Un défi par semaine

Février 2016, 3e défi

Le 19 février 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 8 :

Au centre de la figure se trouve une araignée qui souhaite atteindre le bord en parcourant exactement $4$ côtés des petits triangles. Combien de chemins différents peut-elle suivre ?

PNG - 66.1 ko

Solution du 2e défi de Février :

Enoncé

La réponse est $8$, $8$, $18$, $28$ et $38$.

Observons que l’on cherche en fait à écrire le nombre $100$ comme une somme de $5$ nombres, dont seulement deux sont égaux, et tels que chacun de ces nombres contienne le chiffre $8$. La seule possibilité est $100=8+8+18+28+38$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2016, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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  • Février 2016, 3e défi

    le 19 février 2016 à 10:41, par Al_louarn

    Notons d’abord que l’araignée est à distance $4$ du bord car il n’y a pas de chemin plus court.
    Pour un sommet $P$ à distance $d$ du bord, le nombre de chemins de longueur $d$ menant au bord est :
    $c(P)=0$ si $d=0$ (sommet situé au bord)
    $c(P)=c(V1)+...+c(Vn)$ si $d>0$, où les $Vi$ sont les voisins de $P$ à distance $d-1$ du bord

    Colorions en rouge les sommets situés sur les diamètres de l’hexagone, sauf le centre qui reste vert, et en bleu tous les autres sommets.

    Si $P$ est bleu, à distance $d>0$ du bord, il a $2$ voisins bleus à distance $d-1$ du bord. Donc nous posons $c(P) = B(d)$, avec :
    $B(0)=0$
    $B(d)=2B(d-1)$ si $d>0$
    Ce qui donne $B(d)=2^{d}$.

    Si $P$ est rouge, à distance $d>0$ du bord, il a $2$ voisins bleus et $1$ voisin rouge à distance $d-1$ du bord. Donc nous posons $c(P) = R(d)$, avec :
    $R(0)=0$
    $R(d)=2B(d-1) + R(d-1)$ si $d>0$
    Ce qui donne $R(d)=2^{d} + ... + 2^{0} = 2^{d+1} - 1$.

    Comme le centre $C$ a $6$ voisins rouges à distance $3$ du bord, la réponse est $c(C) = 6R(3) = 6*(2^{4}-1)=90$.

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