Un desafío por semana

Febrero 2021, segundo desafío

El 12 febrero 2021  - Escrito por  Ana Rechtman
El 12 febrero 2021
Artículo original : Février 2021, 2e défi Ver los comentarios
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente.

Semana 7

¿De cuántas maneras se puede escribir $273$ como suma de tres enteros positivos de la forma $a, ar$ y $ar^2$, donde $r$ es un entero positivo?

Solución del primer desafío de febrero:

Enunciado

He aquí una posibilidad:

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Sobre la línea entre $10$ y $15$

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podemos ver que para llegar a $34$ nos hace falta $34 - (10 + 15) = 9$, y $9$ se puede conseguir de los pares $(8, 1), (7, 2), (6, 3)$ y $(5,4)$.

Podemos eliminar las dos primeras posibilidades porque $8$ y $2$ ya fueron utilizados, así que nos quedan las últimas dos. Para determinar cuál es conveniente, echemos un vistazo a la figura.

Si miramos la línea donde se encuentran $15$ y $8$, vemos que para llegar a $34$ nos hace falta $11$. Este número se obtiene a partir de los pares $(10, 1), (9, 2), (8, 3), (7, 4)$ o $(6, 5)$. Pero las primeras tres posibilidades pueden ser eliminadas puesto que $10, 8$ y $2$ ya fueron utilizados, así que nos quedan $(7, 4)$ o $(6, 5)$.

Volviendo al caso previo, vemos que hay que utilizar $(6, 3)$, porque si optamos por $(5, 4)$ ya no podríamos emplear ninguna de las posibilidades para el último caso en cuestión.

Así pues, $a_2 = 3$ y $a_4 = 6$ (o viceversa), y $a_6 = 7$ y $a_8 = 4$ (o al revés).

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Supongamos ahora que $a_2 = 6$ y $a_4 = 3$. Entonces, para que la línea conteniendo $13$ tenga una suma de $34$, a sabiendas de que ya tenemos $13 + 3 = 16$, habría que encontrar dos números cuya suma valga $18$. Las opciones únicas son $(11, 7)$ y $(14, 4)$; con la primera tendríamos $a_6 = 7$ y $a_1 = 11$, y entonces $a_3$ debería valer $15$, que ya fue utilizado. Así, no nos queda más que el par $(14, 4)$, de donde $a_6 = 4$ y $a_8 = 7$.

Ahora bien, tenemos que

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Determinar el resto de los valores es relativamente sencillo. Claramente, es necesario que $a_3 = 12$, y por consiguiente $a_5 = 11$. Nos nos restan más que cuatro valores, y así $8 + 1 + a_7 + a_9 = 34$, o bien $a_7 + a_9 = 25$. El único par cuya suma sea $25$ y que ya hayamos utilizado es $(16, 9)$.

El número $a_9$ no puede valer $16$, porque si no tendríamos $13, 16$ y $7$ sobre un mismo segmento, que ya suman $36$.

Así las cosas, $a_9 = 9$, de donde $a_{10} = 5$ y $a_7 = 16$. Podemos completar la estrella como sigue:

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No nos queda más que verificar que con este arreglo la suma de los vértices de los cuadrados es $34$, lo que es el caso:
\[ 13 + 5 + 2 + 14 = 10 + 15 + 8 + 1 = 34. \]

Post-scriptum :

Calendario matemático 2021 — Bajo la dirección de Ana Rechtman.

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Para citar este artículo:

— «Febrero 2021, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2021

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