Un desafío por semana

Febrero 2022, tercer desafío

Le 18 février 2022  - Ecrit par  Ana Rechtman
Le 18 février 2022
Article original : Février 2022, 3e défi Voir les commentaires
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente.

Semana 7

Un tablero contiene dos líneas y $1011$ columnas. Sobre la primera línea grabamos todos lo números del $1$ al $1011$ en orden ascendente, mientras que sobre la segunda grabamos todos los números del $1012$ al $2022$, también en orden creciente. ¿Sobre cuántas columnas el número de la segunda línea es un múltiplo del de la primera ?

Solución del segundo desafío de febrero de 2022 :

Enunciado

El tercer término de la sucesión es $1+2 = 3$ ; el cuarto, $1+2+3 = 6$ ; el quinto, $1+2+3 + 6 = 12$ ; el sexto, $1+2+3+6 + 12 = 24\ldots$

Observemos que a partir del cuarto rango, cada término es el doble del término previo. Efectivamente, supongamos que $a$ sea un término de la sucesión distinto de los dos primeros, entonces $a$ es la suma de todos sus predecesores. Si $b$ es el término siguiente de $a$, entonces su valor es la suma de todos los términos precedentes ; estos términos agrupan $a$ así como los predecesores de $a$, cuya suma por definición es $a$, y entonces $b = a + a = 2a$. Hemos mostrado pues que a partir del quinto rando, cada término de la sucesión es el doble del previo.

Los primeros términos los podemos entonces escribir como $1$, $2$, $3$, $2\times 3 = 6$, $2^2\times 3 = 12$, $2^3\times 3 = 24,\dots$, y finalmente el valor del vigésimo término es $2^{20-3}\times 3 = 393\,216$.

Post-scriptum :

Calendario matemático 2022 — Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich.

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Pour citer cet article :

— «Febrero 2022, tercer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2022

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