Un défi par semaine
Février 2014, 1er défi
Le 7 février 2014 Voir les commentaires (7)Lire l'article en
Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.
Le nombre naturel $n$ a exactement deux diviseurs positifs, et le nombre $n+1$ a exactement trois diviseurs positifs. Combien de diviseurs positifs a $n+2$ ?
Solution du 5ème défi de janvier
Solution du calendrier
Observons que le triangle $ABC$ est équilateral. Soit $D$ le point milieu
de $AB$, il s’ensuit que l’aire coloriée et celle qui n’est pas coloriée sont égales.
Solution des lecteurs d’Images de Mathématiques
La figure a la même aire que le triangle $ABC$.
Traçons la médiatrice de $AC$ qui coupe $AC$ dans le point $M$. Le cercle de rayon $AM$ et centre en $M$ coupe la médiatrice dans les points $D$ et $E$. Traçons maintenant le cercle de centre en $A$ qui passe par $D$ et $E$. Le théromème de Pythagore implique que son rayon mesure $\sqrt{2}AM$. Ce cercle coupe l’arc $AB$ en $F$ et l’arc $AC$ en $G$. Finalement traçons la droite $FG$.
La droite $FG$ divise la figure en deux parties d’aires égales. En effet, la figure $AFG$ a la même aire que le triangle $AFG$ qui est semblable au triangle $ABC$ avec rapport $\frac{1}{\sqrt{2}}$.
Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.
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Pour citer cet article :
Ana Rechtman — «Février 2014, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014
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