Faut-il avoir peur des Mathématiques financières

Le 1er novembre 2008  - Ecrit par  Marc Yor Voir les commentaires (5)

Préliminaires

La crise des « subprimes » aux Etats-Unis, et maintenant en Grande-Bretagne,
l’affaire Kerviel en France, la flambée du prix du pétrole et des
denrées alimentaires suscitent beaucoup de questions touchant à
l’économie, la finance, etc... Compte tenu du flux important de jeunes
mathématiciens entrant dans l’industrie bancaire à la suite de leurs
études au niveau Master, il était naturel que l’Académie des Sciences, et les deux Sociétés MathématiquesSMAI et SMF
réfléchissent à l’évolution de cette implication des
mathématiciens (probabilistes, analystes numériciens, etc...) dans le
secteur bancaire. Les témoignages des Professeurs P. Bank (Allemagne), M.
Davis (Angleterre), P. Embrechts (Suisse) sur la situation correspondante dans
leurs pays respectifs, ainsi que N. El Karoui (Ecole Polytechnique) et D.
Lamberton (Univ. Marne-la-Vallée) pour la France, ont permis d’animer une
Table Ronde sur ces thèmes à l’Académie des Sciences, le 1er Avril
2008. [1]

Cette Table Ronde faisait d’ailleurs suite à une demi-journée d’exposés qui
s’est également déroulée à l’Académie des Sciences le 1er
Février 2005, où la plupart des Aspects des Mathématiques
financières ont été présentés de façon accessible
à un public scientifique, mais pas nécessairement spécialiste. La
tenue de ces deux rencontres, et les publications [2] qui les ont suivies, me dispensent de discuter d’un certain
nombre de points techniques, et me permettent de présenter quelques
réflexions personnelles sur, d’une part, les mathématiques, et d’autre
part, les (réactions des) mathématiciens au contact du monde financier
et de conclure par quelques suggestions en réponse (modeste !) aux
développements très rapides de la situation.

Les Mathématiques au contact du monde financier

Les échanges commerciaux de toutes sortes entre les hommes ont existé
depuis des temps immémoriaux, et ont entretenu des relations importantes
avec les mathématiques, par exemple sous la forme de la « comptabilité »
( :« bookkeeping »), et des assurances.
Le 20ème siècle est marqué par la prise en compte du caractère « aléatoire » des
principales quantités, procédures, etc..., intervenant dans ces
échanges.

Le pionnier en est Louis Bachelier qui, dans sa
thèse, en 1900, modèlise les cours de la Bourse à l’aide du
mouvement brownien [3]. Paul Samuelson, en
1965, « corrige » ce modèle en prenant l’exponentielle du mouvement
brownien. Un article très intéressant [ST] compare ces deux
approches. La formule de Black-Scholes, en 1973, marque un tournant essentiel
et, à ce jour, malgré nombre de critiques, reste un des piliers des
Mathématiques Financières. Après le krach de 1987, l’industrie
bancaire se décide résolument à « intégrer » la culture de
l’aléa, i.e : utilisation des processus et calcul stochastiques, en
particulier.

Des modèles extrêmement sophistiqués, mettant
en jeu, processus de Lévy, etc... en fait, toute la panoplie de la
théorie des processus stochastiques, sont constamment utilisés en
relation avec les calculs de prix d’options, par exemple.

Une longue chaîne de spécialistes, allant des analystes fonctionnels et
théoriciens des processus jusqu’aux « simulateurs », a permis à
l’industrie bancaire, sinon de maîtriser tout l’ensemble correspondant des
connaissances, tout au moins de pouvoir l’utiliser de façon convenable.
Les revues de Mathématiques financières se multiplient, avec des
lecteurs très motivés et attentifs aux erreurs (lesquelles peuvent
coûter très cher !). La théorie des martingales a engendré
celle du non-arbitrage ("on ne peut pas gagner sans risque à partir de
rien"). Parallèlement, la théorie du risque se développe
( :« Coherent Risk Measures ») mais est encore loin de pouvoir répondre aux
nombreuses questions posées par la crise actuelle.

