Un défi par semaine

Février 2017, 4e défi

Le 24 février 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (13)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 8 :

Après avoir écrit les diviseurs positifs d’un nombre entier différents de $1$ et du nombre lui-même, Anna s’aperçoit que le rapport entre le plus grand et le plus petit est de $45$. Quels sont les entiers positifs vérifiant cette propriété ?

Solution du 3e défi de Février :

Enoncé

La réponse est verte.

Comme il y a une pieuvre qui dit la vérité, et qu’il ne peut y en avoir plusieurs, il y a $3$ pieuvres qui mentent. Ces trois-là possèdent donc $3\times7=21$ tentacules. Si la pieuvre qui dit la vérité a $6$ tentacules, alors la réponse est $27$ et c’est donc la pieuvre verte qui dit la vérité. Si la pieuvre qui dit la vérité a $8$ tentacules, alors le nombre total de tentacules est $29$ et aucune des pieuvres ne propose ce nombre. Finalement, seule la pieuvre verte peut dire la vérité.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2017, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - MARIUSZ SZCZYGIEL / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Février 2017, 4e défi

    le 26 février 2017 à 11:52, par ROUX

    Très très très joli problème !!!
    J’ai adoré !!!

    Un des diviseurs de ce nombre est 45.
    Il est donc aussi divisible par 3.
    Ce nombre peut être pair et être aussi divisible par 2.
    Les deux plus petits diviseurs après 1 sont donc soit 2, soit 3, selon la parité du nombre.
    L’avant dernier diviseur divisé par 2 ou 3 doit donner 45. Donc, c’est soit 90, soit 135.
    C’est là que je me sens léger parce que intuitivement, je me dis que si je ne multiplie ensuite à nouveau que par le plus petit diviseur strictement supérieur à 1, cela devrait suffire pour me donner le nombre, qui serait alors soit 180 soit 405.
    Mais si quelqu’un-e me disait : « Ah… Pourquoi ? », je sais que je ne saurais pas être convaincant…
    Donc 180 ou 405 avec assurance mais sans la satisfaction de la certitude d’être simplement éblouissant dans l’exercice d’arrachage de sa conviction à un-e interlocuteur-trice doutant-e  :-(...
    Genre, existe-t-il un théorème qui dit que un nombre est toujours égal au produit de son avant-dernier diviseur par son deuxième diviseur ? Et alors plus généralement que si un nombre à n (n pair) diviseurs, il est toujours égal au produit de ses deux diviseurs de rang k et (n-k) ?
    Ça existerait ?

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