Exploración sin límite

El 11 diciembre 2019  - Escrito por  Enrique Gracián
El 18 julio 2020  - Traducido por  Jimena Royo-Letelier, Julio E. De Villegas
Artículo original : Exploration sans limite Ver los comentarios
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El Instituto Henri Poincaré e Images des Mathématiques han unido sus esfuerzos para supervisar la reedición de la colección El mundo es matemático, publicado por RBA en convenio con Le Monde. En 40 obras, esta colección de calidad, -resultado de un proyecto colectivo de matemáticos españoles- aspira a presentar a través de una gran variedad de puntos de vista, de múltiples facetas, las ciencias matemáticas, bajo un aspecto histórico, humano, social, técnico, cultural...
Revisado y mejorado al nivel de la forma, esta nueva edición fue completamente leída y corregida por el equipo de Images des Mathématiques. Se agregó prefacios y listas bibliográficas. Le Monde consagra un suplemento especial para el lanzamiento de esta colección presentada por Cédric Villani, quien escribió el prefacio original.
Cada semana, con la salida de un nuevo número de la serie, un extracto seleccionado será presentado en Images des Mathématiques. Estará acompañado por un índice del libro y una invitación a prolongar su lectura.

Extracto del Capítulo 5 - El paraíso de Cantor

Números transfinitos

La aritmética de números transfinitos es distinta de la de números finitos.
G. Cantor

Como se acaba de ver, se puede formar la siguiente serie de subconjuntos de un conjunto $A = \{a, b, c, d\}$ :

\[\ \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{d\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{a, d\}, \{b, c\}, \{b, d\}, \{c, d\}, \{a, b, c\}, \{a, b, d\}, \{a, c, d\}, \{b, c, d\}.\]

Nosotros les hemos llamado subconjuntos propios de $A$. Se les dio ese nombre ya que, cuando uno habla de subconjuntos de un conjunto total, ${a, b, c, d}$ y el conjunto vacío son también subconjuntos de $A$.

El conjunto vacío, notado $ \emptyset$, es el conjunto que no tiene elementos, y se le considera como subconjunto de cualquier conjunto. El conjunto vacío y el conjunto original con todos sus elementos se llaman subconjuntos impropios. Si se añade ahora esos dos subconjuntos a los anteriores, se obtiene la serie completa de todos los subconjuntos de A, 16 en total:
\[ \{\emptyset\}, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{d\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{a, d\}, \{b, c\}, \{b, d\}, \{c, d\}, \{a, b, c\}, \{a, b, d\}, \{a, c, d\}, \{b, c, d\}, \{a, b, c, d\}.\]

Sabiendo que $2^4 = 16$, el número de subconjuntos de $A$ es igual a $2$ elevado a la potencia del número de elementos de $A$. Se demuestra fácilmente que siempre es verdadero que un conjunto cualquiera con $n$ elementos tiene siempre $2^n$ subconjuntos.

El conjunto formado por los subconjuntos de un conjunto $A$ se llama conjunto de partes de $A$, y se escribe $\mathscr{P}(A)$. Cantor demostró que en general, dado un conjunto cualquiera, el conjunto de sus partes es más grande que él, o más bien que contenía más elementos que él. Más formalmente, que su cardinal es superior. Para no abusar de paréntesis, vamos a usar otro símbolo para el cardinal: las barras verticales.

Así, a partir de ahora, $\text{Card} (A) = A.$ Se puede entonces formular el resultado anterior como:
\[\left |A\right | < \left |\mathscr{P}(A)\right |.\]

Es el ’’teorema de Cantor’’.

Este teorema permite obtener infinitos cada vez más grandes. Cantor consideró que el infinito ’’más pequeño’’ es aquel que corresponde al cardinal de $\mathbb{N}$, el conjunto de enteros naturales, que él escribió $\aleph_0$, es decir :

\[\left| \mathbb{N} \right|=\aleph_0\]

Apliquemos el teorema de Cantor:
\[\left|\aleph_0\right| < \left| \mathscr{P}(\aleph_0)\right| < \left|\mathscr{P}(\mathscr{P}(\aleph_0))\right|<...\]

A la serie de cardinales, Cantor le dio el nombre de números álef, seguido de un número para cada uno de ellos, o sea, álef-1, álef-2, álef-3, etc. Álef-1 es el más pequeño cardinal estrictamente más grande que álef-0; álef-2 es el más pequeño cardinal estrictamente más grande que álef-1; y así sucesivamente.

Se leen álef uno, álef dos, etc., y se escriben llevando el número de orden de la letra hebrea álef :
\[\aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \aleph_3...\]
A ellos se les llama los números transfinitos.

Casi infinito

Los infinitos o los transfinitos son los únicos que sobrepasan nuestra naturaleza finita. Por ejemplo, el número siguiente es monstruoso:

\[10^{{{{{{{{{10}}^{10}}^{10}}^{10}}^{10}}^{10}}^{10}}^{10}}\]

Esto podría ser el resultado de un cálculo matemático. Un procesador podría haberlo obtenido, por medio de un lenguaje apropiado, después de un número razonable de etapas. Esto logra ser posible gracias a las herramientas simbólicas en matemáticas y el lenguaje de programación. Pero si debemos escribir ese número con todas sus cifras necesitaríamos un soporte material, papel u otro, en cantidad bastante más importante que todas las partículas del universo. Además, tampoco tendríamos el tiempo para escribirlo, ya que nos faltaría mucho más que la edad del universo.

