Un défi par semaine

Février 2019, 2e défi

Le 8 février 2019  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 6

Trouvez dix entiers positifs distincts tels que chacun d’entre eux divise la somme de ces dix nombres.

Solution du 1er défi de février :

Enoncé

La solution est : $24$ mm.

Si nous faisons une coupe transversale qui passe par les centres $O_1$ et $O_2$ des deux sphères, nous pouvons réduire le problème à un problème dans le plan, comme le montre la figure suivante :

PNG - 40.4 ko

En utilisant le théorème de Pythagore dans les deux triangles
rectangles qui partagent un côté de longueur $r$, nous obtenons :
\[30^2-x^2=r^2 \qquad \mbox{et} \qquad 40^2-(50-x)^2=r^2.\]
Nous pouvons donc écrire
\[ \begin{eqnarray} 30^2-x^2 & = & 40^2-(50-x)^2\\ 30^2-x^2 & = & 40^2-50^2+100x-x^2\\ 1800 & = & 100x\\ x & = & 18\,\mbox{mm}. \end{eqnarray} \]
Avec la valeur de $x$, il est alors facile de calculer $r^2=576$, d’où $r=24$ mm.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Février 2019, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

Crédits image :

Image à la une - AGSANDREW/SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

  • Février 2019, 2e défi

    le 10 février à 13:47, par Didier Roche

    Une solution est :
    1,2,4,7,14,28,56,112,224,448
    La somme de ces entiers est 896 et les entiers au-dessus sont des diviseurs de 896.

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    • Février 2019, 2e défi

      le 10 février à 15:04, par Bodler

      On peut partir de 360 qui a plein de diviseurs.

      360 = 180 + 90 + 60 + 15 + 10 + 5 (6 diviseurs)

      et on remplace 90 = 40 + 30 + 20 ; 10=6+4 et 5=3+2 ce qui donne

      360 = 180 + 40 +30 +20 + 60 +15 + 6 + 4 + 3 +2 (10 diviseurs)

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  • Février 2019, 2e défi

    le 10 février à 16:14, par Didier Roche

    Une méthode pour obtenir une solution :
    Soit a,b,c,d,e des naturels distincts de somme s tels que chacun d’eux divise s. (cela est possible avec 28=1+2+4+7+14)
    Ensuite on considère les dix entiers a,b,c,d,e,s,2s,4s,8s et 16s dont la somme est 32s.

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  • Février 2019, 2e défi

    le 11 février à 13:35, par bistraque

    Les nombres de la forme p^2.q^3 avec p et q premiers ont 12 diviseurs soit 11 parmi lesquels choisir. Par tâtonnement en prenant p,q dans 2,3,5,7 on ne trouve pas de cas où l’exclusion d’un diviseur parmi les 11 donne une solution.
    En revanche avec un nombre de la forme p^2.q^4 on a 15 diviseurs donc 14 pour le choix des 10. Le plus petit est 144=2^4.3^2. Il y a plusieurs possibilités dont : 2,3,4,8,9,12,16,18,24,48
    144 semble être le plus petit nombre ayant une solution. Le plus petit de la forme p^3.q^3 est 216... A creuser

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    • Février 2019, 2e défi

      le 11 février à 13:58, par bistraque

      Y a plus petit avec 120 de la forme p^3.q.r. Une solution : 2,3,5,6,8,10,12,20,24,30

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  • Février 2019, 2e défi

    le 11 février à 16:12, par Didier Roche

    Soit a,b,c,d,....i,j des naturels distincts qui divise la somme s=a+b+c+...…..+i+j.
    Nous avons s=a’*a=b’*b=c*c’=……….=i*i’=j*j’ où a’,b’,......i’ et j’ sont des naturels.
    On obtient b=a’*a/b’ , c=a’*a/c’ , ……..j=a’*a/j’
    En remplaçant dans la somme il vient
    a’*a=a+a’*a/b+...…..a’*a/j’
    En multipliant l’égalité par 1/(a’*a) on a
    1=1/a’+1/b’+...…..+1/j’
    Nous obtenons des fractions égyptiennes
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_égyptienne
    et nous pouvons obtenir des solutions.

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  • Février 2019, 2e défi

    le 14 février à 13:51, par CAMI

    Les nombres parfaits sont là pour apporter une solution simple.
    2^5-1=31
    31*2^4=496
    496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
    496 est divisible par 1,2,4,8,16,31,62,124,248,496
    soit 1+2+4+8+16+31+32+124+248+496 = 992

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