Un desafío por semana

Febrero 2020, primer desafío

Le 7 février 2020  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 7 février 2020
Article original : Février 2020, 1er défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2020 ya está en librerías (en México) !

Semana 6

En un reloj, la suma de tres números consecutivos siempre da un múltiplo de $3$. Reacomoda los números de manera que la suma de cualesquiera tres números consecutivos no sea nunca un múltiplo de $3$.

Solución del quinto desafío de enero :

Enunciado

La solución es $-1, 1, 3, 5$ y $10$.

Observa primero que hay $\binom 5 2 = 10$ maneras de reagrupar los cinco números dos a dos, y por lo tanto hay $10$ sumas posibles.

Denotemos por $a, b, c, d$ y $e$ los cinco números buscados, ordenados ascendentemente : $a\leq b\leq c\leq d\leq e$.

Cada uno de los cinco números figura exactamente en cuatro de las diez sumas, así que la suma de dichas diez sumas, que vale $72$, es igual a $4(a+b+c+d+e)$, de donde deducimos que $a+b+c+d+e = 18$.

Por otra parte, las dos sumas más grandes son, en orden, $d+e = 15$ y $c+e = 13$ (en cambio, no queda claro a priori si la tercera, $11$, es $b+e$ o bien $c+d$). Igualmente, las sumas más pequeñas son $a+b = 0$ y $a+c = 2$.

Tenemos entonces que $18 = \underbrace{a+b}_{= 0} + c +\underbrace{d+e}_{= 15}$, por lo que $c = 3$. De $a+c = 2$ deducimos que $a = -1$ ; luego, de $a+b = 0$, que $b = 1$. De la misma manera, de $c+e = 13$, obtenemos $e = 10$, y después $d = 5$ de $d+e = 15$.

Los cinco números buscados son, entonces, $-1, 1, 3, 5$ y $10$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2020 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2019, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2020 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos : Serge Abiteboul, Charlotte Truchet. 2019, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Pour citer cet article :

— «Febrero 2020, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2020

Crédits image :

Image à la une - KFIFA / SHUTTERSTOCK

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