Un défi par semaine

Février 2016, 1er défi

Le 5 février 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (13)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 6 :

Si $2EO=AE$, que $2FO=FD$ et qu’$ABCD$ est un carré de côté $4$ cm, quelle est l’aire de la région colorée ?

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Solution du 5e défi de Janvier :

Enoncé

La réponse est $40$ secondes.

Lorsque l’avant du train se trouve au début du pont, il lui reste à parcourir $1000$ m pour que le train soit entièrement de l’autre côté du pont : en effet, il doit parcourir $100$ m pour que l’avant du train soit de l’autre côté et il reste alors $900$ m à parcourir pour que l’arrière soit aussi de l’autre côté.

Il reste alors à déterminer combien de secondes va mettre le train pour parcourir $1000$ m. Dans une heure, il y a $60$ minutes de $60$ secondes, c’est-à-dire $3600$ secondes. Cela entraîne que la vitesse du train est de $\frac{90\,000}{3\,600}=25$ m/s. Le train va finalement mettre $\frac{1000}{25}=40$ secondes pour traverser le pont.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2016, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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  • Février 2016, 1er défi

    le 14 février 2016 à 02:17, par C’Me

    # Réciproque de Thalès : (EF) // (AD)
    # Aire(ABCD)/4 = Aire(ADO) = 4 cm²

    # On prouve facilement que EFO est une réduction de facteur k=1/3 de ADO, d’où : Aire(EFO) = Aire(ADO)xk²
    Aire(EFO) = 4/9 cm²

    # Aire(ADFE) = Aire(ADO) - Aire(EFO) = 4 - 4/9 = 32/9 cm²
    Soient G l’intersection de (AF) et (DE) , H l’intersection de (GO) et (EF) et I l’intersection de (GO) et (AD) .
    Aire(ADFE) = (AD+EF)xIH/2 = IHx8/3 = 32/9
    On trouve alors : IH = 4/3 cm.

    # Dans le quadrilatère croisé EDIH, d’après le théorème de Thalès, on a : 3GH = IG, d’où : GH = IH/4
    donc : GH = 1/3 cm

    # Aire(EGF) = EFxGH/2 = (4/3) x (1/3) / 2
    Aire(EGF) = 2/9 cm²

    # Finalement : Aire(EOFG) = Aire(EFO) + Aire(EFG) = 4/9 + 2/9
    Aire(EOFG) = Aire verte = 2/3 cm²

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