Un défi par semaine

Février 2017, 2e défi

Le 10 février 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (4)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 6 :

Jean possède $4$ jetons dont les faces sont numérotées de $1$ à $8$ et
il les lance $3$ fois. La première fois, les $4$ jetons indiquent $6$, $1$, $4$ et $3$ ; la deuxième $1$, $3$, $5$ et $7$ et la troisième $3$, $7$, $2$ et $6$. S’il lance une quatrième fois les $4$ jetons, quelle est la valeur maximale de la somme des quatre nombres visibles que Jean peut obtenir ?

Solution du 1er défi de Février :

Enoncé

La réponse est $2044$.

L’année $2016$ a été une année bissextile et le $1^{\text{er}}$ février a été un lundi. Les cinq lundis ont donc été les $1^{\text{er}}$, $8$, $15$, $22$ et $29$ février. Comme les mois de février ne contiennent habituellement que
$28=4\times7$ jours, la prochaine année où il y aura $5$ lundis dans un mois
de février devra être bissextile et commencer un lundi. Elle s’écrit donc sous la
forme $2016+4k$ pour un certain $k$ entier.

De plus, tous les quatre ans, il s’écoule $366+3\times365= 1461=7\times 208+5$ jours donc il s’écoule $208$ semaines et 5 jours. Le jour de la semaine du $1^{\text{er}}$ février est alors décalé de 5 jours tous les 4 ans (en considérant que l’on revient au lundi après le dimanche). Il sera alors décalé de $5k$ jours en l’année $2016+4k$ : l’année recherchée est finalement celle vérifiant que $5k$ est le plus petit multiple de $7$, c’est-à-dire $35$ obtenu pour $k=7$.

La prochaine année vérifiant que son mois de février compte $5$ lundis est
donc $2016+7\times4=2044$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2017, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - MARIUSZ SZCZYGIEL / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Février 2017, 2e défi

    le 10 février 2017 à 10:02, par Bernard Hanquez

    Effectivement, j’ai mis le 5 sur deux jetons et j’ai oublié le 3 :-(

    Répondre à ce message

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