Un desafío por semana

Febrero 2022, cuarto desafío

Le 25 février 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 25 février 2022
Article original : Février 2022, 4e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente.

Semana 8

¿De cuántas maneras posibles podemos colocar los dígitos del $1$ al $9$ de modo que $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ aparezcan en este orden, pero que todas las cifras no figuren en el orden $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ ? Un ejemplo es $129384567$.

Solución del tercer desafío de 2022 :

Enunciado

Observemos primero que por cada columna, si $m$ es el número de arriba, entonces $m + 1011$ es el de abajo. Buscamos entonces el número de valores de $m$ tales que $m$ divida $m + 1011$, es decir, tales que $m$ divida $1011$.

Pero $1011 = 3\times 337$ y $337$ es primo ; para ver esto último, puesto que ningún número primo inferior a $\sqrt{337}\simeq 18{,} 4$ no divide $337$, entonces si $337$ fuera producto de dos factores distintos de $1$, ambos serían superiores a $19$ y su producto, superior a $19^2 = 361 > 337$. Entonces $1011$ posee $2\times 2 = 4$ divisores positivos.

Por lo tanto hay cuatro columnas que satisfacen la condición estipulada : $m = 1, 3, 337$ y $1011$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2022 — Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

— «Febrero 2022, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

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