Cualquiera sea el número -incluso el que no hayamos imaginado- existe en esta serie ordenada de números. Si antes de Cantor se afirmaba que nada podía ser más grande que el universo, por el contrario, después de él podemos estar seguros que existirá siempre un infinito más grande que el que uno se ha dado. Cantor sobrepasó los límites de la creación: por más grande que pueda ser lo que Dios pudiera crear, siempre habrá un infinito superior. Ahora bien, esta idea desafió de frente las íntimas convicciones religosas del mismo Cantor.

La hipótesis del continuo

Hasta ahora hemos hablado de la cardinalidad de un conjunto. Sabemos que es un concepto que hace referencia al número de elementos que forman un conjunto. Hemos visto también que cuando los conjuntos son finitos pueden ser numerados, en el sentido que se le puede atribuir un número natural a cada elemento, uno detrás del otro. Por otra parte, cuando se trata de conjuntos con una infinidad de elementos, dar un número a cada uno de los elementos se hizo posible por medio de lo que se ha llamado la correspondencia biunívoca, que atribuye un entero natural a cada uno de los elementos del conjunto. Los conjuntos para los cuales esto es posible se llaman numerables. Pero también hemos encontrado conjuntos no numerables y para hacer referencias a la ’’cantidad’’ de elemento que contenían recurrimos a la noción de cardinalidad. Así, el cardinal de un conjunto no es exactamente un número, sino un concepto asociado a la idea de magnitud numérica. En el fondo es un truco extraordinariamente ingenioso para conocer el tamaño de un conjunto. De hecho, consiste en comparar los conjuntos según reglas bien definidas que nos permiten afirmar que dos conjuntos tienen el mismo tamaño o no, independientemente del hecho que sean finitos o infinitos.

La libertad en matemáticas

Se puede decir que el deseo de Cantor de que existan matemáticas libres está ahora plenamente colmado. Al menos lo son en el sentido en que nada ni nadie, en todo caso en los países llamados civilizados, agarra a palos en las calles una teoría matemática en nombre de la filosofía o la religión. Por ejemplo, lo que actualmente se llama los ’’grandes cardinales’’ son conjuntos de tamaño tan monstruoso que los transfinitos de Cantor parecen enanos a su lado. Su definición es más compleja que lo que hemos presentado, pero su construcción guarda una cierta similitud con la generación de los álefs, a partir de una cadena de conjuntos incluidos los unos en los otros y considerando luego los conjuntos de sus partes.

Mientras que Cantor llama álef cero al cardinal de los enteros naturales, $\left|\mathbb{N} \right|=\aleph_0$, le da a $\mathbb{N}$, el conjunto de los números reales, otro nombre $c$, por continuo. La razón es que los números reales ’’llenan’’ completamente la recta llamada real, y como ahora es una serie continua de números ya que ya no tiene espacio vacío, puede ser calificada como continua. Cantor sabía que :
\[\left|\mathbb{R} \right| = c = 2^{\aleph_0}\]
Pero los números álefs forman una serie creciente ya que :
\[\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < …\]
Cantor se planteó entonces la siguiente pregunta: ¿existe un cardinal que esté comprendido entre aquél de los enteros naturales y el continuo? Él tuvo entonces la intuición que la igualdad siguiente se verifica:
\[2^{\aleph_0} = \aleph_1.\]

Dicho de otra manera, no hay conjuntos cuyo ’’tamaño’’ se sitúe entre la del conjunto de los enteros naturales y la del conjunto de los reales. A esta conjetura se le llama la hipótesis del continuo. Cantor hizo esfuerzos monstruosos, hasta el borde del agotamiento, para demostrar ese resultado. Más de una vez creyó que había llegado pero no obtuvo nunca una demostración totalmente satisfactoria..

Muchos matemáticos, contemporáneos de Cantor, como Hilbert, Russell
o Zermelo, intentaron sin éxito demostrar la hipótesis del continuo. El matemático húngaro G. Köning (1849-1913), en el congreso de Heidelberg de 1904, hizo una presentación que demostraba que esta hipótesis era falsa. Cantor no dejó de pensar que esta demostración no podía ser justa, tenía una fe ciega en su intuición, pero no llegó a encontrar error en la demostración de Köning. Es Zermelo quien encontró uno, y el problema quedó abierto. En 1900, Hilbert lo incluyó en su lista de veintitrés problemas importantes sin soluciones. En 1963, el matemático estadounidense Paul J. Cohen (1934-2007) demostró a partir de los resultados de consistencia axiomática de Gödel, que la hipótesis del continuo podía ser verdadera o falsa según el sistema de axiomas elegido para construir la teoría de los conjuntos.

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Le mathématicien américain Paul J. Cohen démontra en 1963
que l’hypothèse du continu, l’une des grandes questions
ouvertes des mathématiques, est indémontrable dans le cadre
des axiomes de la théorie des ensembles.

Nos encontramos entonces en una situación muy similar a aquella resultante de la exposición del quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas, según el cual por un punto exterior a una recta no se puede hacer pasar más que una paralela a esta recta. En efecto, ese postulado depende del tipo de geometría: el postulado está verificado en las geometrías euclidianas, pero no en geometría hiperbólica, por ejemplo.

Pese a todo, algunos piensan que esta pregunta no está absolutamente cerrada, y que una nueva serie de axiomas, reforzando la teoría de conjuntos, podría hacer verdadera la hipótesis del continuo. Pero hasta que eso se produzca ya no estamos seguros de tener una clara idea de lo que es un número real.

[...]

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Post-scriptum :

El extracto propuesto fue elegido por el autor del prefacio del libro : Julien Melleray. Él responderá los eventuales comentarios.

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Para citar este artículo:

Julio E. De Villegas, Jimena Royo-Letelier — «Exploración sin límite» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

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