Un défi par semaine

Février 2016, 3e défi

Le 19 février 2016  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 8 :

Au centre de la figure se trouve une araignée qui souhaite atteindre le bord en parcourant exactement $4$ côtés des petits triangles. Combien de chemins différents peut-elle suivre ?

PNG - 66.1 ko

Solution du 2e défi de Février :

Enoncé

La réponse est $8$, $8$, $18$, $28$ et $38$.

Observons que l’on cherche en fait à écrire le nombre $100$ comme une somme de $5$ nombres, dont seulement deux sont égaux, et tels que chacun de ces nombres contienne le chiffre $8$. La seule possibilité est $100=8+8+18+28+38$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2016, 3e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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  • Février 2016, 3e défi

    le 21 février 2016 à 13:39, par Himynameisarno

    Bonjour,
    voici deux « autres » façons de voir le problème.
    \
    On peut tout d’abord voir l’araignée sur le bord essayant d’atteindre le centre en 4 coups.
    (1) Si elle commence sur sommet, elle n’a pas le choix et doit aller tout droit.
    (2) Si elle commence sur un point du bord adjacent au somment, elle devra choisir de retourner vers l’unique chemin décrit précédemment une et une seule fois parmi ses 4 coups et continuer « droit » sinon. Ce qui fait « 1 parmi 4 » chemins, c’est-à-dire 4.
    (3) Si elle commence sur un point du milieu d’un côté, elle devra choisir de retourner vers le chemin 1, il lui faut deux coups à choisir parmi 4, c’est-à-dire 6.

    Enfin, si on dénombre tous ces chemins, par symétrie on trouve 6*(1*(0 parmi 4) + 2*(1 parmi 4) + 1*(2 parmi 4)) = 6*(1+8+6) = 90
    \
    Plus formellement, nommons (e_1, e_2, e_3, -e_1,-e_2, -e_3) les trois vecteurs générant les chemins. On veut dénombrer les chemins qui finissent sur segment [e_1,e_2] en partant centre en quatre coups.
    1) Les chemins finissant sur le segment [e_1,e_2] allant au centre en quatre coups ne sont composés que de mouvements impliquant e_1 ou e_2.
    En effet, remarquons que 4 est le nombre de coups minimal pour atteindre le centre. Et un chemin qui finit sur [e_1,e_2] et qui utilise un des quatre autres vecteurs coupe alors un chemin ayant utilisé moins de coups que lui, il n’atteint donc pas le centre 4 coups.

    2) Il ne reste plus qu’à compter ces chemins en dénombrant le nombre de possibilité d’avancer 4 fois en choisissant entre e_1 et e_2, c’est-à-dire 2^4. Alors en enlevant un des deux chemins qui va tout droit, on peut faire jouer la symétrie de l’hexagone et compter 6*(2^4-1) = 90.

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