Un défi par semaine

Février 2018, 2e défi

El 9 febrero 2018  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 6 :

Combien de paires d’entiers strictement positifs $(m,n)$ vérifient la condition
$m^4+n=100\,000\,001$?

Solution du 1er défi de Février :

Enoncé

La réponse est $X=14$.

Dans la grille on a déjà placé les nombres de $1$ à $9$ et de $20$ à $25$, on doit disposer les nombres manquants de $10$ à $19$.

Observons par exemple que le $9$ est la somme de $8+1$, le $4$ est la somme de $3+1$. Puis, pour obtenir le $21$ on doit placer le $17$ en-dessous, vu que $17+4=21$. Cependant, pour obtenir le $17$ on doit avoir $14+3$ ou $13+4$. Par conséquent, $X$ est égal à $13$ ou $14$. Pour déterminer laquelle de ces deux valeurs vaut $X$ il est nécessaire de continuer à remplir le tableau.

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Analysons maintenant comment obtenir $22$. On ne peut placer aucun nombre supérieur ou égal à $20$, ceux-ci étant déjà utilisés. Ensuite, pour obtenir $22$ l’unique possibilité est d’utiliser le $10$ et le $12$ comme voisins du $22$. Si on place le $12$ au dessus du $22$ et le $10$ sous le $2$, on obtient $12=10+2$ et $10=8+2$. Par ailleurs, si on dispose le $10$ au-dessus du $22$ et le $12$ en dessous du $2$, on ne peut pas obtenir le $10$ comme la somme de deux de ses voisins. Pour cette raison on a

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Finalement, observons que $X$ ne peut pas être $13$, vu qu’on ne pourrait pas l’obtenir avec les nombres préalablement déterminés. Par conséquent, $X=14$ qui est égal à $12+2$. Essayez de compléter le tableau.

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Février 2018, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Comentario sobre el artículo

  • Février 2018, 2e défi

    le 9 de febrero de 2018 à 09:05, par Bernard Hanquez

    Le plus grand nombre dont la puissance quatrième soit strictement inférieure à 100 000 001 est 100. Il y a donc 100 paires d’entiers strictement positifs satisfaisant à la condition énoncée,
    m prenant les valeurs 1 à 100 et n étant égal à 100 000 001 - m^4.

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