Février 2017, 4e défi

Le 24 février 2017 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (13)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 8 :

Après avoir écrit les diviseurs positifs d’un nombre entier différents de $1$ et du nombre lui-même, Anna s’aperçoit que le rapport entre le plus grand et le plus petit est de $45$. Quels sont les entiers positifs vérifiant cette propriété ?

Solution du 3e défi de Février :

Enoncé

La réponse est verte.

Comme il y a une pieuvre qui dit la vérité, et qu’il ne peut y en avoir plusieurs, il y a $3$ pieuvres qui mentent. Ces trois-là possèdent donc $3\times7=21$ tentacules. Si la pieuvre qui dit la vérité a $6$ tentacules, alors la réponse est $27$ et c’est donc la pieuvre verte qui dit la vérité. Si la pieuvre qui dit la vérité a $8$ tentacules, alors le nombre total de tentacules est $29$ et aucune des pieuvres ne propose ce nombre. Finalement, seule la pieuvre verte peut dire la vérité.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Février 2017, 4e défi

le 1er mars 2017 à 13:01, par LALANNE

Au plus court :
D’après le théorème fondamental de l’arithmétique, le nombre cherché n peut être écrit sous la forme d’un produit de facteurs premiers ni, que l’on écrit en ordre croissant ni+1≥ni.
Le plus petit diviseur de n sera n1, le plus grand n/n1.
D’après l’énoncé n=n1*n1*3*3*5
D’où les valeurs de n1 : 2 et 3 et les valeurs de n : 180 et 405
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