuadrada de $-1$ y una raíz cuadrada de $-2$. Se necesitará otro para una raíz cuadrada de $-3$, y en general un nuevo símbolo ’’$i_p$’’ cada vez que se quiera extraer la raíz cuadrada del opuesto $-p$ de un número primo $p$. Entonces, si se desea trabajar agregando a los racionales todas esas raíces cuadradas simultáneamente, se obtiene un mundo de números complejos de la forma
\[a + i \cdot b_1 + i_2 \cdot b_2 + i_3 \cdot b_3 + i_5 \cdot b_5 + \cdots + i_2 i_3 \cdot b_{2,3} + \cdots \]
Se tiene una infinidad de coeficientes racionales indeterminados $a, b_1, b_2, ..., b_{2, 3}, b_{2, 5}, ..., b_{2, 3, 5}, ...$. La interpretación geométrica se haría aquí en un espacio cartesiano de dimensión infinita, en el cual sólo se consideraría los puntos en coordenadas racionales [14].

Esto ilustra el hecho de que el estudio de los números aparentemente más simples que haya -aquellos que uno tiene la costumbre de llamar ’’naturales’’- puede obligar a ampliar la imaginación geométrica hasta admitir espacios de dimensión infinita. Desgraciadamente no me es posible explicar en pocas palabras por qué este ensanchamiento es útil en la búsqueda de las propiedades escondidas de esos números. Pero me gustaría, para terminar, explicar que incluso si uno parte de los números complejos $a + i \cdot b$, con $a$ y $b$ recorriendo todos los números reales, se puede aún agregarles otros números imaginarios.

Hay números ¡aún más complejos !

Quien descubrió que se podía ampliar todavía el mundo de los números complejos es William Rowan Hamilton. Él trataba de encontrar un sistema de ’’números’’ de la forma $a + i \cdot b + j \cdot c$ cuyas reglas de multiplicación permitieran calcular simplemente las compuestas de rotaciones en el espacio euclidiano. Aquí, ’’$j$’’ designaba una raíz cuadrada de $-1$ que fuera diferente al mismo tiempo de $i$ y de $-i$ [15]. Él buscaba lo que debía valer el producto $i \cdot j$, pero ninguna fórmula de la forma
\[ i \cdot j = j \cdot i = \alpha + i \cdot \beta + j \cdot \gamma ,\]
con $\alpha$ y $\beta$ designando números reales, permitía modelizar las rotaciones...

Y él trataba con nuevas posibilidades, y calculaba, y fracasaba... hasta que un buen día, durante un paseo, ¡comprendió que debía abandonar la regla $i \cdot j = j \cdot i$ !
Y al mismo tiempo vio que debía introducir otra vez una raíz cuadrada de $-1$,
que él notó como $k$, y que las reglas de cálculo con los nuevos números complejos de la forma
\[ a + i \cdot b + j \cdot c + k \cdot d \]
podían ser resumidas así :
\[ i^2 = j^2 = k^2 = i \cdot j \cdot k = -1. \]
Estuvo tan entusiasmado por haber imaginado esas fórmulas que las grabó sobre el puente Broom hasta donde sus pasos le habían llevado. El tiempo borró esas huellas de vandalismo provocado por la embriaguez de la imaginación matemática, pero una placa [16] recuerda aún por algún tiempo ese momento de iluminación :

$ \ $

$ \ $

Como se necesitaba cuatro coeficientes para escribir tales números, los bautizó como ’’cuaterniones’’. Una condición previa de su descubrimiento había sido renunciar a escribir ’’$\sqrt{-1}$’’ : ¿cómo diferenciar entre ellas tres raíces cuadradas de -1 si todas se escriben ’’$\sqrt{-1}$’’ ?

¡Había por lo tanto otros números más allá de los números complejos ! Este descubrimiento produjo una fuerte impresión en sus contemporáneos y, casi simultáneamente, John Graves y Arthur Cayley descubrieron otra ampliación de los números complejos, los ’’octoniones’’. Pero, si para calcular con los cuaterniones era necesario abandonar la regla de conmutatividad de la multiplicación :
\[ x \cdot y = y \cdot x, \]
con los octoniones había que abandonar además la de su asociatividad :
\[ x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y ) \cdot z. \]

Esos fueron los primeros ejemplos de ’’sistemas de números hipercomplejos’’. Pero siguieron otros y en realidad hubo tantos descubrimientos, obtenidos al abandonar por turno diversas reglas de cálculo válidas para los números reales, que se sintió la necesidad de nombrar de manera más corta aquellas extensiones de los números reales. Esto pasó a ser simplemente ’’álgebras’’ [17].

El lector curioso por descubrir los increíbles desarrollos provocados hace ya más de un siglo por esta idea de añadir números imaginarios a los números ya conocidos, podrá consultar el artículo ’’Nombres complexes’’, de Eduard Study y Elie Cartan [18].

En este texto he querido explicar que se necesita imaginación para crear los ’’números’’ que pueblan cada ’’álgebra’’, y sentido crítico para encontrar las notaciones adecuadas que luego permitirán calcular sin equivocarse. Solo así uno se encuentra con una herramienta eficiente de algebrización [19] de situaciones diversas y variadas.