Un défi par semaine

Février 2015, 1er défi

Le 6 février 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (3)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 6 :

Mon numéro de téléphone est $AB\,CD\,EF\,GH\,IJ$. Chaque lettre représente un chiffre différent, de sorte que : $A>B>C$, $D>E>F$ et $G>H>I>J$.
De plus, $D,E,F$ sont des chiffres pairs consécutifs, $G,H,I,J$ sont des chiffres impairs consécutifs et $A+B+C=9$.
Combien vaut $A$ ?

Solution du 5ème défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est 6.

Notons que :

$3!\cdot 5!\cdot 7! = (2\cdot 3)\cdot (2\cdot 3\cdot 2^2\cdot 5)\cdot (2\cdot 3\cdot 2^2\cdot 5\cdot (2\cdot 3)\cdot 7) = 2^8\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7.$

Donc un cube divisant $3!\cdot 5!\cdot 7!$ est de la forme $2^p\cdot 3^q\cdot 5^r\cdot 7^s$, où $p,q,r$ et $s$ sont multiples de $3$. On
obtient $3$ valeurs possibles pour $p$ : $0$, $3$ et $6$ ; et
$2$ valeurs possibles pour $q$ : $0$ et $3$. L’unique valeur possible pour $r$ et $s$ est $0$. En tout, nous obtenons $3\cdot 2\cdot 1\cdot 1=6$ cubes distincts qui divisent $3!\cdot 5!\cdot 7!$. Ce sont :

$1=2^0\cdot 3^0\cdot 5^0\cdot 7^0,$

$8=2^3\cdot 3^0\cdot 5^0\cdot 7^0,$

$27=2^0\cdot 3^3\cdot 5^0\cdot 7^0,$

$64=2^6\cdot 3^0\cdot 5^0\cdot 7^0,$

$216=2^3\cdot 3^3\cdot 5^0\cdot 7^0,$

$1728=2^6\cdot 3^3\cdot 5^0\cdot 7^0.$

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2015, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Commentaire sur l'article

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  • Février 2015, 1er défi

    le 12 février 2015 à 11:34, par ROUX

    Pédant ou cuistre, je ne sais pas...

    Efficace et drôle : j’ai bien souri !!!

    Presque ri (mais je n’ai pas le rire facile...)...

    Belle démonstration.

    Répondre à ce message

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