Pour résumer, les besoins de l’industrie bancaire suscitent d’une part le
développement de théories mathématiques directement liées aux
problèmes de cette industrie, et demandent d’autre part un nouveau regard
sur des questions « classiques » de théorie des probabilités, telles que
l’étude des processus de Lévy, des lois de martingales,
etc...

En outre, l’évolution profonde et constante du
fonctionnement de l’industrie bancaire a pour conséquence que les
théories mathématiques qu’elle suscite se trouvent rapidement remises
en cause au niveau de leur applicabilité aux problèmes du moment. Il y
a là une différence importante avec la recherche des lois « immuables »
de la Physique, lesquelles évoluent elles-aussi...

Tous ces facteurs font que la recherche dans le domaine des Mathématiques
financières s’avère, d’un point de vue purement intellectuel,
présenter de nombreuses facettes originales ; par exemple, il est
impressionnant de voir avec quelles difficultés les notions actuellement
« dominantes » se sont frayées un chemin, empruntant aux théoriciens des
probabilités beaucoup de leurs objets de prédilection. Une certaine
grandeur et une certaine humilité se dégagent à la fois, me
semble-t-il, de ce tâtonnement qui a duré plus d’un siècle, et est
bien loin d’être achevé !

On trouvera, en référence, deux articles écrits, d’une part par [N. El Karoui], et d’autre part, par [R. Jarrow et Ph. Protter, qui détaillent soigneusement ce cheminement historique, et les problèmes actuels.

Les Mathématiciens au contact du monde financier

Depuis le début des années 90, les débouchés s’ouvrant aux
mathématiciens (et également aux physiciens) de niveau Master 2 et les
niveaux de rémunération de ces débouchés dans l’industrie
bancaire ont suscité un engouement qui bat tous les records, aussi bien
dans la durée (en tout cas, jusqu’à maintenant) que dans son
ampleur... Hormis l’attrait purement pécuniaire, il est certainement
très apprécié de beaucoup des jeunes mathématiciens
embauchés dans les cellules quantitatives des banques, d’où leur nom
de « quants », d’utiliser des mathématiques très sophistiquées qui
sont directement appliquées au cœur du monde économique, selon la
terminologie utilisée pendant la Table Ronde du 1er Avril.

Toutefois, un « quant » a une durée de vie moyenne de 3 ans, et passe
souvent après une telle relativement courte période au niveau
« Management », ou autre. Le renouvellement (« turnover ») des équipes se fait
donc extrêmement rapidement, et à grande échelle.

Par ailleurs, la demande du secteur bancaire est telle que, en Europe tout au
moins, et à la City de Londres en particulier, il n’est pas vraiment
nécessaire d’avoir une thèse pour être embauché. (En
exagérant un peu, ce serait peut être un handicap ; par contre, aux
états-Unis, le PhD sert de référence à l’embauche de la
plupart des « quants »). De plus, une fois dans la banque, notre « quant » n’a
plus le temps nécessaire pour réfléchir tout à loisir, ainsi
que la préparation d’une thèse le nécessite.

Cette mine d’emplois a, bien entendu, des retombées importantes sur la population
étudiante concernée : il est certainement assez difficile à un(e)
jeune probabiliste, un peu incertain(e) quant à son insertion dans la
recherche, de résister à l’appel de ses pairs qui, eux, ont
décidé de prendre un emploi dans le secteur bancaire. Cette attirance,
un peu moutonnière, ne risque-t-elle pas d’appauvrir d’autres secteurs
universitaires, de recherche, etc... ?

Du côté des responsables de Masters, on assiste également à un effet pervers. On
entend souvent le discours suivant : si, dans mon université U, on ne
développe pas un Master de Finance mathématique, alors les Masters
Mathématiques de U vont devoir fermer, faute de candidats... Les
responsables en question affirment ensuite, dans la foulée : tout
professeur probabiliste est capable d’enseigner les Mathématiques
« Financières... En d’autres temps, on a entendu des discours voisins, avec
probabiliste » remplacé par « analyste », et « Mathématiques
Financières » par « Probabilités », voire « Statistique », avec les
dégâts que l’on sait...

