Enoncé

La réponse est $22$.

Calculons $a_{k+5}$ en fonction de $a_k$ :

$a_{k+1} = 3a_{k}+1$

$a_{k+2} = 3(a_{k+1})+ 1=3^2a_k+4$

$a_{k+3} = 3(a_{k+2})+ 1=3^3a_k+13$

$a_{k+4} = 3(a_{k+3})+ 1=3^4a_k+40$

$a_{k+5} = 3(a_{k+4})+ 1=3^5a_k+121.$

Comme $a_0=0$ et $a_5=3^5a_k+121=243a_0+121=121$, on voit que $a_5$ est multiple de 11. De la même façon, $a_{10}$ est multiple de 11 et en général, tous les nombres de la forme $a_{5n}$ sont des multiples de 11. Donc $a_{155}$ est multiple de 11. Soit $r$ le reste de $a_{155}$ dans la division par 33, c’est-à-dire, $a_{155}=33n+r$, pour un nombre entier $n$
et avec $0\leq r <33$. Comme $11$ divise $a_{155}$, cela implique que
$11$ divise $r$, par conséquent $r=0, 11$ ou $22$. D’un autre côté, comme $a_{155}=3a_{154}+1$, on a une des possibilités suivantes :

$33n = 3a_{154}+1$

$33n + 11 = 3a_{154}+1$

$33n+ 22 = 3a_{154}+1.$

En divisant chaque équation par 3 on obtient

$11n = a_{154}+\frac{1}{3}$

$11n = a_{154}-\frac{10}{3}$

$11n = a_{154}-\frac{21}{3}.$

L’unique expression ci-dessus qui est un nombre entier est $a_{154}-\frac{21}{3}=a_{154}-7$. Comme $11n$ est un nombre entier, on conclut que $a_{155}$ est de la forme $33n+22$. Par conséquent, le reste de $a_{155}$ dans la division par 33 est 22.