Un desafío por semana

Febrero 2022, segundo desafío

Le 11 février 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 11 février 2022
Article original : Février 2022, 2e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente.

Semana 6

Una sucesión comienza con los valores $1$ y $2$. Si cada uno de los términos subsecuentes es la suma de los que lo preceden, ¿cuál es el vigésimo término de la sucesión ?

Solución del primer desafío de febrero de 2022

Enunciado

La suma de cinco enteros positivos es al menos igual a $1+2+3+4+5 = 15$, así que si Adela dice a Rodolfo que la suma de los cinco números es $15$, entonces los valores escritos en el cuaderno son forzosamente $1, 2, 3, 4$ y $5$.

Si la suma es igual a $16$, vamos a explicar por qué Rodolfo puede todavía encontrar los números escritos por Adela. Denotemos por $a < b < c < d < e$ los enteros en el cuaderno y supongamos que $a+b+c+d+e = 16$.

Si $a > 1$, entonces $a+b+c+d+e\geqslant 2+3+4+5+6 = 20\not= 16$, así que $a = 1$.

Si $b > 2$, entonces $a+b+c+d+e\geqslant 1+3+4+5+6 = 19\not = 16$, y $b = 2$.

Si $c > 3$, entonces $a+b+c+d+e\geqslant 1+2+4+5+6 = 18\not = 16$, y $c = 3$.

Así pues, como $a+b+c+d+e = 16$, tenemos que $1+2+3+d+e = 16$ y $d+e = 10$. Además, como $3 < d < e$, tenemos que $d = 4$ y $e = 6$ necesariamente. Entonces los enteros escritos por Adela son $1, 2, 3, 4$ y $6$.

Si la suma de los cinco números es $17$, Rodolfo no puede adivinarlos con certeza porque las listas $1, 2, 3, 4, 7$ y $1, 2, 3, 5, 6$ son igualmente válidas. Podemos generalizar el razonamiento a $N\geqslant 17$ : si Adela escribe los enteros $1, 2, 3, 4, N-10$ o $1, 2, 3, 5, N-11$ entonces la suma de ambas listas vale $N$.

Finalmente, la suma de los números escritos en el cuaderno debe ser igual a $15$ o a $16$ para que Rodolfo pueda hallarlos.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2022 — Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

— «Febrero 2022, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

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