L’industrie bancaire, pour l’essentiel, vient de mettre en place un système de chaires, très attrayant, qui permet aux professeurs titulaires de ces chaires de
bénéficier de conditions incomparables à celles du professeur
moyen... Tout un système de « gratifications » (H. Föllmer a parlé
récemment de « wrong incentives ») est actuellement mis en place, qui va
définitivement créer deux classes d’enseignants (en Probabilités,
tout du moins ) selon que l’enseignant-probabiliste concerné traite ou non
de Mathématiques Financières. La résultante de toutes ces
exceptions est que les Masters de Mathématiques Financières deviennent
un club à part, se situant bientôt dans les départements adhoc,
type : Ingénierie Financière. Ces scissions sont tout à fait à
l’ordre du jour, et sont présentées par un certain nombre de
responsables et d’institutions comme quasiment inéluctables.

Notons toutefois que cette position est loin de faire l’unanimité, en
particulier outre-Atlantique : le Professeur I. Karatzas (Columbia University,
New-York) dont les contributions en Mathématiques Financières sont de
tout premier ordre, écrit à ce sujet : "I believe strongly that
Probability in general, and Math Finance in particular (you see already my
bias in the set-inclusion) can only be healthy within a strong Mathematics
environment (yet another set-inclusion). This only works if there is good will
and generosity on both sides on the ’inclusion’"
. [4]

Et maintenant ? Que faire ? A quel niveau ?

Avec l’analyse que je viens de faire dans les paragraphes précédents,
il ne me semble pas avoir forcé le trait, bien au contraire...

D’autre part, les questions traitées lors de la Table Ronde du 1er Avril,
et dans les paragraphes ci-dessus, sont considérées avec beaucoup
d’attention, aussi bien par les praticiens que par les académiques
concernés. Depuis le 1er Avril, j’ai eu connaissance de 2 exposés
très liés à ces questions :

  • l’un donné par Jim Gatheral à la conférence
    « Global Derivatives » (Mai 2008) sous le titre "Mathematics and Finance : the
    perfect couple",
  • l’autre donné par H. Fölmer le 30 Mai à Paris V
    sous le titre « Aspects probabilistes de l’incertitude financière ».

L’argumentation de ce second exposé est que l’approche mathématique a
mis en lumière, de façon aveuglante, certains aspects de la finance,
rejetant le « reste » dans une grande obscurité. H. Föllmer conclut en
disant qu’il est nécessaire de porter la lumière sur d’autres aspects,
i.e : risques de toutes sortes, et donc de développer les
mathématiques correspondantes, mais que ceci doit se faire dans un esprit
d’humilité qui n’a pas vraiment eu cours jusqu’alors.

Il apparaît ainsi que, après 20 ans d’interactions importantes avec
l’industrie bancaire, la communauté probabiliste, française en
particulier, est à la croisée des chemins. En particulier, si la crise
bancaire internationale s’amplifie, peut-on laisser des bataillons de jeunes
scientifiques s’engouffrer dans la brèche ?... (Les optimistes diront que
« le marché » régulera tout cela, mais le mal sera fait, et peut
être pour assez longtemps).

Pendant toutes ces années, et au fil des échanges avec de nombreux chercheurs
théoriciens, aussi bien que praticiens, je me suis forgé les
convictions suivantes :

  • La communauté probabiliste académique doit "rester
    à sa place", c’est-à-dire réfléchir aux problèmes de fond,
    dégager le(s) cadre(s) probabiliste(s) généraux intervenant dans
    les marchés financiers, développer les mathématiques du risque
    (financier ou autre), faire bénéficier le reste de la communauté
    académique de sa connaissance du terrain...
  • Pratiquement, il me semblerait très positif que les
    jeunes étudiants en cours de Master puissent disposer d’un panorama global
    des applications des mathématiques, et des techniques actuellement en
    développement (« porteuses », selon le langage des recherches d’emploi). La
    communauté académique, secteur par secteur, dispose de moyens
    d’exploration des possibilités d’emplois, de développement, etc... Il
    s’agit de faire ce travail systématiquement, de rassembler les
    informations ainsi obtenues, et de les présenter de façon
    cohérente. C’est pourquoi l’idée [5] de la
    constitution d’un « Observatoire des Applications des Mathématiques » qui
    réaliserait le programme ci-dessus me paraît être un début de
    réponse aux problèmes extrêmement graves qui se manifestent
    actuellement autour des interactions des enseignements universitaires en
    rapport avec l’industrie bancaire.
  • Dans quelques échanges avec certains collègues, j’ai
    eu l’impression d’être considéré comme « anti MF ». Il n’en est pas
    ainsi, je dis simplement qu’un développement plus équilibré
    serait souhaitable.

Références

N. El Karoui. Gestion des risques
financiers dans un monde dynamique
. In : Leçons de
Mathématiques d’aujourd’hui, vol. 3. Editeurs : E. Charpentier, N.
Nikolski. Cassini. Collection : Le Sel et le Fer (Janvier 2007).

R. Jarrow, Ph. Protter. A short history of stochastic integration and mathematical finance : the early years, 1880-1970. In The Herman Rubin
Festschrift, éditeur : A. Dasgupta, IMS Lecture Notes 45 ; 75-91 (2004).

W. Schachermayer, J. Teichmann.
How close are the option pricing formulas of
Bachelier and Black-Merton-Scholes ?
Mathematical Finance, Vol. 18
(2008), No. 1, pp. 55-76.

Post-scriptum :

Remerciements : Ils vont à Hans Föllmer pour son exposé du 30 Mai 2008 à Paris V, et à Jean-Pierre Kahane pour ses remarques aussi bien sur la forme que sur le fond.

Notes

[1Les interventions de ces Professeurs sont accessibles ici

[2par exemple :
Aspects des Mathématiques Financières, Editions Tec &
Doc, Lavoisier 2006. Ce volume a maintenant été traduit en anglais, et
publié par Springer sous le titre : Aspects of Mathematical
Finance
, 2008.

[3qui, à l’époque, n’était pas encore
désigné par le terme « mouvement brownien », réservé à
l’agitation incessante de grains de pollen en suspension dans l’eau, telle
qu’elle a été observée par R. Brown en 1828.

[4Je suis convaincu que les probabilités en général, et les mathématiques
financières en particulier (vous pouvez déjà voir un a priori de ma part
dans cette inclusion) ne peuvent rester saines qu’au milieu d’un
environnement mathématique fort (encore une inclusion !). Cela ne peut
fonctionner que si les deux côtés de l’« inclusion » font preuve de bonne
volonté et de générosité.

[5Il existe un tel
observatoire au CNRS concernant les métiers de la recherche ; par ailleurs,
H. Föllmer nous a appris l’existence pour les universités berlinoises
d’un tel dispositif pour les Mathématiques des « Technologies Clé ».
Ainsi, tout comme le débat qui fait l’objet de cet article, cette idée
d’observatoire est « dans l’air », tout au moins en Europe de l’Ouest.

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Pour citer cet article :

Marc Yor — «Faut-il avoir peur des Mathématiques financières» — Images des Mathématiques, CNRS, 2008

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  • Faut-il avoir peur des Mathématiques financières

    le 12 mai 2010 à 00:47, par elarabi

    Bonjour,
    Mr François votre définition des subprimes met en cause,ma compréhension du sujet,en effet la crise des subprimes (d’après ce que j’avais compris ) c’est une crise qui n’a rien avoir avec l’état et dans laquelle les banques sont les seuls responsables pour la simple raison qu’ils donnaient des crédit avec des facilités exagérés ( pas assez de garanties )..et je peux dire en plus que c’est un système américain..
    sinon, et on parlons de l’état je pense qu’il est temps pour eux de prendre les choses en main..le secteur doit être régularisé et j’ajoute qu’à mon avis la faute de toutes ces crises,sont de loin dû au mathématiques mais et surtout à l’état qui laisse les banques entrer dans la folie des grandeurs.
    N.B : je suis encore un étudiant,et mon commentaire sur Mr françois c’est dans le but de mieux comprendre.
    Mercii

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